數學簡史:現代數學的五大應用

計算機和混沌理論

　　一般來說，計算機是指能接收數據，按照程序指令進行運算並提供運算結果的自動電子機器。在計算機的歷史上，起重要革新作用的幾乎全是數學家。直到20世紀70年代末，中國大學裡的電子計算機專業還大多設在數學系，就像康德時代數學隸屬於哲學系一樣。可是如今，多數大學都有了一兩個計算機學院。用機器來代替人工計算，一直是人類的夢想。

　　或許最早使用算盤的並非中國人，但長期以來使用最廣泛的當屬中國的算盤。在明代（1371）出版的一本書裡，就有十檔算盤的插圖，但它的實際發明時間遠在此之前。數學家程大位（1533—1606）的《算法統宗》（1592）詳述了珠算的規則、口訣和方法，標誌著珠算的成熟。這本書也流傳到朝鮮和日本，使得算盤在這兩個國家十分流行。

　　第一個提出機械計算機設計思想的是德國人席卡德（Schickard，1592—1635），他在與克卜勒通信時闡述了這一想法。第一臺能進行加減計算的機械計算機是由帕斯卡發明的（1642），30年後萊布尼茨製造出一臺能進行乘除和開方運算的計算機。

　　使計算機擁有能對數據進行各種運算的裝置，是向現代計算機過渡的關鍵一步，由英國數學家巴貝奇（Babbage，1792—1871）首先邁出，在數論裡有一個與二項式係數有關的同餘式用他的名字命名。巴貝奇設計的「分析機」（1834）分為運算室和存儲庫，外加一個專門控制運算程序的裝置，他曾設想根據穿孔卡片上的「0」和「1」來控制運算的順序，這無疑是現代電子計算機的雛形。

　　遺憾的是，即便巴貝奇付出後半生的絕大多數精力和財產，甚至失去劍橋大學的盧卡斯教授職位，也沒幾個人能理解他的思想。據說真正支持他的人只有三個：他的兒子——巴貝奇少將（在父親去世後還為分析機奮鬥了許多年）、未來的義大利總理和詩人拜倫（Byron，1788—1824）的女兒阿達。

　　阿達（Ada，1815—1852）是拜倫和妻子的獨生女，她為某些函數編制了計算程序，可謂開現代程序設計之先河。由於時代的局限性，巴貝奇分析機的設計方案在技術實施上遇到了巨大的障礙，他藉助通用程序控制數字計算機的天才設想，要再過一個多世紀才能實現。

　　20 世紀以來，科學技術的迅猛發展帶來了堆積如山的數據問題，尤其是在「二戰」期間，軍事上的計算需要更使計算速度的改進成為燃眉之急。起初，人們採用電器元件來代替機械齒輪。1944年，美國哈佛大學的數學家艾肯（Aiken，1900—1973）在IBM（國際商業機器公司）的支持下設計和製造出世界上第一臺能實際操作的通用程序計算機（佔地170平方米），只部分使用了繼電器，不久後他又製成了一臺全部用繼電器的計算機。與此同時，在賓夕法尼亞大學，人們用電子管來代替繼電器，於1946年造出了第一臺通用電子數字積分計算機（ENIAC），效率提高了1000倍。

　　1947年，數學家馮•諾依曼（Neumann，1903—1957）提出了把ENIAC使用的外插程序改為存儲程序的想法，按照這種想法製成的計算機能按存儲器中的指令進行操作，從而大大加快了運算進程。1946年，他與人合作發表論文，提出了並行處理和存儲數據計算機的綜合設計理念，對後來的數字計算機的設計產生了深遠影響。馮•諾依曼出生在布達佩斯，屬於多才多藝的那類學者，在數學、物理學、經濟學、氣象學、爆炸理論和計算機領域都取得了卓越的成就。據說他是在火車站等車時遇見了ENIAC的設計師，後者向他討教計算機的技術問題，從而激起了他的興趣。

　　另一位對計算機設計理念做出傑出貢獻的是英國數學家圖靈（Turing，1912—1954），他為了解決數理邏輯中的基本理論問題——相容性，以及數學問題的機器可計算性的判定，而提出了他的「理想計算機」模型。直到今天，數字計算機都沒有跳出這個理想模型的範疇：

　　輸入/輸出裝置（帶子和讀寫頭）、存儲器和控制器。

　　圖靈還研究過可以製造出能思考的計算機的理論，這方面的構想已成為人工智慧研究的基礎。可惜的是，圖靈後來因為不堪忍受對其性取向進行的強迫治療，吃下用氰化物溶液浸泡過的蘋果而自殺。為了紀念圖靈，1966年，英特爾公司出資設立了「圖靈獎」，這是計算機領域的最高獎項。1976年創建的蘋果電腦公司以一隻被咬了一口的蘋果作為標誌，這家以推出iPhone手機和iPad平板電腦風靡全球的公司的信念是：只有不完美才能促使進步去追求完美。

　　雖然數字計算機已歷經四代的發展，但從電子管、電晶體到集成電路、超大規模集成電路，均是採用二進位撥碼開關。這一點不會改變，即使將來有一天，電子計算機被取代（比如量子計算機）。這自然與19世紀英國數學家布爾（Boole，1815—1864）所創立的布爾代數的符號邏輯體系分不開，他完成了兩個世紀前萊布尼茨未競的事業，即創立了一套表意符號，每一個符號代表一個簡單的概念，再通過符號的組合來表達複雜的思想。

　　布爾出身貧寒，他的父親是一個補鞋匠，他主要通過自學成材，後來成為愛爾蘭皇后學院（現名為科克大學）的數學教授，併入選英國皇家學會。不幸的是，布爾49歲那年因淋雨患肺炎去世。當年早些時候，他的小女兒出世，她便是小說《牛虻》的作者伏尼契（Voynich，1864—1960）。

　　作為抽象數學應用的一個光輝典範，計算機也已成為數學研究本身的有力工具和問題源泉，並推動了一個新的數學分支——計算數學的誕生。它不僅設計、改進各種數值計算方法，還研究與這些計算有關的誤差分析、收斂性和穩定性等問題。馮•諾依曼是這門學科的奠基人之一，不僅與人合作建立了全新的數值計算法——蒙特卡羅方法，還領導一個小組利用ENIAC首次實現了數值天氣預報，後者的中心問題是求解有關的流體力學方程。值得一提的是，20世紀60年代，中國數學家馮康（1920—1993）獨立創建了一種數值分析方法——有限元法，可用於包括航空、電磁場和橋梁設計等在內的工程計算。

　　1976 年秋，伊利諾伊大學的兩位數學家阿佩爾（Appel，1932—2013）和哈肯（Haken，1928—）藉助電子計算機，證明了已有100多年歷史的地圖四色定理，這是利用計算機解決重大數學問題的最鼓舞人心的範例。說起地圖四色定理，這是由英國人提出的難得一見的著名猜想。1852年，剛剛在倫敦大學獲得雙學士學位的格斯裡（Guthrie，1831—1899）來到一家科研單位做地圖著色工作，他發現只需用4種顏色即可填滿地圖並使得任何兩個鄰國呈現不同顏色。但是，不僅他和仍然在讀的弟弟無法證明這個猜想，就連他的老師摩根和哈密爾頓也無能為力。於是，凱萊經過一番研究後在倫敦數學學會做了一個報告，使得這個問題出了名。

地圖四色問題圖例

　　從那以後，數學家們更多地藉助計算機研究純粹數學，這方面突出的例子是孤立子（soliton）和混沌（chaos）的發現，它們是非線性科學的核心問題，可謂兩朵美麗的「數學物理之花」。孤立子比四色定理出現得還早，1834年，英國工程師拉塞爾（Russell，1808—1882）在馬背上跟蹤觀察運河中船隻突然停止所激起的水波，他發現它們在行進中形狀和速度沒有發生明顯的改變，於是稱其為「孤立波」。一個多世紀以後，數學家們又發現，兩個孤立波碰撞後仍是孤立波，因此被稱為「孤立子」，孤立子在光纖通信、木星紅斑活動、神經脈衝傳導等領域大量存在。混沌理論是描述自然界不規則現象的有力工具，被視為繼相對論和量子力學之後現代物理學的又一次革命。

　　計算機科學的飛速發展，不僅離不開數理邏輯，也促進了與之相關的其他數學分支的變革或創立，前者的一個例子是組合學，後者的一個典型代表是模糊數學。組合學的起源可以追溯至《易經》中的「洛書」，萊布尼茨在《論組合的藝術》中率先提出了「組合」這個概念，後來數學家們從遊戲中歸納出一些新問題，如哥尼斯堡七橋問題（衍生出「圖論」這一組合數學的主要分支）、歐拉36軍官問題、柯克曼女生問題和哈密爾頓環球旅行問題等。20世紀下半葉以來，在計算機系統設計和信息存儲、恢復中遇到的問題，為組合學研究注入了全新的強大動力。

　　相比古老的組合學，1965年誕生的模糊數學可以說是年輕的。按照經典集合的概念，每一個集合必須由確定的元素構成，元素之於集合的隸屬關係是明確的，這一性質可以用特徵函數μA（x）來表示：

　　模糊數學的創始人是亞塞拜然出生的伊朗裔美國數學家、電器工程師扎德（Zadeh，1921—），他把特徵函數改寫成所謂的隸屬函數μA（x）：0≤μA（x）≤1，在這裡A被稱為模糊集合，μA（x）為隸屬度。經典集合論要求μA（x）取0或1兩個值，模糊集合則突破了這一限制，μA（x）=1表示百分之百隸屬於A，μA（x）=0表示完全不屬於A，還可以有20%隸屬於A，80%隸屬於A，等等。由於人腦的思維包括精確的和模糊的兩個方面，因此模糊數學在人工智慧系統模擬人類思維的過程中起到了重要作用，它與新型的計算機設計密切相關。但是，作為一個數學分支，模糊數學尚未成熟。

曼德勃羅集圖例

　　一方面，計算機的每一次飛躍都離不開數學家們的工作。另一方面，計算機的進步也推進了數學研究工作。現在，我們來談談幾何學和計算機的奇妙結合。20世紀幾何學的兩次飛躍分別是從有限維到無限維（上半世紀）和從整數維到分數維（下半世紀），後者被稱為分形幾何學，它是新興的科學分支——混沌理論的數學基礎。擁有法國和美國雙重國籍、波蘭出生的數學家曼德勃羅（Mandelbrot，1924—2010）通過自相似性建立起這門全新的幾何學，這是有關斑痕、麻點、破碎、扭曲、纏繞、糾結的幾何學，它的維數居然可以不是整數。

　　1967 年，曼德勃羅發表了《英國的海岸線有多長？》的文章。在查閱了西班牙和葡萄牙、比利時和荷蘭的百科全書後，人們發現這些國家對於它們共同邊界的估計相差20%。事實上，無論是海岸線還是國境線，其長度取決於測量度的大小。一位試圖從人造衛星上估計海岸線長度的觀察者，相比海灣和海灘上的踏勘者，將得出較小的數值。

　　而後者相較爬過每一枚鵝卵石的蝸牛來，又會得出較小的結果。常識告訴我們，雖然這些估值一個比一個大，可是它們會趨近於某個特定的值，即海岸線的真正長度。但曼德勃羅卻證明了任何海岸線在一定意義上都是無限長的，因為海灣和半島會顯露出越來越小的子海灣和子半島。這就是所謂的自相似性，它是一種特殊的跨越不同尺度的對稱性，它意味著遞歸，即圖案之中套著圖案。這個概念在西方文化中由來已久，早在17世紀，萊布尼茨就設想過一滴水中包含著整個多彩的宇宙；之後，英國詩人兼畫家威廉•布萊克（Blake，1757—1827）在詩中寫道：一顆沙裡看出一個世界/一朵野花裡有一個天堂。

　　曼德勃羅考慮了一個簡單的函數f（x）=x2+c，其中x是復變量，c是復參數。從某個初始值x0開始令xn+1=f（xn），就產生了點集{xi，i=0，1，2…}。1980年，曼德勃羅發現，對於有些參數c，迭代會在複平面的某幾點之間循環反覆；而對於另外一些參數c，迭代結果卻毫無規律可言。前一種參數c叫吸引子，後一種叫混沌，所有吸引子的複平面子集如今被命名為「曼德勃羅集合」。

　　由於複數迭代過程即便對於較為簡單的方程（動力系統）也需要海量的計算，因此分形幾何學和混沌理論的研究只有藉助高速計算機才能進行，結果也產生了許多精美奇妙的分形圖案，不僅被用來做書籍插圖，還被出版商拿去製作掛曆。在實際應用中，分形幾何學和混沌理論在描述和探索許許多多的不規則現象（如海岸線形狀、大氣運動、海洋湍流、野生生物群，乃至股票、基金價格的漲落，等等）方面，均起到十分重要的作用。

　洛倫茲吸引子與「混沌蝴蝶」

　　就美學價值而言，新的幾何學賦予了硬科學特別的現代感，即追求野性、未開化、未馴養的天然情趣，這與20世紀70年代以來後現代主義藝術家所追逐的目標不謀而合。在曼德勃羅看來，令人滿足的藝術沒有特定的尺度，或者說它包含了一切尺寸的要素。他指出，巴黎的藝術宮殿作為摩天大樓的對立面，它的群雕和怪獸，突角和側柱，布滿旋渦花紋的拱壁和配有簷溝齒飾的飛簷，觀察者從任何距離望去都能看到某種賞心悅目的細節。而當你走近時，它的構造又發生了變化，展現出新的結構元素。

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