奇妙的愛心方程式

       首先，非常感謝彭翕成老師提供的如此優秀的數學文章！在情人節之際獻給大家。祝親們情人節幸福快樂！

 從理論上來說，描繪物體圖像只要先描出足夠多的點，再用lagrange插值公式就能給出該圖像的擬合公式。但實際操作起來還是會遇到一些問題。本文以超級畫板為作圖工具，用一些中學教學常見的函數擬合一個比較有意義的愛心圖形。

    提起愛心方程式，不得不讓人聯想到笛卡爾情書的故事。雖然笛卡爾的情書並不比牛頓的蘋果更可靠，但筆者認為既然文學中有那麼多才子佳人的故事，數學中為什麼不能有呢？所以筆者還是將情書的故事轉載如下。

解析幾何的創始人笛卡爾在歐洲大陸爆發黑死病時，流浪到瑞典，認識了瑞典一個小公國18歲的公主克裡斯汀，後來成為她的數學老師，日日相處使他們彼此產生愛慕之心，公主的父親國王知道了後勃然大怒，下令將笛卡爾處死，後因女兒求情將其流放回法國，克裡斯汀公主也被父親軟禁起來。

笛卡爾回法國後不久便染上重病，他日日給公主寫信，因被國王攔截，克裡斯汀一直沒收到笛卡爾的信。笛卡爾在給克裡斯汀寄出第十三封信後就氣絕身亡了，這第十三封信內容

      國王看不懂，覺得他們倆之間並不是總是說情話的，大發慈悲就把這封信交給一直悶悶不樂的克裡斯汀，公主看到後，立即明了戀人的意圖，她馬上著手把方程的圖形畫出來（圖1），看到圖形，她開心極了，她知道戀人仍然愛著她，原來方程的圖形是一顆心的形狀。這也就是著名的「心形線」。國王死後，克裡斯汀登基，立即派人在歐洲四處尋找心上人，無奈斯人已故，先她走一步了，徒留她孤零零在人間……據說這封另類情書保存在歐洲笛卡爾的紀念館裡。

    可斷定上述故事是有人圍繞心形線，將瑞典女王請笛卡爾講學的事情改頭換面虛構而成。笛卡爾的心形線太圓了，有點像蘋果了，能否畫得更像心形一點呢？

一：圓變心形

筆者猜測可以從圓出發，把圓上點的橫坐標不變，縱坐標按照某種比例向上擠壓一下。

    這是因為心形是對稱圖形，只要我們能夠作出一半，利用對稱就能得到另外一半。若急於求出，想一次攻破，恐怕不那麼容易。

利用超級畫板這一實驗平臺，我們可以馬上將想法可視化。圖2得到的就是當參數b取不同值的情形。

我們可以作點小修改，譬如將方程改成

   筆者之前做過一個心形設計，與此函數作圖是一致的。是將作兩個正交的橢圓（圖4），再選取其中部分填充顏色（圖5），可得到一個漂亮的心形。

二：偶函數圖形

探究至此，筆者突然想到：偶函數不就關於y軸對稱麼？於是上面的方程可簡化為

這樣上下兩端函數就構成了一個心形。

基於偶函數的考慮，又在網絡資料的啟發下，筆者畫出了下面的圖形。

三：參數方程作圖

下面這些參數方程作心形，都是筆者在網上找到的方程。不得不佩服原作者的創意。這麼不常見的表達式，若不是妙手偶得，那必定是千錘百鍊修改而成。可以肯定的是，藉助於超級畫板這種作圖工具，可以省不少事。

還需要作一次關於y軸的對稱。

四：極坐標方程作圖

由於心形是封閉環狀，使用極坐標方程是很好的。但要想設計出下面這兩個方程可不容易。

五：心碎

   愛情是美好的，失戀是痛苦的。數學家也有自己表示心碎的獨特方式。如果你手頭有作圖工具，不妨試試這三個方程：

    【作者註解】本文大多數方程式不是筆者原創，而是收集於國外一些數學網站。筆者相信這可作為數學教學的素材，起到激發學生數學的作用。關於用數學方程描繪其他事物，我們將另文介紹。

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