電工基礎:電阻電感電容串聯交流電路(33)

在上一次的學習中，我們知道了電阻元件(本文的電阻元件均指線性電阻元件)、電感元件(本文的電感元件均指線性電感元件)與電容元件(本文的電容元件均指線性電容元件)在直流電路和交流電路中的區別，還知道了三種元件的單一參數交流電路特性。

舉一反三，如果交流電路中同時含有電阻、電感和電容或含有其中兩種參數，那麼該交流電路的特性又是怎樣的呢?這就是我們這次的學習內容：「電阻電感電容串聯交流電路」，也就是我們平時所說的「RLC串聯交流電路」。

下圖33-1的(1)所示為簡單RLC串聯交流電路。若給該電路通以直流電，由於電容元件的隔斷直流的作用，該電路中是沒有電流流過的。

但給它通以正弦交流電時，根據我們上次所學的內容，該電路除了會有電阻外，還會有感抗和容抗的存在。這裡的電阻、電感和電容之間的關係又是怎樣的呢?

圖33-1

首先，在同一交流電路中，各電氣量的角頻率ω(頻率f)都是相同的，這在之前我們學習正弦量的時候已經提過。

回顧上一次的學習內容，在R、L、C的各個單一參數交流電路中，流過電阻元件的電流與電阻元件兩端的電壓同相;流過電感元件的電流滯後於電感元件兩端的電壓90°;流過電容元件的電流超前於電容元件兩端的電壓90°，感抗XL=ωL，即U =IXL，且容抗XC=1/ωC，即U =IXC，結合已知條件：電流的瞬時值表達式和相量式，我們就可以推理出RLC串聯交流電路的電壓和電流關係。

如上圖33-1的(2)瞬時值表達式和(3)相量式。在圖33-1的(2)式中，計算變換過程大家看看即可，由電壓u的瞬時值表達式中，我們可以看到，RLC串聯交流電路的電壓等於各個元件兩端電壓瞬時值的代數之和，而不是有效值的簡單相加，還要考慮相位關係。

同理，圖33-1的(3)相量式更為直觀，從電壓的相量式中，我們可以看到，其虛部(即乘以90°旋轉因子部分)是感抗和容抗的差，這是因為感抗和容抗兩者上的電壓方向相反，一個滯後電流90°，一個超前電流90°，相互抵消。

根據圖33-1(3)的電壓相量式，即電壓相量等於電流相量乘以某定值(頻率不變)的這種表達式，定義阻抗Z(又稱復阻抗)，如下圖33-2所示，它是由電路參數決定。

圖33-2

圖33-2(2)所示的阻抗，定義為電壓與電流的比值，常用Z表示，單位是歐姆(Ω)。

阻抗也是一個複數，其實部稱為電阻R，虛部稱為電抗X，這在上一次的學習中也有所提及。

這裡要提醒的一點是，阻抗不是相量，這是因為相量是正弦量的表示形式，而阻抗不是正弦量，所以阻抗符號Z上面不能像電壓相量、電流相量那樣在上面加點。

根據阻抗的定義，從電壓相量除以電流相量的值中，可以發現，阻抗的模(大小)為電壓有效值U與電流有效值I的比值，而輻角為電壓u與電流i的相位差。根據感抗與容抗的定義、角頻率與頻率的關係，可得阻抗的集中表達式，如圖33-2(3)所示，這幾種表達式在電路分析中都比較常用，所有大家很有必要熟記。

圖33-3

阻抗由電阻和感抗、容抗組成，當電路中沒有電感元件時，顯然，電路中也就不會有感抗，即此時阻抗中只有電阻和容抗；

同理，當電路中沒有電容元件時，顯然，電路中也就不會有容抗，即此時阻抗中只有電阻和感抗。

另外，阻抗既然是一個複數，那麼它顯然可以在複平面上表示，如圖33-3所示。根據阻抗在複平面上的表示，可以看到，其電阻、電抗與阻抗組成一個三角形，這就是大家平常所說的阻抗三角形，圖示的阻抗三角形中感抗大於容抗，即X=XL-XC>0，此時的輻角大於零。阻抗模就是上文所說的電壓有效值U與電流有效值I的比值，阻抗角為電壓u與電流i的相位差。

顯然，阻抗、電阻、電抗和阻抗角之間可以用三角函數進行轉化和計算，例如阻抗角可以用電阻和電抗的反正切函數關係求得，已知阻抗值的情況下用餘弦函數和正弦函數求得電阻和電抗，如圖33-3所示。

電抗為感抗與容抗的差，即X=XL-XC，結合阻抗三角形，可以得到以下電路參數與電路性質的關係如圖33-4所示。

圖33-4

根據圖33-4中內容，當感抗與容抗的差不同時，電路會呈現不同的性質，相角也會隨之變化。當感抗大於容抗時，電路呈感性，此時阻抗角大於零，即電路中電壓超前電流;當容抗大於感抗時，電路呈容性，此時阻抗角小於零，即電路中電壓滯後電流;而當感抗等於容抗時，兩者大小相等方向相反，電抗為零，此時電路呈阻性，電壓與電流同相。

實際工作中的電容補償，其依據其實就是電路中感抗和容抗的不同關係，例如在感性負載(如交流電動機)的交流電路中，此時電壓超前電流，為了減小電壓與電流之間的相角(即功率因數角)，可以在電路中適當接入電容器，以抵消電路中的部分感抗，使得阻抗角變小，提高有功功率。

當補償後電路依然呈感性，這種補償方式稱為欠補償;當完全補償時，即補償後電路依然呈阻性，這種補償方式稱為全補償;當補償後電路依然呈容性，這種補償方式稱為過補償。

在RLC串聯交流電路中，當以電流相量為參考相量時，各元件的電壓是由該元件的參數(電阻、電感、電容)所決定的，包括其數值和相角。所以，結合阻抗三角形和電壓電流關係，可以畫出電壓三角形如下圖33-5所示。

圖33-5

根據圖33-5所示可以發現，電壓三角形的相角其實和阻抗角相等，這是因為在交流電路中，根據圖33-2中阻抗的定義，電流相角已知的情況下，電壓相角就是由電路參數(即電阻、電感和電容)所決定。

結合我們之前所學的相量運算，當感抗大於容抗時，如圖33-5(2)所示，電阻電壓相量、電感電壓相量與電容電壓相量相加，各元件電壓相量首尾相連，此時電壓與電流的相角大於零，電路呈感性，同理可以得到電路呈容性時的電壓三角形如圖33-5(3)所示。

在上一次學習了單一參數交流電路時，我們知道了電阻元件在交流電路中總是消耗電能的，而電感元件和電容元件是儲能元件，它們不消耗電能，只是和電源進行能量的交換。舉一反三，在RLC串聯交流電路中，因為同時存在電阻、電感和電容，所以電路在是在消耗電能的同時，還進行著能量的交換。此時，該RLC串聯交流電路的功率關係如下圖33-6所示。

圖33-6

圖33-6的各個功率計算過程大家可以不管，只需記得最終結果即可。在圖33-6(1)所示的瞬時功率表達式中，其兩個相加項有著不同的含義，左邊部分的值總是大於零，代表了耗能元件上的瞬時功率;

而右邊部分有大於零和小於零兩種情況，代表了儲能元件上的瞬時功率。也就是說，在每一瞬間，電源提供的功率一部分被耗能元件消耗掉，一部分與儲能元件進行能量交換。

根據圖33-6(2)所示的平均功率表達式，平均功率(又稱有功功率)P為電壓與電流乘積的餘弦值，其中cosφ稱為功率因數，它是用來衡量負載對電源的利用程度。結合上次所學的無功功率知識，得RLC串聯交流電路無功功率為圖33-6(3)所示，其中(XL-XC)表明電感和電容與電源之間的能量互換。

圖33-7

根據電壓三角形，把電阻電壓有效值乘以電流有效值即為有功功率的值，它是總電壓與總電流有效值乘積的餘弦值;

同理，把電抗電壓有效值乘以電流有效值即為無功功率的值，它是總電壓與總電流有效值乘積的正弦值。根據有功功率和無功功率的這種三角函數關係，定義視在功率S如下圖33-8所示，它是電路中總電壓與總電流有效值的乘積，用符號S表示，單位是伏安(VA)。

圖33-8

和阻抗三角形一樣，有功功率、無功功率與視在功率在複平面上也可以組成功率三角形。顯然，視在功率也不能用相量表示，因為它不是正弦量。比較阻抗三角形、電壓三角形和功率三角形，可以發現，它們之間是由關聯的，即將電壓三角形的有效值同除電流有效值，就可以得到阻抗三角形;將電壓三角形的有效值同乘電流有效值，就可以得到功率三角形。

在電路中，電阻、電感和電容都可以進行串並聯，而由電阻、電感和電容組成的阻抗顯然也可以進行串並聯。我們這次就先學習阻抗的串聯，下次再學習阻抗的並聯。

圖33-9

電阻的串聯是將各電阻直接相加得到等效總電阻，流過各個電阻的電流一樣，各個電阻上的電壓之和為總電壓......阻抗的串聯其實和電阻的串聯很相似，也是將各個串聯阻抗相加得到等效總阻抗，如圖33-9(1)所示。

不同的是，阻抗的相加並不是簡單的數值相加，而是複數的運算，如圖33-9(2)所示，兩個阻抗相加，分別將其實部與實部相加得到電阻部分的值，虛部與虛部相加得到電抗部分的值。

阻抗串聯交流電路中，各個阻抗對總電壓也有分壓作用，但是此時的分壓是相量的運算，如圖33-9(3)所示。

圖33-10

將圖33-9(1)式進行推廣，得到多阻抗串聯電路的一般式，如上圖33-10所示。顯然，多阻抗串聯電路的等效變換理解起來並不難，但是其實際的計算相對麻煩，因為其中涉及到數值與角度相互關聯。

另外，阻抗本身也包含的電阻、電感和電容三個參數在裡面。在《#電工基礎#》課程中，曹老師花費了兩個多課時的時間講解習題，旨在讓學員們快速理解RLC串聯交流電路與阻抗串聯交流電路。

在這裡再次強調一下，相量的運用，包括對它的理解與運算，在電路分析中是非常實用的，希望大家能掌握這部分的內容。在一開始所學的直流電路比交流電路簡單很多，而交流電路和直流電路又有很多相似的地方，所以先易後難、先直流後交流是學好《電工基礎》的最佳方法。

最後，RLC串聯交流電路的學習已經完成，希望大家能學以致用，把學到的知識運用到實際工作中。(技成培訓原創，作者：楊思慧，未經授權不得轉載，違者必究!)