大學物理——力學第七章:剛體力學(2)
2021-01-16 研數學 習物理1、剛體的定軸轉動慣量
如上圖所示，剛體繞z軸以角速度 轉動，其總角動量表示為
得到角動量沿三個軸的分量， ，即剛體分別繞三個軸的角動量。
定軸轉動慣量的定義： ，其中 為第 個質點到轉軸z的距離。
於是剛體繞z軸的角動量可以表示為 。
2、定軸轉動慣量的計算公式
對於由離散質點系構成的剛體，
對於具有質量線分布的剛體，
對於具有質量面分布的剛體，
對於具有質量體分布的剛體，
3、常見剛體模型的轉動慣量
勻質圓盤繞中心軸的轉動慣量：
勻質球殼繞某一直徑的轉動慣量：
勻質球體繞某一直徑的轉動慣量：
4、關於定軸轉動慣量的兩個定理
（1）平行軸定理
平行軸定理：剛體繞與質心軸平行的轉軸的轉動慣量等於剛體繞質心的轉動慣量和質心繞該軸的轉動慣量的和， ，其中m為剛體總質量，d為兩個軸之間的距離。
推導過程如下：
當A軸穿過剛體質心時，求和式結果為零，故第三項為零，從而平行軸定理得證。
（2）垂直軸定理
垂直軸定理：剛體繞三條互相垂直的軸的轉動慣量之和 。
對於薄板而言，有薄板的垂直軸定理：假設x，y軸在薄板面內，z軸垂直於薄板面，則有 。
5、剛體定軸轉動的動力學（1）定軸轉動定理
剛體的定軸轉動定理實際上是質點系的角動量定理的特殊化，質點系的角動量變化量等於質點系所受外力的衝量矩，變形後可以得，剛體定軸轉動角加速度與轉動慣量的乘積等於剛體所受的繞轉軸的力矩， 。
同時還可以推知剛體定軸轉動角動量守恆條件， 。
（2）定軸轉動的動能定理
剛體定軸轉動的動能表示為，
從而可以得到定軸轉動動能定理， ，其中 為剛體轉過的角度的微元。
（3）剛體平面運動的動能
剛體平面運動任一點的速度 ，在質心運動學中，由柯尼希定理得到， ，對於剛體平面運動而言， ， ，從而剛體平面運動的動能
6、小結
本文先介紹了剛體繞軸的轉動慣量這一重要物理量以及其相關定理，然後再介紹了剛體定軸轉動的動力學定理。
未完待續……
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