知道搞怪的費曼，但你知道費曼圖嗎？| 量子群英傳

一個電子遍歷宇宙，幾張神圖巧算場論。

圖20-1：費曼圖

撰文 | 張天蓉

責編 | 寧 茜 呂浩然

大戰後有關量子場論的3次重要會議，都是由美國理論物理學家奧本海默（Julius Robert Oppenheimer，1904-1967）主持的，這3場會議主要討論量子電動力學。

在公眾眼裡，奧本海默以在1942年到1945年期間領導曼哈頓計劃（Manhattan Project）著稱，實際上他也是一位做出多項接近諾貝爾獎級別成果的著名物理學家，他在性情和人格方面頗具特色與魅力。

奧本海默，圖片來源：Wikipedia

奧本海默出生於紐約一個富裕的猶太人家庭。父親是德國移民，從事紡織品進口生意；母親是一名畫家。第二次世界大戰後，曼哈頓計劃被公諸於世，奧本海默也在全美國成為了科學的代言人。1947年他出任普林斯頓高等研究院的院長，之後他雲集了一大批各個領域的尖端人才。理論物理方面，包括幾位在當時還非常年輕的物理學家：楊振寧、李政道以及後來的弗裡曼·戴森（Freeman Dyson，1923 -2020）等。受奧本海默邀請到高等研究院做研究的，還有筆者在奧斯丁大學讀博時的導師塞西爾·莫雷特（Cecile Morette，1922-2017），以及她後來的丈夫布賴斯·德威特（Bryce DeWitt，1951–2004）。可以想像，當年奧本海默邀請的女學者不會太多，塞西爾是其中一個，這使筆者引以為傲。

奧本海默主持的第一次場論會議，是上一節介紹的1947年謝爾特島會議，第二次是波科諾會議。

波科諾（Pocono）會議

這是1948年4月在美國賓夕法尼亞州波科諾山的一個莊園度假酒店舉行的會議，有28位精英物理學家參加，對比謝爾特島會議，有增有減，增加的比較重要的人物是玻爾（Niels Henrik David Bohr，1885-1962）和狄拉克（Paul Adrien Maurice Dirac，1902 -1984），其餘人中，無與倫比的費曼（Richard Feynman ，1918-1988）和天才的施溫格（Julian Schwinger，1918-1994）仍然在場，應該是這次會議的主角。

歷史地看，此次會議見證了一個量子物理領域開創性的時刻——著名的「費曼圖」（Feynman Diagram）首次公開亮相。但實際上，當時的費曼遠不如施溫格風光，費曼圖並沒有受到熱烈歡迎。

那天，從哈佛來的施溫格堪稱年輕的英雄，會上表現引人入勝：他用幾乎一整天的時間詳細解釋了他的正則量子場論及重整化數學方法。儘管不是人人都喜歡繁瑣的數學計算，但那是與會的大多數物理學家們熟悉的拿手好戲。不僅如此，施溫格高超的數學技巧和雄辯的口才也讓在場人士心服口服。

等到費曼的演講真正開始時，就人們的心理狀態而言：一天已經結束了！所以，費曼的演講顯得匆匆忙忙。他畫圖解釋QED（量子電動力學）的一個簡單實例，卻經常被打擾：玻爾以為它們違反了泡利的不相容原理（Pauli's exclusion principle），起身走近黑板，發表了有關泡利原理的長篇演講；狄拉克則反覆提出他所謂的歸一化問題，即根據費曼系統計算出的概率是否加起來等於1。總之，聽眾中似乎沒有人弄懂了這些看上去莫名其妙的線條圖。

雖然這次會議之後不到一年的時間內，大家就認識到了費曼圖的優越性，但當時費曼會上的演講的確沒有得到應有的關注。即使是費曼在康奈爾的好朋友貝特（Hans Bethe，1906-2005），也不明白費曼的演講。

在費曼那些奇怪的圖形中，甚至包括在時間上往回走的電子路線。費曼在1964年他的諾貝爾演說中也提到這個貌似「瘋狂」的想法，說是從他的老師惠勒（John Archibald Wheeler，1911 -2008）那兒「偷來」的。

1965年的諾貝爾物理學獎，頒發給了費曼、施溫格以及日本的朝永振一郎（Sinitiro Tomonaga，1906-1979）三人。三人中除了費曼外，其餘兩人解決問題的思路大同小異，實際上可說是前輩物理學家們思路的延續。而費曼的想法獨一無二、別具一格，對其稍加探索，可以給後人做學問以啟迪。

單電子宇宙

1940年秋的一天，費曼在普林斯頓大學研究生宿舍裡，接到他的博士導師約翰·惠勒打來的電話：

惠勒：「費曼，我知道為什麼所有的電子都有相同的電荷和相同的質量。」

費曼：「為什麼？」

惠勒：「原因是它們都是同一個電子！」

圖20-2：單電子宇宙

惠勒半玩笑半認真地解釋了他的想法：宇宙中所有的電子可能是唯一一個電子的世界線在整個宇宙裡複雜循環所形成的。因此，我們看到的電子都是一模一樣的，因為它們實際上就是一個電子。如果我們截取整個宇宙的任一時刻，一半電子的世界線會在時間中向未來行進，另一半會在時間中向過去行進。惠勒說，在時間上往回運動，即由將來返回到過去，實際上就相當於一個時間上向前的電子的反物質——正電子。

費曼被惠勒瘋狂的想法震驚，提出一個顯然的疑問：「如果那樣的話，電子和正電子的數目應該一樣多啊。但我們實際觀測到的電子應該要遠遠多於正電子不是嗎？在理論上也是這麼認為的。」對此，惠勒推測說：「可能有未被觀測到的正電子隱藏在質子中。」

如今，已經沒有必要評論這個無法想像的單電子宇宙圖景正確與否，但它具有哲學意義的思維方法啟發了費曼，特別是將反粒子看作時間上「逆行」的正粒子這個圖像，深深地印在了費曼的腦海中。費曼在1949年發表的《正電子理論》論文中正式提出「正電子是電子在時間中逆行」的說法。後來南部陽一郎（Yoichiro Nambu，1921-2015）把這個想法擴展到正反物質對的產生與湮滅，認為真空中不斷發生的正反物質對的創生與湮滅，實際上是粒子在時間這一維度上運動方向的改變。

圖20-3：從單電子世界到費曼圖

量子力學中，電子是沒有「軌道」概念的，但是為了理解惠勒與費曼討論的「單電子」圖景，不妨假想一個電子在時空中的運動軌跡，是如圖20-3（左圖）所示的紅色折線。當折線上的箭頭所指是時間正方向時的線段就代表電子，反之則代表正電子。我們再進一步想下去：電子為什麼會突然轉回頭變成正電子了呢？一定是與某種東西相互作用了，這樣才能滿足能量守恆和動量守恆。

如果將考慮的範圍限制在QED中的話，那就沒有別的東西，只有與光子作用的可能性了。也就是說，QED中電子、正電子與光子，可以用圖20-3（右圖）中的右上角的符號來表示，紅色為電子、深藍色為光子、藍綠色為正電子；而右下方三者於中心頂點交匯的「圖」，則表示了它們之間的相互作用，這也算是一個最簡單的費曼圖。

必須注意，費曼圖描述的並不是電子、正電子運動的嚴格幾何軌跡，可以看作一種「拓撲」結構。例如，圖20-3（右下圖）是正負電子對湮滅而產生光子的過程。總之，費曼的圖像能幫助我們對場論中的相互作用進行直觀的形象思維。更重要的是，費曼圖簡化了場論中的計算。在圖20-3以及之後的圖中，我們都用垂直向上表示時間增加，水平方向代表空間。

從經典力學到量子場論

費曼一直想把中學時代震驚他心靈的「最小作用量原理」應用於解決量子力學問題。回顧物理學的歷史，無論是牛頓力學，還是電磁理論，都可以有多種等效的表達方式，其中也包括了用作用量的方式來描述物理規律。量子力學也是這樣，薛丁格方程（Schrödinger equation）和海森堡的矩陣力學（matrix mechanics）是等效的。因此，費曼在潛意識中相信他將作用量原理用於量子問題的想法是能夠成功的。然而，他卻一直苦於找不到量子力學中作用量的正確表達式，直到一位歐洲學者介紹他看了狄拉克的文章，才幫助費曼將最小作用量原理成功地用於量子而發明了路徑積分（path integral）。

量子力學路徑積分描述方法的優越性，在於它能很方便地向經典物理過渡。在經典物理中，如果用最小作用量原理描述粒子從時空點A到時空點B的運動，是沿著A到B的單一軌道積分，如圖20-4a；而在量子力學中，是沿著粒子能從A走到B的每一條可能的路徑，即每一種可能的「歷史路徑」進行積分，如圖20-4b。量子力學中電子從A到B的總概率幅等於所有路徑的概率幅相加。如果使用微擾論作近似計算的話，可以僅僅考慮經典路徑及其周圍的路徑，忽略其它的。由此可以清楚地看出經典與量子的關係。

對量子場論而言，應該說，是沿著系統的所有「狀態路徑」求積分。這裡的「狀態路徑」，就是一個一個的費曼圖。如何理解這點？請看圖20-4c。

圖20-4：最小作用量原理（從經典力學到量子場論）

量子力學描述的是單個粒子從A點到B點的概率；量子場論描述的是（多粒子）系統從輸入狀態A到輸出狀態B轉換的概率。例如，考慮兩個電子散射的問題。如果把電子當作經典粒子，兩個電子在庫侖力的作用下互相排斥而散射，如圖20-4c中左上圖。20-4c的右上圖是從量子場論的角度看待這個散射問題：輸入態A到輸出態B，兩個電子到兩個電子，有無限多種轉換方式。因此，在圖中我們將其中間過程用一團未知的雲霧來表示。

費曼圖是解釋這團雲霧的一種方法。費曼根據電子和光子相互作用的程度來分解這團雲霧，如圖20-4c下圖所示：首先考慮兩個電子散射的最簡單情況（等號後的第一圖），其中一個電子將發射一個虛擬光子，該光子將被另一個電子吸收。這個費曼圖描述的是兩個頂點的情況，圖中頂點數的多少決定了該費曼圖對散射截面（總概率幅）的貢獻，頂點數越多貢獻就越小（成指數減小）。

QED中只考慮電子場和光子場，兩種場之間的所有相互作用，可以用與圖20-3右下方所示的、轉動不同的角度而得到的類似的6種頂點圖來描述。不同數目的各種頂點圖之組合，可以構成無窮多種費曼圖。例如對上述的兩個電子散射而言，實際情況中，電子可以以多種方式散射，以多種複雜的方式交換光子：電子之間可以不止一次地交換光子；電子在飛行中還可能分解成虛擬的電子-正電子對，進而湮滅以形成新的光子；費曼圖中還可以包括各種各樣的圈圖等等。

費曼圖對總概率幅的貢獻隨著圖的複雜程度的增加而減小。也就是說，最簡單的圖貢獻越大。所以，往往考慮少量幾個頂點少的低階圖，便能夠得到不錯的結果。這個原則使得根據簡單的幾個費曼圖進行計算，便能成為現實（實驗）的良好近似。

費曼和費曼規則

當然，費曼圖是物理界的珍貴資產，不僅僅是因為它們看起來簡單、直觀又有趣，而是因為通過它們，能夠跟蹤一個相當複雜的積分方程的所有元素。它們不僅能幫助我們通過想像來研究無法看到的世界，實際上還是一個強大的計算工具。為了達到計算的目的，費曼圖有一系列簡單的規則，來對應和跟蹤積分中的所有數學術語，它叫做費曼規則。

圖20-5：費曼規則

費曼將簡單的數學公式對應到每個圖，代表圖中過程發生的可能性。利用圖20-5右表中圖元素與算符的對應關係，不難將圖20-5左下方的費曼圖，對應於左上方的數學公式。按照類似的對應方法，再複雜的圖也都可以寫出對應的數學公式，然後再進行積分運算，便能得出相應的概率幅。

綜上，從最初的思維方式，到隨後與經典力學的對比、進化，再到數學層面的計算規則，費曼圖的優越性與意義可見一斑。