紛繁多少象,都入費曼圖

如果說物理學是用圖像來思考，用數學來表達的一門學問，那麼費曼終其一生，都是特別強調圖像思考的重要性的。費曼其人，也經歷了多彩的一生，欲了解其生平及成就，可訂閱湖南科學技術出版社編譯的《永遠的費曼》系列叢書。本文則講述了費曼在量子電動力學的圖像描述方面所做的原創性工作。

自然厭惡真空。——亞里斯多德

物理學厭惡無窮。——筆者

如果說十九世紀以柯西（Augustin Louis Cauchy，1789-1857）和維爾斯特拉斯（Karl Theodor Wilhelm Weierstrass，1815-1897）為代表的數學家在數學分析方面的工作結束了無窮概念在數學中勾起的噩夢的話，那麼無窮對於20世紀的物理學家來說恐怕只是噩夢的開始。我們若是換一種宏觀思路來粗線條地概括20世紀物理學，則可以說將無窮有限化是20世紀物理學的一個主脈絡。相對論的確立把超距作用（action-at-a-distance）剔除出去，解決了（電磁和引力）相互作用並非無窮快（瞬時）傳播的問題，而量子論的建立引入量子化條件則是應對電磁能量的單元（準確來說是作用量，action）並非無窮小的問題。普朗克常數h並非無窮小，光速c並非無窮大，這是量子論和相對論與經典物理的脫卯處，而非接榫的地方（我們經常會聽到或讀到h趨於無窮小或c趨於無窮大的話，這種話有其歷史淵源，但似乎沒有多少物理內涵）。

然而，兩大現代物理學支柱在20世紀30年代以前的樹立並非就使得後來物理學家的工作一勞永逸。以二戰為分界線，後來的物理學家還要不斷地與無窮的問題作頑強的鬥爭，只是他們處理這一問題的思路和方式已與戰前的主流有了很大差別。二戰以前，在物理學的主流裡，歐洲的哲學思辨風格處處瀰漫。而親歷了二戰各種戰備（爭）工作成長起來的一批（美國）物理學家，「get the numbers out」是他們的普遍態度。「Shut up and calculate」雖然不是本文主人公費曼的話（David Mermin曾撰文指出該話出自Mermin本人），卻代表了費曼這一代美國本土物理學家的研究風格。

20世紀實驗物理學的主線條可以用一個關鍵詞來概括：散射。基礎物理學家的主要工作就是考察和解析入射粒子與靶（或另一束入射粒子）發生碰撞後的散射產物和方式。而描述入射和出射行為的自然的數學工具是散射矩陣，對應的比較直接的物理量則是散射振幅。理論物理學家需要做的，便是給出散射矩陣或者散射振幅的解析表達。在此，他們再次遇到了無窮（發散）的問題。

在狄拉克於1928年提出描述電子行為的相對論性量子力學方程並於1930年提出空穴理論來解釋方程的負能量解之後，我們似乎已經有了建立完備的量子電動力學的信心。然而三個問題的出現使物理學家的信心遭受挫折，它們分別是：真空極化，電子自能和電子磁矩。當時處理這三個問題的基本思路是大致一樣的，即對電子的電荷、質量和磁矩分別做一修正，即則三個問題便可以以微擾的方式得到解決。然而，計算得到的是修正項為無窮大而非有限的結果。當然，可以通過截斷散射振幅表達式中的積分上（下）限來得到有限結果，但這會破壞計算的相對論不變性。

費曼是如何看待和處理這一問題的？他採取了一種不同於量子場論中慣用的二次量子化的思路（實際上對費曼方法進行二次量子化改造是由Freeman Dyson完成的，Dyson證明了費曼理論與Schwinger、Tomonaga理論的等價性，並證明了任意階的微擾展開都可以得到有限結果。有趣的是，Dyson的這一工作受益於與費曼一起長途旅行中的討論，並且發表於費曼自己關於這一主題的文章之前）。如果說物理學是用圖像來思考，用數學來表達的一門學問，那麼費曼終其一生，都特別強調圖像思考的重要性。費曼圖便是從他的這一風格中自然而然地衍生出來的。

費曼圖的原始文本形式出現在費曼1949年發表在Physical Review上的兩篇經典論文The Theory of Positrons和Space-Time Approach to Quantum Electrodynamics中。在此前1948年的Pocono會議上，費曼首次向聽眾展示了自己的方法，雖然費曼的方法能夠得到與實驗一致的結果，但是與會的物理學家（主要是戰前即已成名的歐洲物理學家）並不買帳。而在這兩篇論文中，費曼的思路得到了完整的闡述。從粒子的視角出發，他沿用了其導師John Wheeler提出的將正電子視作逆時間運動的電子的建議（這一思想Stuckelberg亦於1942年提出過），先在非相對論量子力學的薛丁格方程的框架下採用格林函數的方法將方程的解寫為：

格林函數K滿足：

圖1. 用順時間方向運動和逆時間方向運動描述電子和正電子行為。Case I: 電子被散射。Case II：正電子被散射。Case III：電子-正電子湮滅。Case IV：電子-正電子產生

K包含了帶電粒子運動的所有信息。假定粒子在有限的時空域內受到弱勢場U(x,t)的影響，則K可以微擾展開為關於U的各階函數：

經過一系列解析推導（細節參閱參考文獻1），可以分別寫出上述各項：

與此相類比，在相對論性量子力學的框架下傳播函數滿足方程：

其各項展開亦與（4）類似。

若有多個粒子參與，則函數K（或K+）中所包含的表示粒子時空坐標的參數增加，且需計入粒子交換所需滿足的統計規律。

微擾表達式的各項（n）分別代表（n個）時空域中存在勢場的情形。這可以直觀地進行圖像描述。反過來，由圖像也可以直接寫出傳播函數的微擾表達式各項。這一思路也可以向多粒子的情形推廣，如圖2所示的包含兩個電子的幾種情形：

圖2. 包含兩個電子運動的幾種情形

由此，費曼建立了粒子運動圖像與散射振幅的解析表達式之間的直接關聯，根據圖像特徵可以直接寫出散射振幅的表達式，這在複雜的高階微擾計算中體現出相當大的優勢。例如電子的自能可以表示為圖3的形式，同時傳播函數的一階微擾表達式為：

其中，。

圖3. 電子自能在實空間的圖像表示

在動量-能量空間考察會使得問題得到簡化。電子自能的費曼圖在動量-能量空間表示為圖4的形式，同時其表達式為：

圖4. 電子自能在動量空間的圖像表示

如費曼自己在文獻2中所言，上述思路只是完成了對於傳統量子電動力學的重新表達，並沒有解決微擾修正卻出現無窮大結果的問題。所以費曼圖只是提供了簡記散射振幅的微擾修正項的圖像表示方法，它並沒有幫助解決無窮的問題。

解決無窮的問題採取了這樣一種思路，即在類似（7）的表達式中人為引入收斂因子，使得整個積分結果趨於收斂，在自能情形，收斂因子的形式為。這實際上是對k作了高頻截斷，這種人為操作便是重整化的思路。這種技術思路可以使得計算結果與實驗結果相當好地匹配。而費曼圖的使用又使得複雜的表達式得以直觀地以圖像形式展現。二者的結合使得量子電動力學在技術層面解除了無窮的困擾。

然而要指出的是，一方面費曼是從物理圖像出發構造了後來以其名字命名的費曼圖，另一方面，Dyson從數學嚴格性的角度對費曼圖的拓撲幾何特徵提出了約束條件。費曼圖後來的使用和擴展已經大大突破了其創立者所設定的藩籬，所以，可以這樣說，一千個物理學家就有一千種不同的費曼圖，每一張費曼圖所包含的物理真實性和數學嚴格性的成分並不固定。

另外，雖然重整化的思路解決了量子電動力學面臨的無窮的問題，然而對于堅守哲學原則的二十世紀早期的物理學家而言，重整化的思路不能令人滿意的一個原因也許在於它不如狹義相對論的光速不變原理和量子力學的量子化條件那般優雅，但這至少代表了物理學在面對無窮問題時的一種努力。

費曼圖的演化乃至量子電動力學的發展昭示我們，物理學從來也不是定於一鼎的學問，經得起修修補補才是它的魅力所在。可以設想，隨著人類的探索之旅拓向極大或者極小的時空尺度，無窮所帶來的無盡煩惱也會畢現。物理，當有直面的力量。

參考文獻

[1] R. P. Feynman. The Theory of Positrons. Physical Review 76(6), 749–759 (1949).

[2] R. P. Feynman. Space-Time Approach to Quantum Electrodynamics. Physical Review 76(6), 769–789 (1949).

[3] R. P. Feynman. Quantum Electrodynamics. Frontiers in Physics series, Addison-Wesley, (1961).

[4] A. Wüthrich. The Genesis of Feynman Diagrams. Springer, (2010).

[5] D. Kaiser. Drawing Theories Apart: The Dispersion of Feynman Diagrams in Postwar Physics. The University of Chicago Press, (2005).

[6] S. S. Schweber. QED and the Men Who Made It: Dyson, Feynman, Schwinger, and Tomonaga. Princeton: Princeton University Press, (1994).

備註：文中使用了費曼在其1949年的兩篇論文中使用的符號和圖像表示。