七年級下學期,三角形中三種重要的線段之中線,它有哪些應用呢

2021-01-08 勤十二談數學

在三角形中，有三種重要線段，分別為：中線、高線和角平分線，本節內容主要介紹中線的作用。那麼，什麼是中線？中線到底又有哪些應用呢？

中線的定義

三角形中，連接一個頂點與它對邊中點的線段，叫做這個三角形的中線。三角形的中線是一條線段，這條線段的兩個端點，一個是三角形的頂點，另外一個是這個頂點對邊的中點，這也是三角形中線與中點的區別。

AD是△ABC的中線，由此可以得到BC=2BD=2CD，BD=CD=1/2BC。

中線的條數

任意一個三角形都有三條中線，那麼這三條中線會交於同一點嗎？這個交點的位置會隨著這個三角形的改變而改變嗎？通過作圖可以發現，三角形的三條中線交於同一點，並且無論這個三角形是銳角三角形、直角三角形，還是鈍角三角形，三條中線的交點都在三角形的內部。

中線的應用

1.與中線相關的線段長問題

例題1：在等腰三角形ABC中，AB＝AC，一腰上的中線BD將這個三角形的周長分成15cm和6cm兩部分，求這個等腰三角形的三邊長．

分析：由「一腰上的中線BD將這個三角形的周長分成15cm和6cm兩部分」可知，不明確那一部分的周長為15釐米，哪一部分的周長為6釐米，因此需要分兩種情況進行討論。

即（1）△ABD的周長為15釐米，△BCD的周長為6釐米；（2）△ABD的周長為6釐米，△BCD的周長為15釐米.

解：設AD＝CD＝xcm，則AB＝2xcm，BC＝(21－4x)cm.

依題意，有AB＋AD＝15 cm或AB＋AD＝6 cm，則有2x＋x＝15或2x＋x＝6，

解得x＝5或x＝2.

當x＝5時，三邊長為10 cm，10 cm，1 cm；

當x＝2時，三邊長為4 cm，4 cm，13 cm，而4＋4＜13，故不成立．

所以這個等腰三角形的三邊長為10 cm，10 cm，1 cm.

2.與中線相關的面積問題

中線可得到一個頂點對邊上兩條線段相等，得到的兩個三角形等底等高，面積也相等。

例題2：如圖，△ABC的三邊的中線AD，BE，CF的公共點為G，且AG：GD＝2：1.若S△ABC＝12，求圖中陰影部分的面積．

分析：GF為△ABG邊AB上的中線，根據中線分三角形為面積相等的兩部分得到△AFG與△FBG面積相等，同理得到△AGE與△CEG面積相等，△BDG與△CDG面積相等，由AG：GD＝2：1可得△ABG的面積為△BDG面積的兩倍，由此可以得到六個小三角形的面積都相等。

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