趣味探究:放大縮小為啥圖形不走樣——比例的意義

【題記】

僅僅有課改的理念，而受困於「方法」，是當今課改遭遇的最大尷尬。——摘自《不能忽視的「兩率」》

「把課堂歸還給學生」，是一切尊重的起點，也是高效課堂的「開始」。——摘自《高效課堂是什麼》

下面用「情景數學」的方式來給同學們講書上的「正統知識」，你來一起品品這樣的學習方式是不是有趣一點呢？

美美老師在今天的課堂上，給同學們帶來了一幅地圖，她把地圖掛在黑板上，然後問同學們：「你知道這地圖是怎麼繪製的嗎？」

對於這個問題，同學們似乎還沒有做好準備，不知從何答。

美美老師並不著急，又出示了一幅房屋設計圖，繼續說道：「在我們的生產和生活中常常遇到圖象的放大和縮小的問題：如修建房屋和橋梁，修建公路和鐵路都需要先把物體繪製在圖紙上，就是按一定的比例把事物進行縮小。再比如，大家看……科學家在觀察很小的微生物時都要用放大鏡，然後按一定的比例放大把他們記錄下來。」（圖片展示）

說到這裡，小陽似乎明白人，他站起來說：「老師，我知道了。地圖的繪製也是把實地縮小了很多很多倍，才能畫到紙上的，老師，我說得對嗎？」

美美高興地點點頭，並在黑板的一角，寫下「放大」、「縮小」這樣的字眼。

寫完後，又出示了一幅掛圖，問同學們：「把放大前後的兩幅長方形的畫相比，你能發現什麼？」她見同學們又有點為難，又出示兩幅畫長和寬的數據：第一幅長方形畫的長是8釐米，寬是5釐米；第二幅長方形畫的長是16釐米，寬是10釐米。

小芳這時也不甘示弱，搶著說：「我覺得第二幅畫的長放大到原來的2倍，寬也放到到原來的2倍，也就是把原來的圖形按2：1的比放大的。」

美美老師順著小芳說的話，追問大家：「誰來說說，剛剛小芳說的2∶1表示的是哪兩個數量的比。」

大虎這時也終於理解了大家的意思，站起來說：「這時的2∶1，既表示兩個長之間的比，也是兩個寬之間的比。」

「很好！這樣看來，我們可以把一個圖形按一定的比放大，也可以把一個圖形按一定的比縮小」，美美老師表揚了大虎，繼續問大家，「如果要把第一幅畫按1：2的比縮小，縮小後的長和寬各應是原來的幾分之幾？各是多少釐米？」

大家爭先恐後地算了起來，不一會兒，就算出來了：長是4釐米，寬是2.5釐米。

美美看大家興致很高，就提問道：「請同學們仔細看看放大或縮小之後的圖形，再比一比，你們有什麼發現嗎？」

大虎又要搶著說了：「老師，我覺得，他們的樣子一點沒變！」大家也表示贊同。

【善思好問】為什麼圖形大小不一樣卻沒有變形呢？

美美老師接著說：「根據同學們剛才的討論與計算，我們能不能把圖形的長和寬的比連在一起寫呢？」

小陽說：「我知道，可以分別寫成8∶5、16∶10、4∶2.5，同學們，我說得對不對呢？」大家再一次表示贊同。

美美接過話茬：「小陽剛才說出三個比，因為這三個圖形放大縮小後一點也沒變樣，是因為它們的比值是一樣，所以我們可以把這些比用等號連接起來，比如我們寫8∶5=16∶10，同學們也能學著說一說嗎？」

同學們覺得也不沒有什麼難度，於是有的說出了8∶5=4∶2.5，有的說出了16∶10=4∶2.5。

美美老師把同學們說出的一一寫在黑板上，並指著這些式子問大家：「同學們知道這些式子叫什麼嗎？」

小慧不緊不慢地站了起來說：「老師，這個我知道，這樣的式子叫做比例。這是先自學了課本才知道這些的。」

美美老師大大表揚了小慧：「同學們，你們可要向小慧同學學習，已經把今天覺得內容自學了，所以回答問題總是胸有成竹！」同學們也不由自主地鼓起掌來。

美美老師接著說：「剛剛我們已經對比例其實有了許多真實的體驗，所以接下來的時間，我們請同學們自學課本上『比例』這一內容，看誰學得主動，學得積極，學得深入，可以嗎？」

自學課本後，開始了學習交流互動。

「誰能說說什麼叫做比例？」美美老師問出了第一個問題。根據同學們的回答，然後板書：表示兩個比相等的式子叫做比例。

「從比例的意義我們可以知道，比例是由幾個比組成的？這兩個比必須具備什麼條件？」 美美又問出了第二個問題。這個問題也沒難倒大家。於是，「內項」、「外項」的概念也呼之而來，

「因此判斷兩個比能不能組成比例，關鍵是看什麼？如果不能一眼看出兩個比是不是相等的，怎麼辦？」美美老師提出的第三個問題可是有點難度的。大家經過辯論與爭論，最後總結如下：判斷兩個比能不能組成比例時，關鍵是看這兩個比是不是相等。如果不能一眼看出兩個比是不是相等，可以先分別把兩個比化簡以後再看。

在這個問題上，有的同學還舉出了有力的例子來說明：比如，判斷10:12和35: 42這兩個比能不能組成比例，先要算出 10: 12＝

，35: 42＝

，所以 10:12=35:42，這兩個比是可以組成比例的。

這時，小陽舉起手，提出了自己的一個疑問「之前我們學習了比，現在又學習了比例，這兩個概念有什麼區別呢？」

這個疑問倒是很有意思，大家你一言我一語，終於達到了共識：比是表示兩個數相除，有兩項；比例是一個等式，表示兩個比相等，有四項。

【點睛之筆】當我們學過一個新的概念之後，一定要把它與原來相關的概念進行對比比較，這樣才能更好的理解數學新知識，也更好地溝通了新知識與舊知識的聯繫，這樣進行數學學習會更加紮實有效。

課末的挑戰答題開始了，美美老師引導大家進入「挑戰第一關」：

第一關：用手勢判斷下面卡片上的兩個比能不能組成比例。（能，就用張開拇指和食指表示；不能就用兩手的食指交叉表示。）

學生判斷後，指名說出判斷的根據。

第二關：現在有2、3、4、6四個數，你能用它們組成不同的比例嗎？

這一關，有一定的難度，美美老師組織大家進行了討論交流。

小芳說：「我是這樣想的，先假設2∶3和4∶6可以組成比例。再算出兩個外項的積2×6＝12，以及兩個內項的積3×4＝1，因為2×6＝3×4，也就是說兩個外項的積等於兩個內項的積，所以2∶3和4∶6可以組成比例。」

大家覺得小芳說得有理有據，也是十分的佩服。

接下來的問題是，到底可以組成多少種不同的比例呢？這又是另一個挑戰啊！

大虎站起來說：「我覺得有好多種，但是到底有幾種呢？我有點亂了……」

有的同學也應聲附和，覺得到底有幾種有點搞不清楚呢。

小陽說：「我覺得先寫出一種，再反一下，就是另一種了。比如2∶3=4∶6寫好了，反過來就是3∶2=6∶4。」

問題的關鍵找到了，到底能寫出幾種呢？通過討論交流，大家發現有四種，除了上面的一種外，還有以下三種：2∶4=3∶6、4∶6=2∶3、3∶6=2∶4。

大虎激動的地說：「我發現了，把這四種對比一下你會發現，後兩種就是前兩種的變形，也就是把前兩種情況的等於號前後的比進行了調換而已。」

小芳通過思考，又有了新的發現，她說：「根據上面四種不同的情形，如果把等於號兩邊的兩個比的前項和後項前後調換位置，又會變出另外四種比例了，這樣一種就有8種不同的情形。」

小慧根據大家的想法，又發現了一定不易寫丟種數的辦法，他說：「我的辦法是，做到四個項，先選一個打頭的數字，看作能組成幾種情形的比例，比如2打頭，即把2放在第一項，可以組成兩種比例，它們是2∶3=4∶6、2∶4=3∶6；同樣，3打頭也可以組成兩種情形的比例，它們是3∶2=6∶4、3∶6=4∶2；4打頭的兩種是4∶2=6∶3、4∶6=2∶3，6打頭的兩種是6∶3=4∶2、6∶4=3∶2。這樣也是8種，只是解題思路不一樣而已。」

通過剛才的「頭腦風暴」，同學們對組成比例的方法有了更加清晰的理解了，也對今後的學習更加信心滿滿了，這種感覺是沒有過這種經歷的人所無法體驗的。

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