圓周率是圓的周長與直徑的比值，一般用希臘字母π（讀作pài）表示。這是一個普遍認知的公式，它簡單地描述了圓的圓周如何隨直徑變化。無論圓的大小如何，圓的圓周與其直徑的比值為恆定的值。
例如，如果一個圓的直徑變為原先的二倍，它的周長也將變為二倍，這個圓周與直徑的比值不變。圓的周長總是略大於其直徑的三倍多點，精確的比值稱為π。這個數的小數點之後的數字有無限多個，並且不會循環，即無限不循環小數。
π的意義與作用，已經遠遠地超出了其圓周率的本身涵義，成為當今宇宙間最為重要、最為普遍、最為了不起的常數。這裡，我們就關於圓周率π的涵義的一些基本而又重要的問題，儘量用最通俗的語言予以最簡單的解釋。
π的歷史
圓周率的歷史可以追溯到公元前1900年至1600年，在一塊古巴比倫石匾上清楚地記載了圓周率 = 25/8 = 3.125。約公元前2世紀的中國古算書《周髀算經》即有記載，以後漢朝時張衡、公元263年時劉徽、公元480年左右時祖衝之都對圓周率予以探索。在之後的800年裡祖衝之計算出的π值都是最準確的。最近，谷歌宣布圓周率現已到小數點後31.4萬億位。
π的重要性
因為π與圓密切相關，所以π在三角學和幾何學的許多公式，特別是與圓、球體和橢圓相關公式中，以及在數論和數理統計中計算數據的幾何形狀中廣泛應用，如正態分布的概率密度函數、傅立葉分析和數論的公式。
由於π用於線性代數中的特徵值及波動與譜特徵周期性描述的特殊作用，它在熱力學，流體力學、聲學、光學、電磁學、宇宙學，量子物理學等相關數學和自然科學領域中頻頻出現，如海森堡不確定性原理、愛因斯坦相對論場方程、薛丁格方程的具體計算。
π的廣泛應用使它成為科學界內外最廣為人知的常數之一。世界數學學會定名每年3月14日為圓周率日，人類對於π值的認知及其計算突破記錄也往往成為媒體的重要新聞。
π的基本數學涵義
π的基本數學涵義典型地體現在歐拉恆等式中。這個等式由瑞士數學家和物理學家、近代數學先驅之一歐拉於1748年出現在其著作中。美國物理學家費曼稱這個等式為「史上最奇妙的數學公式」。
它體現出，π不是一個簡單的圓周率，它與另外四個最基本的數學常數相關：「e」是自然對數的底，在微積分中廣泛使用，其值為2.71828…；「 i 」是複數或虛數單位，它是-1的平方根或方程x+1=0的解，它在電氣工程中至關重要，並且在量子力學中提供了深刻的見解；「1」是數字的基礎，第一個自然數，為可乘性標誌即任何標誌乘以該標誌將得出同樣的標誌；「0」是虛無的概念，為可加性標誌即任何標誌添加到該標誌中將得出同樣的標誌。
它體現出，π還與四個最基本的數學運算：加、減、乘、冪相關（可能有人找不出減法在哪？提示：i是0減1的平方根）。進一步的數學分析還表明，它還與微積分的數學運算相關。所以，數學家們稱，π猶如一個奇妙的音符，將一些頗為複雜且看似無關的數字標誌與運算概念，如交響樂一般巧妙地合奏在一起。
π的計算方法
π值的最初與原始的計算方法是我們常知道的幾何法，即通過測量計算圓的圓周與其直徑的比值，或通過正多邊形的幾何算法。在17世紀之前，計算圓周率基本上都是用幾何方法計算。你可以通過測量一個轉動輪的外圓所滾動的距離來推算出π值，但是你所得到的精度不會超過小數點後一兩個數字。通過幾何算法如果要達到現在谷歌所宣布計算到的小數點後31.4萬億位，也許需要在現今所知的近百億光年的宇宙中劃個圓測量可以達到這個精度。
許多人可能會問，那麼π是如何精確計算的呢？數學家們發現了一些無窮數學級數，它們可以儘量接近精確地計算π。 其中一些級數很複雜以至於需要超級計算機來計算。最簡單的一種是格雷戈裡-萊布尼茨（Gregory-Leibniz）級數：
隨著一項一項的值加入總和中，只要項次足夠多，總和最後會慢慢接近π。你可以通過簡單編程讓計算機來計算上面級數的π值。比方說，執行如下的編程計算操作。對於計算機而言，這並不那麼困難。 但是，即使經過50萬次操作，計算出的值才會精確到π的小數後的第五位數字。
印度數學家尼拉卡莎（Nilakantha）在15世紀發展了另一個π的無窮級數，其收斂速度較上面公式要快很多，執行幾次，結果就非常接近π。該級數為：
π值的其它無窮級數表達還有法國科學家弗朗索瓦·韋達在1593年發現的，如：
英國數學家約翰·沃利斯（John Wallis）在1655年發現的沃利斯乘積，是歐洲第二個發現的π值公式：
數學家們還發現數個廣義連分數能表示π，例如：
計算π值的方法還有如極限法。選擇任一大數，數字越大，計算越準確。把這個數字插入計算公式：π = x * sin（180 / x）中替代 x。隨著 x 值的增加，結果將越來越接近π的值。
計算π值的方法還有使用反三角函數，如反正弦函數、反餘弦函數等。如選擇介於-1和1之間的任何反正弦函數值，將該值插入以下公式代替 x，結果將為π值：π = 2 *(Arcsin(sqrt(1-x ^ 2)) + abs(Arcsin(x)))。其中Arcsin為反正弦，Sqrt是平方根，Abs代表絕對值，x^2是x的平方。
你可以用上面不同的方法通過你的計算器或計算機編程練習試試，比較上面本文第二圖的π值，看看你能正確地計算到π值後面多少位數。