壹
莊子說過這樣一句話：一尺之棰，日取其半，萬世不竭。無獨有偶，在遙遠的古希臘，也有類似的故事，比如，哲學家芝諾曾經提出過一個著名的「飛矢不動」悖論。芝諾說，一支箭射出之後，它在飛行的每一個短暫瞬間，都處於既非靜止又非運動的狀態，因此，這支箭並沒有發生移動。
這些有趣的故事，其實都是古人對「無窮小」這個概念的思考。但你知道嗎，在很長的一段時間裡，「無窮小」這個看似普通的數學概念，都被教會視為是異端邪說，是一個不被認可也不允許傳播的概念，就像「伏地魔」一樣，連名字都不能被提起。
但是，就在教會無法控制的地方，「無窮小」的暗流蟄伏著、湧動著，默默等待著現世的那一天，而那個能讓它大放光彩的時代，就在前方不遠處。
《紐約時報》科學欄目的撰稿人阿米爾·亞歷山大，在擔任史丹福大學和加州大學洛杉磯分校歷史學教授的同時，還是一位出色的數學家和極富洞察力的作家。他用嚴謹而充滿張力的文字，將那段發生在三百多年前的歐洲大陸上的往事，那場波瀾壯闊、綿延百年的數學大戰，向我們娓娓道來，也就是現在擺在我們面前的這本《無窮小：一個危險的數學理論如何塑造了現代世界》。
這本書甫一問世，便廣受大洋彼岸的讀者們歡迎，並獲得「《圖書館雜誌》2014年度最佳科學圖書」的讚譽。在這本書中，亞歷山大用簡練而通暢的筆墨，向我們呈現了一部精彩紛呈的數學史話。他帶領我們走近那段塵封的歷史，一起旁觀歐洲大陸上曾經發生過的那場關於秩序與變革之間的偉大鬥爭。
貳
在聊起這場圍繞著無窮小概念展開的思想戰爭之前，我們首先要知道什麼是無窮小。這個概念乍一看很簡單，但實際上其中大有深意。
讓我們回到文章開頭莊子那句話中，假如有一根長一米的木棍，而這根木棍又是由許多不能夠進一步細分的單位，也就是數學當中所說的「不可分量」所組成，那麼在這根木棍裡究竟包括了多少個這樣的「不可分量」呢？假如說在這根一米長的木棍上有一億個不可分量，那麼每個不可分量的長度就上一億分之一米——這確實是一個非常小的數——但是即使這個數有多麼小，只要它是一個正數，那麼，莊子所說的這根「日取一半，萬世不竭」的木棍，終究還是會有分完的那一天。
再者說，如果我們把木棍先對半分開，然後再把每一段木棍分成一億份呢？這樣我們就得到了兩億個不可分量，也就是說，我們最初假設的不可分量，實際上是可分的，這樣的話，我們的假設就不成立了。
那如果我們換個角度去想呢？假如在這根一米長的木棍上，其實存在著無窮多個不可分量呢？如果每個不可分量都是正值的話，那麼由無窮多個不可分量組成的木棍，它的長度也應該是無窮的，而這就不符合我們的起始條件了。
那如果我們繼續規定，不可分量不是一個正值呢？很明顯，這個值也不會是一個負值，那麼，是不是不可分量的值就等於零呢？很遺憾，正如我們所知道的那樣，不管多少個零相加，結果還是零。因此，這個角度也走不通。
古希臘那些傑出的數學家和哲學家們，例如畢達哥拉斯、柏拉圖、亞里斯多德等人，當然也想過這個問題，然而，在百思不得其解的情況下，他們最終放棄了解決這個難題的念頭。亞里斯多德甚至認為，無窮小的概念，其實是一個錯誤的概念。
歲月悠悠，滄海桑田。直到兩千多年之後，無窮小的概念才重新進入數學家們的視線。義大利的伽利略、英國的沃利斯等人，才紛紛重新把目光投向這個千年難題，開始研究無窮小這個問題。
他們可嘉的勇氣值得最偉大的回報。因為，對無窮小的研究，不僅徹底改變了數學，也徹底改變了人類。在伽利略等先驅的研究基礎上，牛頓和萊布尼茲發明了微積分，這個精確而優雅的數學體系，成為了所有現代數學的基礎，也促成了我們所生活的這個現代化世界的誕生。
叄
那麼，在伽利略與牛頓之間的這近二百年的時間裡，究竟發生了什麼事呢？為什麼無窮小這樣一個數學概念，會變成一個甚至連名字都不能被提起的東西呢？
這要從一個叫做耶穌會（The Society of Jesus）的組織說起。耶穌會事天主教的主要修會之一。1534年，在巴黎大學，一位叫做聖依納爵羅耀拉的西班牙貴族創立了它。而耶穌會早期的領導者，也大都來自於那些歐洲大陸上擁有古老傳承的高貴家族。
事實上，耶穌會不僅僅是一個簡單的宗教組織，它在成立之初，就只專注於一個目標：傳播天主教的教義，擴大天主教的影響範圍，增強天主教的權威性。在這個目標的指引下，耶穌會不斷發展壯大，最終成為教皇手中最強大的工具之一。
作為天主教世界的學術領袖，耶穌會具有極高的威望，對於那些新誕生的學說——例如哥白尼的日心說——耶穌會將對其合法性進行審查和裁決。可以說，耶穌會能夠一言決其生死。
1632年8月10日，五個神秘的黑衣男子在一座昏暗的羅馬教堂裡集會，他們嚴肅地討論著一個看似簡單的命題——無窮小是否存在。討論的結果是，嚴令禁止無窮小的傳播，永遠不得傳授乃至提及無窮小的概念。
但這究竟是為什麼呢？難道教會就沒有別的什麼事情可做了麼？他們又是出於怎樣的考慮才會去禁止這樣一個貌似單純的數學概念呢？
沒錯，站在我們現代人的角度來看，無窮小這個概念，只不過是數學大家族當中普普通通的一員，沒什麼了不起的。但在伽利略所在的那個時代，這一切可不是你想的那麼簡單——圍繞著無窮小概念的那場世紀大爭論，甚至可以說是一場關乎現代世界面貌的鬥爭。
對於耶穌會這樣的宗教鐵忠來說，這個世界是一個無比完美的理性世界，它是由嚴格的數學規則所統治的。無論是一粒恆河之沙，還是一顆眾星之王；無論是卑微下賤的乞丐，還是高貴威嚴的君王；無論是秩序森嚴的人類社會，還是自然界的萬千生靈——在這個理性的世界當中，一切事物早已被上帝安排的明明白白。
因此，任何想要修改甚至推翻這個森嚴秩序的行為，都是對至高無上的意志的反叛，是註定會失敗的。
但是，耶穌會的教士們恐懼地發現，在萬物的核心當中，似乎還存在著一種神秘莫測的東西，這種東西能夠逃脫最嚴格的數學推理，甚至會使這個世界的未來與其原本應當遵循的軌跡背道而馳——這種讓教士們壓根無法揣測的東西，難道會是魔鬼派來搗亂的使者嗎？
對於恪守古板傳統和規矩的耶穌會來說，無窮小的出現，似乎打開了潘多拉的魔盒，而那些會破壞現有秩序的「叛亂」「衝突」與「革命」，一個個從盒子裡蹦了出來，降臨這個世間——這正是耶穌會所不能容忍的。因此，他們禁止無窮小的概念，正是出於維護現有政治宗教制度的考慮。
肆
但是，潘多拉的魔盒一旦打開，就再也合不上了！
現在，圍繞著無窮小的世紀戰爭已經開始，交戰的雙方分別是對現有政治權威與宗教制度的捍衛者，以及對學術自由和政治改革的倡導者。而這場思想之戰綿延到整個歐洲大陸，其中，最主要的兩個戰場分別是義大利和英國。
在義大利，無窮小量的支持者主要是伽利略和他的兩位弟子，卡瓦列裡和託裡切利。
在接到卡瓦列裡寄來的那封信之前，伽利略早已功成名就，當時的伽利略，正處在他一生中權利與名譽的巔峰，但是，卡瓦列裡寄來的那封信，改變了這一切。
在信裡，卡瓦列裡提出一個數學問題：假如我們給定一個具體的平面圖形，並在其中畫出一條直線，然後我們繼續在這個平面圖形當中，將所有能與第一條直線平行的直線全部畫出來，那麼，我們是否能將這些直線與這個平面圖形等同起來呢？
這個問題看似簡單，但它卻直指無窮小問題的核心矛盾——我們可以在任何一個平面圖形上畫出無窮條直線，假如我們給每一條直線設定一個寬度，不管這個數值有多小，這無窮多條直線將會累積成一個無窮大的平面，而不是我們初始設定的那個具體的平面圖形，但假如每條直線的寬度都是零，無窮多條直線的寬度也依然是零，也無法得到我們給定的平面圖形。
是的，正是這樣一個問題，始終困擾著自畢達哥拉斯以來的數學家和哲學家們。伽利略被這封信激起了興趣，他很快給這個叫卡瓦列裡的年輕人寫了一封熱情洋溢的回信，鼓勵他繼續將這個問題研究下去，同時，伽利略自己也開始進入這個神秘的領域。
然而，由於受到耶穌會的排擠和打壓，卡瓦列裡最終停下了腳步，並試圖退回到安全的距離，但這一切都無濟於事，在那些反對他的人看來，卡瓦列裡過去的所有研究方法，已經徹底違反了教會所允許的經典方法，他已經走的太遠了。
最終，與卡瓦列裡同時代的另一位年輕人——託裡切利接過了伽利略的火炬，將無窮小的研究推到了卡瓦列裡未曾企及的高度。他在一篇發表於1644年的名為「關於拋物線的面積」的論文中，創造了一種全新的，被他自己命名為「不可分量法」的數學方法——這的確是一項了不起的發現，它為後來的數學家們開闢出一條全新的道路。
遺憾的是，被教會強制軟禁十幾年的伽利略，早已在兩年前就含恨離世了。而託裡切利自己也因為積勞成疾，在1647年去世，這位天才的數學家，死的時候年僅39歲。一個月後，他的師兄卡瓦列裡也因病離世。
應當說，義大利天才輩出的數學黃金年代，屬於伽利略、卡瓦列裡和託裡切利，而就在短短幾年的時間裡，義大利痛失指路明燈，而義大利數學界曾有的輝煌，從此也告一段落了。
伍
接下來的戰場，屬於英國。
英國的皇家學會自成立以來，一直是世界上最權威的科研機構，歷史上許多最偉大的科學家，例如牛頓、拉瓦錫、富蘭克林、巴貝奇、開爾文、達爾文、盧瑟福、愛因斯坦，以及霍金，這一長串名爍古今的大人物，都曾是皇家學會的會員。而這裡，也將成為無窮小概念的決戰之地。
決戰的雙方已經登上了舞臺，決戰的一方是一位白髮蒼蒼的老者，他叫託馬斯霍布斯，曾寫出《利維坦》這部文學傑作的頂尖作家，同時他也是有史以來最偉大的政治哲學家之一。
霍布斯與數學的邂逅，完全可以稱得上是一段奇遇。他直到四十歲時，才與數學結緣。據說，是因為他偶然在別人的書桌上看到了一本《幾何原本》，因為無聊，便拿起來隨手翻閱，這一看，便在他面前打開了一扇新的大門。從此，霍布斯就開始鑽研幾何學。
在霍布斯看來，數學具有嚴謹的美，必須一步一步進行演繹推理，最終得出更為複雜旦同樣具有確定性的真理。而無窮小是一個擅自闖入數學領域的不速之客，它破壞了明白無誤的數學合理性，進而又會破壞社會、宗教和政治的秩序。
但是，霍布斯宿命中的對手也登上了歷史舞臺，這是一位名叫約翰沃利斯的年輕教士，他也算得上是牛頓的劍橋學長。
早在沃利斯求學於劍橋大學的時候，他就對數學產生了極強的興趣。在沃利斯看來，知識的最高形式是基於感性的，是能夠「看出」甚至是「品嘗出」的真理——這正是沃利斯與霍布斯的根本分歧所在——霍布斯極為鄙視這種感性的知識。
達沃斯可以說是義大利數學思想的傳承者，他繼承了卡瓦列裡和託裡切利發現的「不可分量」思想，並在此基礎上寫成了《無窮算術》。在這部著作中，沃利斯向霍布斯發起了終極挑戰。他認為，正是教條主義和不寬容，導致了數學界乃至思想界的固步自封。
在沃利斯看來，無窮小的模糊性也是一個積極特徵，不能因為這種模糊性而抹殺它的存在。前進的道路本就是要小心地、實驗性地使用任何可能有效的方法，來揭開世界的奧秘。任何試圖構造一個完全理性的世界的企圖，只會是一條死路。
最終，沃利斯贏了！他的《無窮算術》得到了英國數學界的一致認可，更重要的是，一位劍橋大學的年輕學生從這本著作中得到了許多有益的啟發——這位學生名叫牛頓。
在接下來的幾十年裡，牛頓和萊布尼茲分別發明了微積分，而這種全新的數學方法幾乎囊括了所有領域，從行星運動到琴弦振動，從蒸汽機到電動力學——這是一場偉大的數學革命，這場革命改變了未來的整個世界。
而這所有的一切，都源於兩千多年前，莊子眼前那根萬世不竭的木棍。