兩個英年早逝的天才數學家
19世紀同樣是代數學進一步發展的時代，其中兩個極具代表性的數學家就是阿貝爾和伽羅華。首先從阿貝爾說起，他真的算是一個悲劇性的天才數學家。1821年，19歲的阿貝爾進入奧斯陸大學，三年後發表論文《論一般五次代數方程之不可解性》，其主要結論：如果一個次數不小於五的多項式方程，由它的係數組成的根式都不可能是該方程的根。
阿貝爾所在的挪威經濟落後，沒有知名的數學家。幸運的是他遇到一位好的數學老師，使得他在少年時有機會閱讀歐拉、拉格朗日和高斯的著作。為進一步的學習，大學剛畢業的阿貝爾來到柏林開啟了遊學的旅程。到柏林後認識了一個出版家，先後在《純粹數學與應用數學雜誌》上發表了7篇論文，包括五次方程的不可解性的證明。可惜，當時包括高斯在內的數學家沒有重視阿貝爾的論文。於是，阿貝爾又輾轉去了巴黎，同樣地，柯西與其他的法國數學家也未能重視阿貝爾的工作。兩年後，阿貝爾回到祖國，此時的阿貝爾身患肺結核，貧困潦倒，依靠做家庭教師和朋友的資助度日。無法體會阿貝爾當時的境況和心情。1829年春，經過出版家朋友的努力，柏林大學為阿貝爾提供了教授職位，只是在聘書到達奧斯陸的兩天前，阿貝爾就去世了。
阿貝爾死後不久，數學界認識到了阿貝爾的工作的重要性：阿貝爾定理奠定了代數函數的積分理論和阿貝爾方程的基礎，阿貝爾方程群推進了橢圓函數的研究。而橢圓函數論是複變函數論在19世紀最光輝的成就之一。在「阿貝爾函數方程」問題中，阿貝爾引入了代數中「域」的概念。阿貝爾得到了五次及五次以上的方程不存在一般解的結論，在考慮了一些特殊能解的方程後，又面臨一個問題：什麼樣的方程可以用根式求解？就在阿貝爾去世後的兩年內，另一位英年早逝的天才人物伽羅華給出了方程可解的充分必要條件。
高斯在他的博士論文中率先證明了n次代數方程恰好有n個根(代數基本定理)。基於該定理的前提下，伽羅華的思想是將n次方程的n個根作為一個整體來考察，研究它們之間的重新排列。伽羅華構造了「伽羅華群」，並證明了只有在伽羅華群是可解群時，方程才是根式可解的。而對於伽羅華群，只在n=1、2、3、4時，才是任意可解的。顯然這個結果要比阿貝爾的《論一般五次代數方程之不可解性》的結果更好一些：除包括了阿貝爾四次以上代數方程無一般解以外，還解決了阿貝爾「什麼樣的方程可以用根式求解？」的疑問。伽羅華的這個思路也被人沿用到微分方程的討論中，直到現在還有人通過群的視角來探討微分方程。
伽羅華出身相比阿貝爾要優越的多，自小就接受了良好的教育，中學時也遇到了一位好的數學老師，從此步入了美妙的數學世界。只是沒多久，學校的教材已經無法滿足他的求知慾了，直接閱讀了拉格朗日、高斯、歐拉和柯西的著作，之後進入巴黎高等師範學院。伽羅華貌似是個熱血的憤青，大學期間因為參加反對波旁王朝的運動被學校開除，之後又被抓捕判刑。釋放後，因為戀情和情敵決鬥而死。只是在參加決鬥之前的夜晚，給後世數學家留下了遺囑。伽羅華生前只發表了一篇短文，遞交法蘭西科學院的三篇論文被柯西等人忽視了，所以後世收集到的文稿只有60頁。
伽羅華雖然留下的書稿不多，但他開啟了近世代數的研究，不僅解決了方程可解性這個300多年的難題，更重要的是「群」的引入，推動了代數學的深刻變革。隨著數學和自然科學的發展，群的理論得到了廣泛的應用。自從阿貝爾和伽羅華之後，代數學家的注意力從解方程中解放出來：自從中世紀的阿拉伯數學家花拉子密給出二次方程的根，文藝復興時期的義大利數學家解決了三次和四次方程的求解問題，200多年來數學家都致力於更高次方程根的求解問題。阿貝爾和伽羅華使得數學家的精力從解方程的問題轉到數學內部的發展和革新上。
劉維爾的超越數
比伽羅華早兩年出生的法國人劉維爾，又是一位數學的天才，只16歲便進入了巴黎綜合理工學院學習，畢業後留校助教。劉維爾是代數數的有理逼近和超越數輪的奠基者。超越數的概念最早出現在歐拉的《無窮分析引論》中，劉維爾首先證明了超越數的存在，並通過無窮級數構造了無數個超越數，如下列幾個數就是超越數：
劉維爾數：
法國數學家在1873年，證明了自然常數e是超越數德國數學家林德曼於1882年，證明了圓周率π是超越數
但是我們還不確定e+π是不是超越數，甚至不知道它是不是無理數。同樣地，歐拉常數
是不是有理數也未確定。
最後補充一下超越數的定義，非常好理解：
如果一個複數是某個整係數多項式的根，它就是代數數，否則就是超越數。
哈密爾頓的四元數
哈密爾頓的四元數是繼伽羅華的「群」之後，代數領域的又一重大發現。這是首次出現不滿足乘法交換律的數系，對代數學的發展起到了革命性的作用。
1805年，哈密爾頓出生於英國的都柏林，又是一個天才。少年時候通過自學，迅速掌握了解析幾何和微積分，閱讀了牛頓的《自然哲學的數學原理》和拉普拉斯的《天體力學》，他還指出了《天體力學》中的一處數學錯誤。沒上過學的哈密爾頓以第一名的成績考入了都柏林的三一學院，大學畢業時建立了一個新學科——幾何光學，毫無異議的被三一學院聘任為天文學教授，並獲得「愛爾蘭皇家天文學家」的稱號，此時他還不足22歲。30歲時，被封爵士，兩年後被任命愛爾蘭皇家科學院院長。
19世紀初，高斯等數學家給出了複數的幾何表示。不久，複數用於表示和研究平面上的向量；但很快又意識到一個新的問題，空間中的三維向量運算無法對應三元數組或複數的三維形式的相應運算。為解決這一問題，1837年，哈密爾頓發表文章，首次指出複數a+bi使用有序偶(a,b)表示，並為有序偶定義了加法和乘法運算法則，即
他證明了兩種運算是封閉的，滿足交換律和結合律。他意圖把這種有序偶推廣到任意元數組中，使之具有實數和複數的基本性質。最終，他發現所要尋找的新數至少要四個分量，而且還要放棄乘法的交換律，他把這種數命名為四元數。四元數的發現開啟了代數學的一扇大門，數學家可以自由地建立新的數系。1844年，德國數學家格拉斯曼給出了更一般的有序n元數組。英國數學家凱萊從線性變換中提取出矩陣的概念及運算法則，矩陣的加法滿足交換律和結合律，乘法滿足結合律和對加法的分配率，不滿足交換律。