阿諾德:從「低能兒」到「奇異數學家」

　　?阿諾德。圖片來源：mccme.ru

　　撰文｜丁玖（美國南密西西比大學數學教授）

　　責編｜程莉

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　　2017年6月12日是偉大的俄羅斯數學家阿諾德（Vladimir Igorevich Arnold, 1937– 2010）八十周歲冥誕，今年的6月3日將是他去世八周年紀念日。在當今世界級數學家的集合裡，阿諾德不算長壽者。他的同胞西奈依（Yakov G. Sinai）長他兩歲，卻依然健在，他們共同的老師柯爾莫哥洛夫（Andrey N. Kolmogorov, 1903-1987）也活到八十四歲。彼此惺惺相惜的1966年菲爾茲獎得主、美國數學家斯梅爾（Stephen Smale）早他七年出世，卻還在世上，不時紅光滿面地擺弄著他那些精心收藏的稀世礦石。不過比起也是去年先後病逝的一女一男菲爾茲獎獲得者——史丹福大學的伊朗人米爾扎哈尼（Maryam Mirzakhani）和普林斯頓高等研究院的俄國人弗沃特斯基（Vladimia Voevodsky），一個僅享年四十，另一個也剛五十一歲，阿諾德的壽命算是不短了。

　　阿諾德家的「低能兒」

　　阿諾德與西奈依的祖父母輩都住在俄羅斯南部的大城市Oddesa（現屬烏克蘭），並且還是好朋友呢。阿諾德的母親在那裡探親時，順便產下了兒子，然後又回到了莫斯科。按照西奈依的說法，「阿諾德家生下一個神童」這條廣為流傳的新聞伴隨著他的長大。這不奇怪，在1990年的採訪中，阿諾德說他是自己家族中的「第四代數學家」。採訪他的數學與物理月刊是俄國大中學生及高中教師閱讀的Kvant（《量子》），流通量約為二十萬。中國八年前創刊、頗受歡迎的數學普及雜誌《數學文化》，目前的訂閱量不到它的二十分之一。

　　當採訪一開始就問到他怎樣成為數學家時，阿諾德回答的第一句是：「我總恨死記硬背。」正因如此，「我小學的老師告訴我父母，像我這樣的低能兒將永遠掌握不了乘法表。」這句話應該讓我國幾十萬中小學數學老師們慢慢體會一下。

　　然而，當他遇到了他一輩子銘記在心的第一個真正的老師後，他的數學才華開始顯露。老師提出的數學問題是：從兩鎮同時出發相向而行的兩位老嫗，在中午相遇，再繼續走向對方小鎮，分別於下午四點和晚上九點到達目的地，問她們是何時起步的？ 當然此題代數求解非常容易，但那時他們還未學到代數。阿諾德用了相似性的理由發明了「算術」解，體驗了發現的快樂。於是「再次體驗這種快樂的欲望才是我成為數學家的要素。」

　　年少成名

　　在傑出的數學家當中，有那麼少數幾個人，不僅用數學的尺度來丈量是頂天立地的巨人，在非數學的量器下來衡量也是舉世罕見的人物。比如以八十六歲高齡去世的格羅騰迪克（A. Grothendieck, 1928-2014），不僅革命化了代數幾何這一古老學科而成一代數學天王，而且以熱愛和平的信念退出數學的世界而隱名埋姓幾十年直至過世。又比如證明龐加萊猜想的佩雷爾曼（G. Perelman, 1966-），視名利為糞土，面對菲爾茲獎牌和克萊研究所的一百萬美元獎金無動於衷，夠讓我們芸芸眾生感覺震驚的。

　　阿諾德也是這樣一位與眾不同、獨具魅力的數學家。我最近讀了一本美國數學會2014年出版的書，書名是《阿諾德：逆流而上》（Arnold: Swimming Against the Tide）。此書由兩位俄羅斯數學家黑斯恩（Boris A. Khesin）和塔波科尼科夫（Serge L. Tabachnikov），將之前散見於各雜誌的阿諾德自己的文章或採訪記以及他人的回憶彙編而成。讀了它，人們就會發現，阿諾德的確是舉世無雙、魅力無窮的數學家！

　　阿諾德作為數學家的魅力在於：出名早、領域廣、研究深、喜提問、愛猜想。他的數學天才最早的結晶就是對希爾伯特第十三問題的求解。兩個變量的函數很容易複合成三變量函數，例如f（g（x, y）, h（z, y））。但是反過來呢？希爾伯特問：三個變量的連續函數可否通過兩個變量的連續函數疊加而成？他自己認為，求七次代數方程f7 + x f3 + y f2 + z f + 1 = 0得到的依賴三個參數的解f（x, y, z），是不可能這樣得到的。1956年，柯爾莫哥洛夫已經證明，任意個數變量的連續函數都可以化約為三個變量連續函數的疊加。如果能將三個變量進一步減少到兩個，希爾伯特的問題就被解出。於是，柯爾莫哥洛夫將這一問題交於剛跨入十九歲的大三學生阿諾德考慮。不到二十歲，後者就給出了希爾伯特第十三問題的肯定回答。1965年，阿諾德和他的老師獲得了蘇聯的最高獎之一：列寧獎。那一年只有三人獲獎，第三位是被譽為「蘇聯演員之王」的斯莫克圖諾夫斯基（Innokentiy M. Smoktunovsky, 1925-1994）。

　　十九個「阿諾德品牌」

　　阿諾德的研究領域有多廣？我讀到的《阿諾德》這本書的序言一開始就說：「阿諾德是我們這個時代最有影響力的數學家之一。他開創了幾個數學領域，如幾何力學、辛拓撲及拓撲流體動力學。從常微分方程和天體力學到奇異理論和實代數幾何，他都對其基礎和方法做出了奠基性的貢獻。」接著，序言列出了（不完全的）以阿諾德名字命名的十九個數學術語，其中包括動力系統研究者幾乎個個都知道的KAM理論和阿諾德擴散。

　　阿諾德的研究結果之深刻，無需我在這裡介紹或評述，我也沒有資格寫這些。但他好提問題，好猜想的研究風格值得我添上幾句。他的老師柯爾莫哥洛夫就是全天下最偉大的數學教師之一。他一生中指導過的傑出學子，舉不勝舉，多少人成了蘇聯科學院的院士，數目也達到兩位數。我曾經在我的科普書《智者的困惑：混沌分形漫談》中第258頁上將他與孔夫子相比，因為後者有七十二個門徒。當斯梅爾上世紀六十年代訪問莫斯科時，被四個比他還年輕的俄羅斯數學後起之秀所震驚，坦承「西方並無此種組合」。俊傑阿諾德、西奈依、阿諾索夫（D. Anosov）、諾維科夫（Sergei P. Novikov, 1938-）這四位中的前二位都是柯爾莫哥洛夫的嫡傳弟子，後來都是舉世聞名的大數學家。柯爾莫哥洛夫也善提問題，他對還是大學生的阿諾德提出的希爾伯特問題，成就了弟子的第一個世界級成果。他草創的「測度熵」概念，經西奈依的精心修正，成了當今動力系統理論的有力工具。

　　像他的老師一樣，阿諾德提出的數學問題，常常是新的數學分支的助產士，他的數學猜想，則不斷「引無數英雄競折腰」。在那十九個「阿諾德品牌」中，有個大名鼎鼎的「辛拓撲阿諾德猜想」，實際上是他一系列有關猜想的總稱。它們的最簡單情形就是所謂的龐加萊「最後的幾何定理」，即圓環的保面積保定向同胚，若將內圓和外圓反向旋轉，則至少有兩個不動點。龐加萊去世前發表了他的如此斷言，但時間與健康讓他無法證明。美國數學家伯克霍夫（George D. Birkhoff, 1884-1944）的成名作之一就是證明了這個猜想。

　　辛幾何中的這類猜想，催生了若干新的重要理論和方法。美國數學會於千禧之年出版的論文集《數學：前沿與展望》（Mathematics: Frontiers and Perspectives），收進了阿諾德的一篇特稿《多元數學：數學是單一學科還是一組藝術？》（Polymathematics: Is Mathematics a Single Science or a Set of Arts?）。他在該文中回顧了辛幾何猜想的歷程，有一段落的第一句這樣寫道：「這些推廣了圓環映射龐加萊『最後定理』的猜想，後來被許多作者（Ya. Eliashberg, P. Rabinowitz, C. Conley和E. Zehnder, M. Chaperon, J.-C. Sikorav, F. Laudenbach, Yu. Chekanov, A. Floer, H. Hofer, C. Viterbo, A. Weinstein, D. Salomon, A. Givental, M. Gromov等）的一系列輝煌工作所研究。」括號內放的都是數學界如雷貫耳的名字，有國際數學家大會的一小時報告者，有五十歲不到就獲得沃爾夫數學獎的，也有英年早逝（至少兩個）甚至自殺的。

　　接下來的一段落則這樣開始：「我聽說激發這些理論的我最初的那些猜想，已被（Fukaya，Ono，Salomon，阮等人）證明。」

　　總算見到一個讓中國人自豪的姓了；阮就是阮勇斌，四川大學1982年的畢業生，密西根大學的講座教授。大概阿諾德忘記寫下我的大學同學田剛的名字，因為我聽說田的傑作之一就是證明了阿諾德猜想。或許他不小心將田的大名放進了「等人」的集合，但是他下面的話更具奇異性：「不幸的是我無法理解這些證明的技術細節。康特舍維奇（Maxim Kontsevich, 1964-, 1998年菲爾茲獎得主）也無法向我解釋，雖然這些證明基於他的曲線穩定映射理論。」

　　事實上，阿諾德並不滿意這些證明，因為他接著說道：「就我的理解，所有這些證明都用貝蒂數之和來界定（minorate）不動點的個數，而我則猜測它是由莫爾斯數來界定的（或由幾何上不同的臨界點的最小個數，如果不動點可幾何地計數）。」

　　「與熊對峙」的運動激情

　　阿諾德在非數學方面的獨特性就更加多姿多態了。首先，和他健壯如牛的導師柯爾莫哥洛夫如同一轍，他是一個運動健兒，和他的師兄弟西奈依同在大學時代就爬山不止。西奈依在他的回憶中生動地記載了他們在高加索山脈中「與狗共吠」的驚險故事。

　　中國的數學家中，熱愛運動的好像不多。華羅庚先生因腿疾不善運動，可被理解，但那些四肢正常的卻把運動和數學對立起來。有一年的五月我在北京，所裡五四青年節爬山，非青年中只有前所長袁亞湘教授報名參加，把訪問者我也拉去了。田剛大學時代就常和幾個室友（自然也包括我）爬紫金山，據說爬山早已成了他幾十年的愛好。難怪這兩個中國科學院的院士學問做得那麼好，這和愛運動是有正比關係的。

　　阿諾德天生喜歡挑戰，甚至向體能極限衝擊。我記得在《美國數學會通訊》（Notices of the American Mathematical Society）上讀過他的冒險故事，比如在一次遠足中「與熊對峙」。這本《阿諾德》書中有好幾人的文章都提到他的運動激情。他的一位學生曾回憶起他遊泳時差點被舊金山大橋下的激流所吞沒的情形。

　　愛冷嘲熱諷的「大嘴」

　　阿諾德一直以俄羅斯的數學而自豪，甚至在一些西方數學界人士的眼中過於「自負」，但他們怕就怕他那張好冷嘲熱諷的尖刻大嘴。我沒有讀到過他對中國數學或中國數學家的負面評論，但是正面評論也沒有讀到，或許他覺得沒有評頭品足的必要，就像沒人會認為一個十歲孩兒明年會是奧運會新的世界飛人。

　　晚年他經常待在法國，於是這個國家的數學家常常遭殃，被他嘲弄。我多年前讀過他對法國數學家的輕蔑之語，並舉例說明。說的是當他面試一位求職的數學家時，問對方簡單的二次型xy的「符號差」是幾。這個小有名氣的學者對線性代數素有研究，發表了好多論文，但卻如此回答：他的電腦程式一小時可算出任何二次型的符號差，但他的大腦在十五分鐘內卻無法把它算出來。於是，阿諾德大大地挖苦了法國人「不求真懂」。其實這種個別實例絕無代表性，但眾所周知的是阿諾德對幾十年前影響巨大的法國布爾巴基學派永不休止的口誅筆伐。這不過極端性地表達了他的鮮明數學觀，可用他的一句驚人之語「數學是物理的一部分」一言以蔽之。他一生都是牛頓的信徒，龐加萊的同道，始終都不與以希爾伯特為代表的形式主義數學家們「同流合汙」。

　　阿諾德認為，「『數學』這個詞意味著關於真理的科學」。對他而言，「現代科學（理論物理及數學）似乎是三百年前由牛頓所建立的新的宗教和真理的崇拜。」說到數學與物理的關係以及數學家和物理學家的交往，還要提到阿諾德在上世紀末在「阿諾德節」上關於他老師的一段話：「在柯爾莫哥洛夫的論文集裡，有一篇是他和著名物理學家列昂託維奇（Mikhail Leontovich, 1903-1981）合寫的，關於布朗軌道的鄰域。這篇數學家與物理學家的文章由兩部分組成：數學部分包括積分賦值、漸近性、黎曼曲面、單值性、皮卡-萊夫謝茨（Picard-Lefschetz）定理等，而物理部分包含背景方程等。當然，數學部分是列昂託維奇寫的，物理部分則由柯爾莫哥洛夫動的筆。這在俄國很典型。」阿諾德繼承了他師傅的衣缽，一生都與物理學家們過從密切，最終領悟出「數學只是物理的子集」這一伽利略也會同意的信念。

　　如果說阿諾德對法國數學及其人物的藐視還僅在於知識論方法論的層面上，對美國數學家毫不留情的不停批評已經擴張到了道德的範疇。我已記不得在多少篇採訪或回憶文章中看到這類故事。早在九十年代初，當蘇聯解體後的數學家面臨經濟窘境之際，美國數學界伸出了援助之手：建立基金，邀請訪美，提供食宿。但是他看到了個別北美數學家在施捨的同時，也不勞而獲地在對方的論文上順帶籤上了作為「合作者」的大名，馬上著文大加鞭撻。在他的眼裡，俄羅斯數學家應當也立志「人窮志不窮」，不吃「嗟來之食」。的確，歷史上出現過普希金、託爾斯泰的俄羅斯人具有這樣的情操。我九十年代初有次回國時，拜望了母校的前任系領導。她的先生是俄語教授，告訴我他上一年訪問俄國時看到的一幕：冰天雪地上，因食品奇缺而排長隊購買的人們，秩序井然，無人插隊，依然君子風範如故。這就是深厚文化傳統的力量！

　　《阿諾德》這本書的第173頁上，上面引述的阿諾德文章段落括號內列出的赫爾穆特? 霍費爾（Helmut Hofer），描繪了三十年前在柯朗數學科學研究所聽阿諾德演講時的情形：「他的報告在兩方面都是非凡的：偉大的數學及在數學講座中不大遇到的東西。」那個東西是「某時某刻他突然轉向,激烈指責西方數學家怎樣不給俄羅斯數學家proper credit」。

　　「奇異理論」在阿諾德的數學成就中是一道亮麗的風景線。如果我們充分了解了他的一生言行，很自然就會稱他為我們這個時代的偉大的「奇異數學家」。若用數學的語言，奇異現象較之正常現象總是「測度為零」的，比如奇異矩陣要比非奇異矩陣少得多。在作為人的數學家群體中，人性的缺陷幾乎處處存在，不說真話、人云亦云、處事中庸比比皆是。但是物以稀為貴，像阿諾德這樣的對學生極端負責、對同事表裡如一、對醜行鐵面無情的純粹學者實屬鳳毛麟角。一位四十年前曾被阿諾德回信挖苦過的英國物理學家貝裡（Michael Berry）爵士，在一篇回憶短文的最後特別指出，至少在四個方面，阿諾德是美國物理學家費恩曼（Richard Feynman, 1918-1988）的「數學對等物」：「如同費恩曼，阿諾德在他的領域中做出了大量的原創貢獻，並有巨大影響；他是闡述大師和激發靈感的教師，將新觀念帶給新觀眾；他是毫不妥協的直接，完全誠實；他是一個多彩的人物，喜作惡作劇，令人驚奇。」他們一個是奇異的物理學家，另一個是奇異的數學家，或者說是奇異的子物理學家，因為阿諾德斷言：「數學是物理的一部分！」

　　作者簡介

　　丁玖，美國南密西西比大學數學教授，中國《數學文化》雜誌編委。著有中英文學術著作三部以及科普書《智者的困惑：混沌分形漫談》、寫作書《數學之英文寫作》（與湯濤合著）和教育書《親歷美國教育：三十年的體驗與思考》。

　　製版編輯： 許逸｜

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