尼爾斯·亨裡克·阿貝爾（1802-1829）去世時只有26歲。在他短暫的一生中，阿貝爾很大程度上是自學成才的，他對純數學做出了開創性的貢獻，包括代數方程、橢圓函數、橢圓積分、泛函方程、積分變換和級數表示。
阿貝爾在21歲時自學成才，他是第一個完整地證明了五次方程的根是沒有一般代數解的，或者任何大於四次的多項式方程的根都沒有一般代數解。當時，這個問題已經被討論了250多年。
22歲時，他還寫了一本關於橢圓積分的著作，這為後來的橢圓函數理論奠定了基礎。1829年4月6日，26歲的阿貝爾死於肺結核。
令人難以置信的是，在他的一生中，他從未獲得過一個永久的教學職位。他靠獎學金、臨時教師職位和各種資助人勉強餬口，在他去世時，他正在努力償還赤貧家庭的債務。最殘酷的諷刺是，在他去世還不到兩天，奧古斯特·克列爾就來了一封信，宣布他已被任命為柏林大學的教授。
這就是數學界的莫扎特，尼爾斯·亨裡克·阿貝爾的故事。
阿貝爾早期生活（1802 - 1821）
雖然阿貝爾一開始是在家上學，但在13歲的時候，他離開家，到克裡斯蒂安尼亞（現在的奧斯陸）的克裡斯蒂安尼亞大教堂學校和他的哥哥漢斯一起上學。進入這所學校的正式要求是：
至少十歲能夠展示對歷史和地理的洞察力熟練閱讀丹麥語和拉丁語熟悉四種數學
儘管他是在農村長大的，阿貝爾還是獲得了入學資格。他的父親幫助他找了住房。他的住處包括一個小房間，裡面有床、桌子、凳子，可能還有一扇窗戶，可以俯瞰馬廄院子，馬匹和馬車在這裡來來去去。
阿貝爾十幾歲時每周40個小時的學習時間中，有一半以上都用於學習語言。這些課程包括丹麥語，以及現代外語，如德語和法語，當然還有拉丁語。對那個時代任何有抱負的科學家來說，精通這些語言無疑都是至關重要的，因為當時數學的通用語是法語和德語的混合物。
阿貝爾並沒有立即愛上數學。然而，到了1818年，一位23歲的新老師伯恩特·麥可·霍姆波在阿貝爾的學校教數學，這永遠地改變了16歲孩子們的生活。
受自學成才的約瑟夫-路易斯·拉格朗日的啟發，霍姆波對聲稱學生學習的最佳方式持謹慎態度，他強調他的學生閱讀歐拉的著作並堅持以下原則：
知道
1. 不要一次學習一本書以上，也不要在沒讀完之前就放棄你選的書
2. 如果你遇到了困難，不要放棄，如果有必要的話，你可以往回走20次，然後讓自己去研究另一位數學家的解決方案
3. 跳過那些沒有挑戰性的部分，了解對你來說新鮮的東西；
4. 反思閱讀，特別是作者如何得出解決方案，更重要的是，解決方案導致什麼；
5. 研究另一種變換或替換是否會以更好的方式解決它；
6. 讀書的時候總是拿著筆，這樣你就能算出所有的計算，練習你遇到的所有問題；
7. 列出能讓你有機會發展自己理論的科目清單；
1818年，阿貝爾幾乎無法證明質數有無窮多個。然而，到了1819年，在新老師的啟發下，阿貝爾迅速完成了小學數學的學習。17歲時，他開始接受霍姆波的高等數學私人課程，霍爾姆波幫助他學習歐拉、泊松以及拉格朗日的著作。當1819年夏天學年結束時，霍姆波誇讚阿貝爾是傑出的數學天才。
在1820年阿貝爾畢業的時候，霍姆波已經沒有東西可以教他了，正如他的自傳作者斯塔豪後來所寫：
到18歲時，阿貝爾可能是挪威最博學的數學家了
大學(1821 - 1822)
阿貝爾於1821年進入皇家弗雷德裡克大學（即現在的奧斯陸大學），獎學金是由他的贊助人、老師霍爾姆波和他的朋友們為他籌集的。他在那裡待了不到一年就在1822年獲得了數學學士學位。他的成績單上數學成績「異常優異」，其他科目成績平平。
在他畢業後，沒有任何工作或其他收入的前景，阿貝爾處於無家可歸的邊緣，直到他的前任教授克里斯多福·漢斯汀和他的妻子約翰娜·伯奇·漢斯汀收留了他。漢斯汀當時是挪威最著名的自然科學家。阿貝爾後來稱約翰娜為他的「第二個母親」。漢斯汀一家為小阿貝爾提供了生活條件。除了給他提供住處和食物，漢斯汀還盡力在歐洲數學界推廣阿貝爾的名字。
在他短暫的一生中，阿貝爾得到了許多朋友和贊助人的幫助，儘管他們大多數人並沒有理解他工作的重要性和意義，但他們支持了他雄心勃勃的數學事業。
阿貝爾的專業研究生涯始於1823年，他在新成立的《自然科學家雜誌》上發表了他的第一個作品。研究了泛函方程。特別是，阿貝爾考慮了一種非常普遍的函數方程：
其中φ，f, F，…為一變量的未知函數，α，β，γ，…是已知的自變量x和y的函數。他的研究是一種消去一變量的未知方程的方法，直到他可以得到一個只有一個未知函數和一個變量的微分方程。本文利用該方法從力學和物理中導出了各種經典方程的泛函方程。
阿貝爾的第二篇論文作為他的第一篇發表在同一期《自然科學家雜誌》上，該論文考慮了積分變換，並很可能包含了數學歷史上第一個積分方程。正如斯塔豪所寫：
在那之前，歐拉在積分微積分中引入了用定積分解微分方程的一般思想，例如通過所謂的拉普拉斯變換和傅立葉，柯西研究了傅立葉變換及其反變換定律。
在第二篇論文中，阿貝爾首先研究了積分方程：
ψ是一個給定函數，s是變量x和n < 1的未知函數。阿貝爾接下來研究了n = 1/2的特殊情況，通過將s發展為冪級數並使用歐拉函數 Γ。在1823年論文的第二部分，他還證明了和積分公式：
五次方程（1824）
1824年春，在他的前兩篇期刊論文發表之後，阿貝爾的命運終於有所好轉。他獲得了一筆1500美元的獎學金。
他最著名的研究是，證明了為什麼不可能用自由基解出一般的五次方程：一般五次方程的形式是：
據說，早在1821年，阿貝爾就認為他發現了解這個方程的方法，但後來才意識到他的解有一個錯誤，他後來用這個錯誤證明了任何解都是不可能的。他首先向拉斯穆森和漢斯汀教授展示了他的解決方案，但兩位教授都沒有發現任何錯誤。接下來，他們把這個答案提交給了北歐國家的頂尖數學家卡爾·費迪南德·德根。德根也沒有發現任何錯誤，但仍然對這個答案表示懷疑，不過他指出：
作品展示了一個不尋常的頭腦和不尋常的洞察力，即使目標還沒有被證明，尤其是對他這個年齡來說。——德根，1821年
儘管德根猶豫著要不要把目前的解決方案提交給英國皇家科學院，但他建議阿貝爾提交一份更詳細的說明和一個數字例子，以加強他的論點。
阿貝爾當時肯定不知道的是，義大利數學家保羅·魯菲尼在1799年、1813年分別發表了一個關於不可能解五次方程的假定證明。然而，魯菲尼的證明是不完整的，因為他假定（沒有證明）一個假設解的根是根的有理函數。阿貝爾的證明確實是從這個假設的證明開始的，也就是方程的根：
的形式
為了完整性，阿貝爾證明了用自由基整體求解五次方程的不可能性，如下：
儘管由於經濟原因，這篇論文很可能很少被出售，阿貝爾寄了一些給同事，並最終將這篇論文展示給卡爾·弗裡德裡希·高斯 。據報導，高斯最初的反應是負面的，因為他相信他可以證明相反的情況。然而，隨著時間的推移，高斯也開始相信阿貝爾的證明是正確的。
應用數學的一次失敗嘗試（1824）
阿貝爾在應用數學方面唯一的成就是他1824年的論文：
Abel, N. H. (1824). Om Maanens Indflydelse paa Pendelens Bevægelse. (「Regarding the Moon’s Influence on the Movement of a Pendulum」). Magazin for Naturvidenskaberne 2(2), pp. 143–144.
據說，在漢斯汀教授的鼓勵下，阿貝爾接受了一項任務，用一個掛有測量儀器的鐘擺來計算月球的引力。因為他是《自然》雜誌的編輯，1824年春天，漢斯汀發表了阿貝爾的論文，報告了他的發現。漢斯汀希望這個結果可以作為阿貝爾進入歐洲學術界的引子，他甚至把這個結果寄給了當時擔任《天文學》雜誌編輯的舒馬赫。事實證明，阿貝爾對月球引力的計算是非常錯誤的（大約是6個數量級），因此舒馬赫拒絕發表這篇論文。艾貝爾擔心他會把這個錯誤告訴他的朋友高斯，他感到很尷尬，從此再也沒有涉足純數學以外的話題。
積分方程（1825）
第二年，阿貝爾的第四篇文章發表在《挪威雜誌》上：
Abel, N. H. (1825). Det endelige Integral ∑nφx udtrykt ved et enkelt bestemt Integral (「The Integral ∑nφx expressed as a simple definite Integral」). Magazin for Naturvidenskaberne 3(2), pp. 182–189.
基於他兩年前在同一雜誌上發表的第二篇文章的發現，他在1825年發表的論文也討論了積分方程，特別是公式的推導和推廣：
歐洲之行（1825 - 26）
1825年夏天，阿貝爾和另外四位年輕的挪威科學家一起踏上了歐洲之旅。阿貝爾打算參觀哥廷根和巴黎的數學中心。最值得注意的是，高斯當時在哥廷根大學任教，他是當時最多產的數學家，也是繼歐拉後最偉大的數學家。
在哥本哈根的時候，阿貝爾被他的旅伴說服，一起去了柏林。在那裡，他第一次見到了奧古斯特·克列爾，克列爾將他介紹給了柏林的數學界。阿貝爾認識了奧古斯特·克列之後，就給他新創辦的雜誌寫了三篇論文。第一篇為：
Abel, N. H. (1826). Beweis eines Ausdrucks, von welchem die Binomial-Formel ein einzelner Fall ist. (「Proof of an expression of which the Binomial Formula is a single case」). Journal für die reine und angewandte Mathematik 1, pp. 159–160.
在這篇論文中，阿貝爾給出了牛頓二項式公式的一般且嚴格的證明：
橢圓函數（1826 - 29）
阿貝爾對該理論的第一個貢獻是在巴黎時發表的一篇論文：
Abel, N. H. (1826). Et lidet Bidrag til Læren om adskillige transcendente Functioner (「A Small Contribution to the Teaching of Seperable Transcendental Functions」). Det Kongelige Norske Vitenskabers Selskabs Skrifter 2, pp. 177–207.
這篇論文讓阿貝爾獲得了「橢圓函數理論的創始人」的稱號。最重要的工作出現在阿貝爾生前發表的最後兩篇論文中：
Abel, N. H. (1827). Recherches sur les fonctions elliptiques (「Research on Elliptic Functions」). Journal für die reine und angevandte Mathematik 2, pp. 101–181.
在第一篇文章中，Abel通過回顧歐拉、拉格朗日和勒讓德關於橢圓積分的主要結果，並通過這個關係定義了函數φα= x
其中c和e是實數。在第二篇論文中，阿貝爾描述了一種將橢圓函數表示為與維爾斯特拉斯函數類似的方法。
對數學的貢獻
阿貝爾的職業生涯非常短暫，從1821年進入大學到1829年去世，他的職業生涯只持續了7年。雖然他在他短暫的一生中發表了九篇期刊論文，但他的大部分工作都沒有發表。
阿貝爾微分方程恆等式
在阿貝爾1829年發表在《數學雜誌》上的論文中，他提出了一個方程，用原微分方程的係數來表示齊次二階線性常微分方程的兩個解的朗斯基行列式。
高階多項式的代數解
阿貝爾證明了不可能解決比4階更高的多項式，現在被稱為Abel-Ruffini定理，因為它的兩個主要貢獻者是Abel和Ruffini。
阿貝爾積分
儘管阿貝爾關於不可能解五次方程的結論很著名，但數學家中最著名的還是他對橢圓積分的歐拉加法定理推廣，現在被稱為阿貝爾積分。
的
群論的發明
為了證明五次方程的根沒有一般的代數解，阿貝爾（獨立於伽羅瓦）發明了後來為人所知的群論。除了伽羅瓦，同一時期的約瑟夫-路易斯·拉格朗日也研究過這個問題。
交換群的定義
也稱為交換群是對兩個群元素應用群操作的結果不依賴於它們的書寫順序的一個群。也就是說，如果一個群的任意兩個元素的xy = yx，則該群是交換的。
橢圓函數
阿貝爾橢圓函數的定義，阿貝爾橢圓函數是一個復變量具有兩個周期的全純函數。
阿貝爾橢圓函數是三角函數的一種推廣。具體來說，它們是橢圓積分的反函數，阿貝爾的定義是橢圓函數的第一個建立，隨後由卡爾·古斯塔夫·雅可比定義。換句話說，阿貝爾在雅可比之前定義了橢圓函數，但後者的定義後來成為了標準。
阿貝爾函數
阿貝爾函數是在阿貝爾簇上的亞純函數，因此可以把它看作是n個復變量的周期函數，具有2n個獨立周期;同樣，它是阿貝爾簇函數域中的一個函數。
最後幾年（1827 - 29）
阿貝爾於1827年1月從巴黎回來。在那裡，他感染了肺結核。回國後，他在柏林停留，那裡給了他一個克列爾雜誌的編輯職位，他拒絕了。同年5月，他回到了克裡斯蒂安尼亞。儘管他最初在柏林取得了成功，但他並沒有在巴黎出版作品，因此無法獲得學術職位。因此，他在貧困中度過了餘生。
1823年，阿貝爾在克裡斯蒂安港海軍基地的一場交際舞中遇到了他一生中唯一的伴侶，克裡斯汀·坎普。隨著故事的發展，兩人跳了新舞蹈「華爾茲」，儘管他們都不知道舞步。他們在第二年的聖誕節訂婚，也就是1824年。阿貝爾從國外旅行回來，也是在四年後的聖誕節期間，他坐著雪橇來到了克裡斯汀住的弗蘭德。他在旅途中病得很重，儘管病情有了短暫的好轉，但於1828年4月去世，年僅26歲。
他死後兩天，巴黎的奧古斯特·克列爾寄來一封信，宣布他已設法為他爭取到柏林大學的教授職位，理由是他在克列爾的期刊上發表了一些論文。
遺產
儘管尼爾斯·亨裡克·阿貝爾在世時在他的祖國基本上不受歡迎，但他今天被廣泛認為是有史以來最偉大的挪威數學家。他在挪威農村長大，當時的挪威還是一個貧窮的國家，他在巴黎和柏林的數學環境中短暫而輝煌的崛起，對於一個到2020年人口不到600萬的國家來說，可謂史無前例。
紀念碑豎立在他的記憶已經在奧斯陸皇宮公園,他的房子外面,奧斯陸大學的校園裡,在他的家鄉Gjerstad他出生的芬蘭人øy和更多。挪威的紙幣、紀念幣、郵票上都有阿貝爾的肖像，月球上的一個隕石坑、一顆小行星和一架飛機上都有阿貝爾的名字。
阿貝爾獎
為了紀念尼爾斯•亨裡克•阿貝爾短暫而又多事的一生，挪威政府於2001年宣布，從2002年他逝世200周年開始，每年頒發一個數學獎，以紀念他。
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