在日內瓦歐洲大型強子對撞機（LHC）中，物理學家讓質子在周長27千米的軌道上以接近光的速度相互撞擊。這是世界上最精密的科學實驗之一，但是當試圖理解量子碎片時，物理學家會使用一個非常簡單的工具，名為「費曼圖」，它看起來就像小孩子的塗鴉。
費曼圖是由理察·費曼在20世紀40年代發明的。在費曼圖中，各種各樣的線代表基本粒子，它們在頂點（表示碰撞）處會聚，然後從那裡發散而出，表示碰撞中出現的碎片。這些線要麼散開或者再次會聚。只要物理學家願意，他們可以向費曼圖中添加無數的線條。
有了圖像，然後物理學可以添加數字，比如粒子的質量、動量和方向。然後他們開始進行費力的計數過程——積分、加上這個、將那個平方等等。最終的結果是一個數字，稱為「費曼概率」（Feynman probability），代表費曼圖中粒子碰撞過程中的概率。
加州理工學院的理論物理學家兼數學家Sergei Gukov說，「在某種意義上，費曼發明的這個圖把複雜的數學變得像記帳一樣簡單」。
費曼圖已經成為物理學家的重要工具，但它也有局限。一個局限是精度問題。物理學家正在不斷提高粒子碰撞的能量，這需要更高的測量精度——隨著精度的提高，需要計算的費曼圖也越來越複雜。
第二個局限則關於更加基本的物理問題。費曼圖基於一個假設：費曼圖中涉及的碰撞和子碰撞越多，其預測就越準確。這種計算方法稱為「微擾展開」。用它計算電子碰撞非常有效，在這個過程中弱力和電磁力佔主導地位。但它對於高能量碰撞不太有效，例如質子之間的碰撞，其中強核力量佔優勢。在這種情況下，物理學家需要畫出更複雜的費曼圖，這可能導致物理學家誤入歧途。
牛津大學數學家Francis Brown說：「我們已經知道，在某個地方計算開始偏離真實的物理。但是我們不知道在哪個地方停止計算費曼圖。」
然而，我們有理由保持樂觀。在過去的10年裡，物理學家和數學家一直在探索一種令人驚訝的對應關係，或許會讓費曼圖獲得新的活力，並給數學和物理帶來深遠的啟發。從費曼圖中計算出的數值似乎與某種重要的數字有關，這些數字來自稱為「代數幾何」的數學分支。這些數值稱為「動機周期」（periods of motives），而且人們不知道為什麼相同的數字出現在費曼圖和代數幾何中。這個非常奇怪，就像你每次用量杯量一杯米，你觀察到米粒的數量竟然都是素數。
柏林洪堡大學的物理學家Dirk Kreimer說：「從大自然到「代數幾何」以及周期存在一種聯繫，現在看來，這並不是巧合。」
數學家和物理學家正在合作，試圖解開其中的秘密。對於數學家來說，物理學讓他們對一類特殊的數產生興趣，他們想要理解：對於周期，物理學中是否存在隱藏的結構？這類數有什麼特殊性質？而對於物理學家來說，理解其中的數學就能更好地對混亂的量子世界做出更好的預言。
不斷再現的主題
如今，周期已經成為數學中最抽象的主題之一，但它們一開始是由於一個更加具體的問題引起人們關注的。17世紀初，像伽利略一樣的科學家對於計算鐘擺周期興趣濃厚。他們意識到，計算最終要歸結為對一個函數的積分，這個函數包含鐘擺長度以及釋放時的角度。大約在同一時期，克卜勒使用類似的方法計算行星繞太陽運行所需的時間。他們將這種度量稱為「周期」，並將其發展為運動的最重要度量之一。
在18、19世紀時，數學家開始研究更加普遍的周期，不僅僅是鐘擺或行星的周期，而是將其看作一類數，通過對x2 + 2x - 6和3x3 - 4x2- 2x + 6之類的多項式進行積分得到的數字。在後來的一個多世紀中，像高斯和歐拉這樣的傑出人物探索了周期的世界，發現它包含許多指向某些基本秩序的特徵。某種意義上，在20世紀發展起來的代數幾何（研究多項式函數的幾何形式的數學分支）就是一種追尋隱藏結構的方法。
在20世紀60年代這個領域迅速發展，數學家將具體的數學對象（如函數）轉換成更加抽象的形式，希望從中發現隱藏的關係。
這個過程中，首先分析由多項式函數的解定義的幾何對象（稱為「代數變量」），而不是分析函數本身。接下來，數學家試圖理解這些幾何對象的基本性質。為了實現這個目的，他們發展了所謂的「同調論」（cohomology theories），這種方法可以識別出幾何對象的結構，無論生成這些幾何對象的具體多項式方程是什麼。
到20世紀60年代，同調論已經變得讓人眼花繚亂，出現了奇異上同調（singular cohomology），德拉姆上同調（de Rhamcohomology），平展上同調（étale cohomology）等等。對於什麼才是代數變量中最重要的特徵，似乎不同的人有不同的看法。
在一片混亂中，數學先驅亞歷山大·格羅滕迪克（Alexander Grothendieck，2014年去世）意識到，所有的同調理論都只不過是同一事物的不同版本。
「格羅滕迪克發現，對於代數變量，無論你如何計算不同的同調論，你總是以某種方式找到同樣的結果」，Brown說。
同樣的結果就是所有這些同調論的中心，格羅滕迪克將這種獨特的東西稱為「動機」（motive）。「在音樂中，這意味著一個反覆出現的主題。對于格羅滕迪克，動機是某種不同形式、反覆出現的東西，但它是一樣的」，格羅滕迪克曾經的同事、巴黎高等科學研究所的數學家Pierre Cartier說。
在某種意義上，動機是多項式方程的基元，就像是很大的數字可以分解成素數的乘積，素數就是大數的基元。動機也有與之關聯的數據。正如你可以將物質分解成元素並描述每個元素的特徵（如原子數、原子量等等）——數學家用基本的度量描述動機。這些度量中最重要的就是動機的周期。如果在一個多項式方程系統中得到的動機的周期與在不同系統中得到的動機的周期相同，那麼動機就是相同的。
牛津數學家Minhyong Kim說：「一旦知道了周期，它們是具體的數字，就幾乎等同於知道了動機本身。」
觀察同樣的周期如何在意想不到情況下出現，一個直接的例子就是觀察π。Cartier說，「這是得到周期的最有名的例子。」π在各種各樣的幾何中出現：定義一維圓的函數的積分，定義二維圓的函數的積分，以及定義球的函數的積分。明顯不同的積分中出現同一個數字，過去的思想家也一定感到非常神秘。這個相同的價值將重複出現在看似不同尋常的整合可能是古代思想家的神秘。Brown在一封電子郵件中寫道：「現代的解釋是，球體和實心圓具有相同的動機，因此它們必須具有相同的周期。
複雜的費曼圖
如果說好奇的心靈很久以前就想知道為什麼在圓和球的計算中會出現類似π的數，那麼今天的數學家和物理學家想知道為什麼這些數會出自另一種幾何對象——費曼圖。
費曼圖有一個基本的幾何特徵，即費曼圖由線段射線和頂點組成。為了理解如何構造費曼圖，以及為什麼費曼圖在物理學中非常有用，我們可以想像一個簡單的實驗裝置，其中電子和正電子碰撞產生μ子和反μ子。為了計算發生這種結果的概率，物理學家需要知道每個入射粒子的質量和動量以及跟粒子路徑有關的量。在量子力學中，粒子的路徑可以看成是其所有可能路徑的平均值。計算該路徑需要進行積分，這稱為「費曼路徑積分」。
在粒子碰撞過程中，粒子從開始到結束每個可能的路徑都可以用費曼圖表示，並且每個費曼圖都具有對應的積分（費曼圖和它對應的積分是一樣的）。為了計算特定的起始條件所產生的特定結果的概率，你需要考慮所有可能的費曼圖，對每一項進行，並將這些積分求和。得到的數字就是費曼圖的振幅。計算這個數的平方得到的就是概率。
對於電子和正電子碰撞產生μ子和反μ子，這個方法簡單易行。但這只是無聊的物理。物理學家真正關心的實驗涉及帶有環圈（loop）的費曼圖。環圈表示粒子發射然後重新吸收額外粒子的情況。當電子與正電子碰撞產生最後的μ子和反μ子對之前，可能發生無限數量的中間碰撞。在這些中間碰撞中，像光子這樣的新粒子在被觀察到之前出現並湮滅。入射和出射粒子與之前的描述相同，但是那些沒有觀察到的碰撞過程仍然可能對結果產生微妙的影響。
「這就像某種可以組裝的玩具。一旦你畫了一個費曼圖，你可以根據理論的規則連接更多線條」，加州大學河濱分校的物理學家Flip Tanedo說， 「你可以連接更多的棍子，更多的節點，讓它更加複雜」。
通過考慮環圈，物理學家可以提高他們的實驗精度。（增加環圈就像是計算更多的有效數字一樣）。但每次物理學家增加一個環圈，需要考慮的費曼圖的數量以及對應積分的難度，就會急劇增加。例如，包含一個環圈的簡單系統可能只需要一個費曼圖，相同系統的雙環圈版本則需要7個費曼圖，3個環圈需要72個費曼圖。將其增加到5個環圈，需要計算大約12000個積分——相當於數年的計算量。
相比計算冗長乏味的積分，物理學家更願意觀察給定的費曼圖的結構來獲得最終振幅，就像數學家把周期與動機相聯繫一樣。
「這個過程如此複雜，積分如此困難，所以我們想做的是僅僅以費曼圖開始，獲得對最終結果（最終積分或周期）的洞察」，Brown說。
不可思議的聯繫
1994年，Kreimer和英國開放大學的物理學家David Broadhurst在1995年首次將周期和振幅聯繫在一起，1995年又發表了一篇後續論文。這項工作使數學家推測，所有振幅都是混合泰特動機的周期——以哈佛大學榮譽教授約翰·泰特（John Tate）命名的一種特殊動機。泰特動機中所有周期都是黎曼ζ函數（數論中最有影響力的結構之一）的多個數值。在電子-正電子入射、μ子-反μ子出射的情況下，振幅的主要部分來自黎曼ζ函數取3時的6倍。
如果所有振幅都是黎曼ζ函數的多個數值，那麼物理學家就可以對一類明確定義的數字進行研究。但在2012年Brown和他的合作者OliverSchnetz證明事實並非如此。雖然物理學家目前遇到的所有振幅可能都混合泰特動機的周期，「但那裡潛伏著怪物，會阻礙你的工作」，Brown說。這些怪物 「肯定是周期，但它們並不是人們期望的那種漂亮簡單的周期」。
不過，物理學家和數學家知道的是，費曼圖中環圈的數量似乎與被稱作「權重」（weight）的數學概念有關。權重是一個數字，它與積分的空間維度有關：一維空間上的積分的權重可以為0,1或2；二維空間上的周期積分的權重最高可以為4，等等。權重也可以用於將周期分為不同類型：據推測，所有權重為0的周期為代數數，它可以是多項式方程的解（這還沒有得到證明）；鐘擺的周期權重總是1; pi是權重為2的周期；並且黎曼ζ函數的值的權重總是等於取值的2倍（因此黎曼ζ函數取3時，其權重為6）。
這種通過權重的對周期分類的方法也被用在了費曼圖中：費曼圖中的環圈的數量以某種方式與其振幅的權重相關聯。沒有環圈的費曼圖的振幅權重為；一個環圈的費曼圖的振幅是混合泰特動機的所有周期，並且權重最多為4。對於更多環圈的費曼圖，數學家懷疑這種關係依然存在，即使他們還沒有算出這個結果。
「如果我們研究更多的環圈的費曼圖，我們就能看到一種更加普遍的周期，」Kreimer說。 「有一些數學家對此非常感興趣，因為他們不太了解不屬於非混合泰特動機的動機。」
數學家和物理學家目前正在試圖確定問題的範圍和解決問題。數學家向物理學家推薦可用於描述費曼圖的函數（及其積分）。物理學家得到不同的粒子碰撞過程，這又需要數學家用函數之外的東西來解釋。「物理學家如此迅速地吸收相當深入的數學思想，這讓人驚嘆」，Brown說，「為了向物理學家提供所需的數學，我們已經用盡了經典數字和函數」。
大自然的群
自17世紀以來，微積分不斷發展，物理世界中出現的數字已經告訴我們數學的進步。今天也是這樣的情況。Brown說，來自物理學的周期「就像是神以某種方式創造的，這意味著它一定包含許多結構，這是數學家很難想出或發明出來的」。
Kreimer補充說：「大自然想要的周期似乎是一個比數學能夠定義的周期更小的集合，但是我們不能非常清楚地定義這個子集是什麼。」
Brown正在試圖證明有一種數學上的群——伽羅瓦群（Galois group）可以作用在費曼圖周期的集合上。「對於目前已經計算的每一個例子，答案似乎都是肯定的」，他說，但證明這種關係明確存在仍然遙不可及。「如果確實存在一個群可以作用在來自物理的數字上，那就意味著你找到了一大類對稱性」，Brown說，「如果這是真的，那麼下一個問題就是為什麼存在這個巨大的對稱群以及可能的物理意義是什麼」。
除此之外，它將加深人們對兩個迥然不同的基本幾何結構之間的關係：動機，數學家50年前為了理解多項式方程的解而創造的概念，以及費曼圖、粒子碰撞的示意圖。每個費曼圖都有一個對應的動機，但動機的結構與對應費曼圖的結構之間究竟存在什麼樣的聯繫，依然沒人知道答案。
編輯：嚴寒
參考：
https://www.wired.com/2016/11/physicists-uncover-strange-numbers-particle-collisions/
來源：DeepTech深科技
編輯：HWQ
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