阿貝爾最著名的一個結果是首次完整給出了高於四次的一般代數方程沒有一般形式的代數解的證明。
在A-level考試裡面，要求學生會解二次方程
他的求根公式是：
對於3次和4次方程，雖然有公式可以用，但是公式太複雜，所以A-level考試不作要求。對於5次以上的方程，壓根兒就沒有求根公式。阿貝爾首先證明了這一點，解決了困擾人類250多年的問題。
阿貝爾出身貧寒，13歲時，他進入了一所天主教學校讀書，數學才華便顯露出來。經他的老師Holmbo的引導下，他學習了不少當時的名數學家的著作，包括:牛頓(Newton)、歐拉(Euler)、拉格朗日(Lagrange)及高斯(Gauss)等。他不但了解他們的理論，而且可以找出他們一些微小的漏洞。
1820年，阿貝爾18歲。他的父親去世，照顧全家七口的重擔突然交到他的肩上。雖然如此，1821年阿貝爾透過老師Holmbo的補助，仍可進入大學讀書，於1822年獲大學預頒學位，並由老師的資助下繼續學業。在學校裡，他幾乎全是自學，同時花大量時間作研究。
1823年當阿貝爾的第一篇論文發表後，他的朋友便力請挪威政府資助他到德國及法國進修。當等待政府回復時，在1824年，22歲的阿貝爾發表了《一元五次方程沒有代數一般解》的論文。他把論文寄了給當時有名的數學家高斯（就是大家耳熟能詳的計算1+2+3+……+100=5050的那個高斯），可惜高斯錯過了這篇論文，也不知道這個著名的代數難題已被解破。
1825-26年的冬季，他遠赴柏林，並認識了克列爾(Crelle)。克列爾是個土木工程師，而且對數學很有熱誠，他跟阿貝爾成為很要好的朋友。1826年，在阿貝爾的鼓勵下，克列爾創立了一份純數學和應用數學雜誌，該雜誌的第一期便刊登了阿貝爾在五次方程的工作成果，另外還有方程理論、泛函方程及理論力學等的論文。
1826年夏天，他在巴黎造訪了當時最頂尖的數學家，並且完成了一份有關超越函數的研究報告。這些工作展示出一個代數函數理論，現稱為阿貝爾定理，而這定理也是後期阿貝爾積分及阿貝爾函數的理論基礎。他在巴黎被冷落對待，他曾經把他的研究報告寄去科學學院，但他的努力也是徒然。他在離開巴黎前染頑疾，最初只以為只是感冒，後來才知道是肺結核病。
他輾轉回到挪威，但欠下不少錢債。他只好靠教書及收取大學的微薄津貼為生。在1828年，他找到一份代課教師之職來維持生計。但他的窮困及病況並沒有減低他對數學的熱誠，他在這段期間寫了大量的論文，主要是方程理論及橢圓函數，也就是有關阿貝爾方程和阿貝爾群的理論。他比雅可比(Jacobi)更快完全了橢圓函數的理論。此時，阿貝爾的名聲經已響遍所有的數學中心，各方面的人也希望為他找到一個適當的教授席位。
在1828年冬天，阿貝爾的病逐漸嚴重起來。在他聖誕節去探他的未婚妻Crelly Kemp期間，病情惡化。1829年4月6日凌晨，27歲的阿貝爾去世了。他的未婚妻堅持不要他人之助照顧阿貝爾，"單獨佔有這最後的時刻"。