精華學校高中部鼎級班數學教研組長 郭麗梅
以下是對話實錄;
主持人：各位新浪網友大家好，歡迎鎖定新浪網教育頻道，我是主持人安娜。在本期精華學校真題解析欄目當中，我們邀請到的嘉賓是來自精華學校高中部鼎級班數學教研組組長郭麗梅郭老師，歡迎您。首先有請您和我們的新浪網友打聲招呼。
郭麗梅：各位新浪網友大家好。
一、數學高考習題的類型及變化
主持人：疫情伊始，關於高考規則引發了廣大考生和網友的爭議。今年的高考是否增加了多選題？難度如何？
郭麗梅：今年其實北京卷的高考題是沒有多選題的，它不像山東卷的新高考，他們是有多選題的。我們雖然沒有多選題，但是我們有一道填空題整個出題的形式還有賦分的原則，實際上就跟多選題非常像的，就是填空題的最後一題，也就是15題，它採用了分層賦分制，也就是說你全答對是5分，如果你少選了，就是3分，錯選了就是0分。其實賦分原則基本上跟多選題差不多。同時它這個題目設置的時候是有4個結論，讓你從這4個結論當中選出正確的。所以，也是跟多選題差不多的。但是難度上來說，雖然理論上我們通常說最後一道填空題難度是相對要稍微大一些的，但是我們今年北京是第一年新高考，也是第一年文理合卷，它要讓文科生有數學的獲得感，讓理科生有成就感。所以，它在設這4個命題的時候難度是有區別的。比如說第三個結論，圖像上設置了一個排放汙水的達標量，這樣其實非常簡單，只要看這個線，有沒有達到這個線以下我們就可以判斷出來了。
所以，應該說從難度上，讓所謂的成績稍弱或者成績高一點的學生，都能給出可行的答案，當然得分可能不同。從難度來說是這樣的一個情況。
主持人：您剛剛提到有關數學的多選題和難度改變的一個情況，由於疫情，今年的高考數學整體又有哪些變化呢？請舉例說明？
郭麗梅：變化還是比較多的，比如我們試卷的結構和分值的分布上來看變化就是不同的。比如原來選擇題是8道題，總分40分，每題5分，今年增加了2道題變成10道題，但總分是不變的。總分不變，這樣每道題的分值減少了，每題變為4分，相對應考生在答題的時候，時間上要略有調整。這是選擇題。
填空題原來是6道題，總分是30分。今年減少了1道題，變成了5道題，但是每題依舊5分，這樣總分就減少了，那就變成25分。但是我們的主觀題是由填空題和解答題構成的，主觀題的總分值不變。所以，我們少這5分就放在了解答題上，解答題題量上沒有變化，原來是6道題，現在依舊是6道題，但是分值上有變化，分值上對應的是後4道題的分值，對應著有所增加，但是增加得不多，1到2分，總體上增加5分。這是第一個變化，從題量上和分值的分布上不一樣。
除了試卷結構的變化，還有一個變化，這裡出現了所謂的新題型。最後一道填空題，所謂的分層賦分。還有一個新題型是在解答題當中，出現了所謂的結構不良試題，就是劣構性試題，它是要求從一二這兩個條件當中，考生可以自由地地選，你可以選一，可以選二來回答這道題。這道題所謂的新題型，學生還是見過的。3月份北京市適應性考試考題中，第一次出了這種題，考生在接下來區裡的模擬考試，一模、二模也都有對應的習題，這是第二個變化，在題型設置上有變化。
我們從難度上（來看），原來的立體幾何通常是解答題的第三題，今年就調整到了第一道解答題，這樣的話對於立體幾何這道解答題來說，應該說難度有一個很大的變化，相當於是變簡單了。而且今年的立體幾何是以正方體為載體，其實正方體是學生最了解的一個幾何圖形，應該說這道題的第二問「建立空間直角坐標系」，幾乎百分之百的學生都沒有問題。所以，這個難度上是有所下降的。
除了立體幾何這道解答題之外，我們選擇題的最後一道題，其實在我看來我覺得也是有變化的。因為原來選擇題最後一道題通常難度是比較大的，但是今年這道題其實難度並不大，它是在中國傳統割圓術的基礎上，介紹了一下阿爾·卡西的計算方法。他通過介紹2π的計算方法，最後它問的是π的表達形式。應該說很多學生對這道題還是理解到位了，但是有個別的學生告訴我「老師，這道題我可明白了，但是最後發現答得並不對」，經過考後的分析，我發現，他的主要問題是審題的細節，人家告訴你的是2π，但問的是π，他因為沒有注意而在這一塊出現了錯誤。應該說這道題並不是像以往一樣，從本身數學的深入難度上去考查，而變成了去考查學生對數學這個學科嚴謹性的要求更高一些。我覺得這一點是特別好的，我們數學學科除了去研究數學本身的這些知識拓展以外，本身我們對待科學的態度就是要嚴謹、細緻一些。也是一個變化。
除了選擇題的第10題以外，相反我們的選擇題第9題考後好像有很多考生討論比較多。這道題我把它提出來作為一個變化，其實大概看上去也不算是一個變化，但是這道題在考生答的時候出現了很多猶豫，意味著我們在整個試卷分布上選擇題最後一題是偏難的，我們答題的時候先「簡單、簡單」再「難」一下。但是我們在解答填空題的時候也是這樣，但是我們在做選擇題的時候會發現，我們做到倒數第二題的時候，第9題覺得並不難，但也不太敢答，實際上它考查的只是一個簡單的角與三角函數之間的對應關係。但是這個關係我們就需要考生一定要非常細緻地觀察以及嚴謹的推理、高度的概括，這樣我們才能把這道題解答出來。所以，我們這道題跟我剛才說的第十題一樣，我覺得非常好，他在我們數學學科的嚴謹性、邏輯性的要求上都有了很好的考查。
這是選擇題的部分。
填空題最後一個題比較特別一些。
解答題的變化是在導數這道題上，導數這道題不是難度有了提升，而是很多考生說，我跟我今年春季做的模擬題當中好像不一樣了，但實際上它不是不一樣，這道題兩個問都是以切線方程為入手點來考查的，也幫助考生進入一個思考遞進的關係。就是第一問，它給了你切點，你去求切線方程。第二問，你繼續解答問題，只不過變成了一個變量，從而求出面積的最值問題。在這裡，一是我們要會表示這個面積。第二，我們要能夠知道把這個面積看作一個關於t的函數，從而用函數思想去解決這個問題。應該說比我們以往需要通過「分類討論」來解答的問題要簡單很多，但是學生卻覺得我以前做的題就是求導，去研究函數的單調性、極值，現在好像是不一樣了。其實這道題更加關注的是你有沒有對數學我們學完之後它究竟有什麼用，在應用上加大了考查。
這就是我們這幾點變化。
二、數學高考習題中的難度係數及涵蓋知識點的考查
主持人：據了解2020年在數學考試中會減少一些內容，請問會涉及到哪些內容？涵蓋的知識點又是什麼？
郭麗梅：所謂的2020年北京的高考的減少內容，實際上是跟我們今年的新高考之前所謂的文科數學和理科數學相對比來說的。對於文科來說，因為它不僅是減少了，還增加了一項內容。而對於理科數學來講，都是減少了。我先說一下它們共同減少的部分。比如共同減少的部分有算法與程序框圖、線性規劃、定積分、推理與證明這樣幾個小的部分。
對於文科生反而是增加了幾個比較大的塊，比如說它增加了空間向量、計數原理、離散型隨機變量這幾個部分。剛才我們提到的是共同減少了知識點，理科還有一個單獨減少了，它其實是減少了一本書，就是《選修4—4》，也就是我們的參數方程和極坐標。當然這部分看起來是減少了一本書，但是從考試的難度上或者是題量上來說它就是減少了一道題，所以大概減少的就是這些內容。
主持人：好的。今年是特殊的一年，複習的時間和空間並不是那麼完善，考生面對考題是否難度係數會降低呢？
郭麗梅：剛才我分析了幾道題，其實從難度係數上來講，整體上會不會降低呢？應該說今年的題相對穩定，因為它畢竟是我們新高考的第一年。所以，整體上是穩定的。我個人認為難度上是稍微降低一點點的。為什麼會出現這種變化呢？實際上也是考慮了文科生、理科生在他將來大學的專業上，對數學的要求是不同的。高考本來就是為了高校選拔人才的，它會針對文理合卷，它在設置題上也是不太一樣的，它遵循了一個「入口易、口徑寬、深入緩，但是出口難」的原則來設計的題目。這樣設計的題目，就像我剛才舉例的試題一樣，有些題雖然看起來是稍微難一點的題，但是也依舊是給了大家機會，這裡面也有一些容易的點。但是也有難的，比如難度不變的，像今年的解析幾何，解析幾何這道題跟以往一樣還是計算量比較大，甚至有些考生考完之後覺得好像比原來的計算量還要大。其實它並不是比原來的計算量大了，而是給我們的複習備考提出了指導性建議：在平時的複習中，除了要了解解析幾何整個計算的想法、思路，還要發現程序化、規律化的一些問題，同時也要能夠發現這些不同的地方，並思考在遇到不同之處時如何在短時間之內解決問題。可能喜歡數學的同學跟我一樣，發現不同的，不是不開心，反而挺開心的，我可以把沒有見過的小的點可以自己解決了。所以，這個解析幾何看起來是有一點點不同，但是其實也是給大家創造驚喜。
我們的壓軸題其實是為了將來選拔對數學要求比較高的孩子。所以，壓軸題跟以往的理科卷是一樣的，難度還是非常高的，它是一二三問，一二問還算是比較好入手，但是我們的第三問會要求得更高一些。
第三問主要是要學生運用逆向思維、分類、歸納、反證法、最小數原理等等這樣一些數學的思考方法，並且能夠用數學的邏輯語言來表達出來。這一點要求是非常高的。所以，我們對於壓軸題的最後一問，可能是有很多同學都是答不了的。但是今天我也剛剛看到新聞，新聞上已經說了，我們每道題都出現了滿分，這說明我們還是確實有一些能力比較高的同學把這道題答出來了。
今年我們可以看出來，對於後兩道題，解析幾何還有最後一道創新思維的題，實際上從難度上來說跟以往來比其實還是差不多的，難度不變。而我認為這個難度係數其實稍微降低一點，比如說我們的導數運算量其實沒有那麼大，只不過看大家是否能夠運用好導數這個數學工具，把這個問題給它解決了。
再就是我剛才有提到的選擇最後一題、填空的最後一題，像填空題最後一題由於是分層賦分制的，即使你不能完全答對，但只要你不選錯誤的，依舊能夠得三分，跟完全正確的就差兩分。這樣看來其實還是給偏文的學生很多機會。所以，這個難度係數我覺得基本上是維持穩定，稍微降低一些。
三、適用於數學應屆生考生的建議
主持人：好的，面對應屆考生，應該如何去進行數學複習，您有哪些適用於考生的建議呢？
郭麗梅：針對高考進行複習，當然我們得知道高考有什麼要求。我們今年考試院提出來北京卷要引導教學在6個方面下功夫。分別是在主幹知識的掌握上下功夫；在數學學科本質的理解上下功夫；在數學思想方法的領悟上下功夫；在數學應用探究上下功夫；在創新思維形成上下功夫；在數學素養的養成上下功夫。這6個「下功夫」意味著我們也確實要從這6個方面（入手），具體我們應該怎麼做呢？在這裡，主幹知識是我們一輪複習包括我們的二輪複習一定會做到的。我們的主幹知識是大家一定會做的，可是我們會發現後面這5個「功夫」反而是比較難的，也就是簡單說來所謂的數學思想的升華、素養的提高，這些都不是一蹴而就的，它需要我們在學習主幹知識的同時，在做題應用的時候，甚至說跟同學、老師去探討問題當中是逐步形成的。所以，學習是孤獨的，學習數學是更加孤獨的。但是我覺得也是有成就感的，就像我剛才說的考題當中即使出現難的，但是你不這麼想，「它就是給我們的一點小的意外，小的驚喜」，我們答對了，就是我們小的驚喜，當然我們也會很有成就感的。
同時，我們也看到了北京考試題目，像填空題的15題，它實際上是以汙水處理為背景，它更加貼近我們的實際生活。除了有貼近生活的題，也有像我們剛才說的選擇題的最後一題第10題，它是介紹中國的傳統文化，同時也介紹了阿爾·卡西的計算方法，它要給我們樹立一些傳統文化。所以，我們就希望同學們在數學學習當中要找到樂趣，體會數學的文化。
這是我們從考試院的「六個要求」上，我們可以看到什麼是我們肯定可以做到的，就是主幹知識的複習。但是不好做到的就是思想方法的形成，包括我們素養的提高，這些我們應該怎麼做呢？下面我給大家兩點建議。
第一點建議，我們現在剛剛是暑假，相當於我們今年的高考剛剛結束，今年的新高三學生也是剛剛開始，可能很多學生還不太適應我現在已經是一個高三學生了，但是你現在已經是了。你現在已經是一個高三學生了，那就面臨著我們開始新一輪的高考複習。新一輪的高考複習，我們一定先要注重的是我們的基礎。所謂的這個基礎就是我們的主幹知識，這個主幹知識，學校肯定會給大家按部就班地去複習。這裡面我要強調一點，如果說現在大家還都在家，我希望你能夠提前可以開始了，因為實際上我剛才說了，思想的形成、素養的養成，這個都不是一天兩天就可以形成的，也不是老師今天苦苦地講一兩個小時你就能夠形成的，它需要我們去反覆地體會、反覆地去反思這樣的一個過程。所以，我希望大家可以把我們的複習，除了學校領著大家去複習一輪、二輪，你也可以給自己創造個0.5輪，你可以在一輪之前做一下複習。通常我們一輪複習，在我們暑假到秋季這個時間段就是一輪複習，這個一輪複習，我們要狠抓基礎，我希望你能夠形成四位一體的複習。什麼叫「四位一體」的複習？首先我們要構建知識框架，每一大塊，我們要把這個框架整出來，否則的話你的知識點都是點狀的，尤其是很多同學高一高二現在剛剛結束，你讓他回顧某一個點他可能能答出來，但是你如果問他，「這位同學，你覺得函數這部分你都學到了什麼？」可能很難把這個框架搭出來。你沒有這個框架，就會影響你對這個思想和素養的養成，這是第一個，我們要搭建知識框架。
第二，可是框架搭完之後，我們剛才提到了，我們還要求對數學學科本質的理解上也要下功夫，那就意味著我們又要對每個知識點，框架上對應的是知識點，這些知識點我們就應該對它的本質（了解）。什麼叫本質？就是它是怎麼來的，以及知識點和知識點之間有哪些關係，這些我們也要知道。這是第二個，我們要抓住這些知識的本質。
第三點，所謂的題海戰術，也就是做題，做題肯定是少不了的。有沒有不做題就把數學複習好？我相信是沒有的。當然刷題不是真的是讓你在題海當中遨遊，學校老師可能已經給你精選好了一些題目，或者是你自己有精力，自己去買一些題目，題的精選很重要。所謂題的精選是指什麼呢？比如北京卷和全國的其它卷一定要區分好。所以，你如果自己去買參考書，就一定要注意，要儘量買適合北京卷的。因為我們剛才說了北京卷那麼多特點，這些特點都是跟全國卷不一樣的。比如剛才提到的導數題，全國卷一點都不能做嗎？也不是的，但是可能你並沒有說我知道這道題就適合北京卷，這道題不適合。對於考生來說，你是沒有辨別能力的。所以，最好是在老師的指引下。如果你自己買就儘量買的是北京卷對應的輔導書。
像導數題，全國卷經常是所謂壓軸題，壓軸題居多，難度上會是更多的，也就是說深度上會更加得多，而我們剛才又提到了北京卷的出題原則是「深入緩」，深度沒有那麼大，尤其是導數這道題。但是全國卷有沒有參考價值呢？也有。比如今年提到的導數是切線問題，但是這個切線問題其實就是所謂的導數的幾何意義。我們以前全國卷是有考到的，2008年海南卷。2008年也是很特別的一年，2008年實際上是上一輪新高考的第二年，2008年的時候全國還沒有普及新高考，跟我們今年非常像。今年北京雖然是第一年新高考，但是北京不是第一個參加的，已經是第二輪了，跟2008年非常像。2008年海南卷的文科試卷和理科試卷的那道導數題的最後一問，都是以切線方程為入手點來考查題目的，而這也是我每年給同學們一輪複習的時候，都一定會讓大家做的一道題。所以，全國卷有一定的參考價值，但是不要自己去選擇。這是第三個點，我們在做題上一定要選擇合適的題目。
第四點，我們做完題之後一定要學會改錯和反思。因為你做題的量並不代表你會，你說我今天下定決心，一個假期能夠做到一千道題，是不是意味著數學一定提高呢？是不一定的。這一千道題，你對了八百，錯了二百，這二百題如果你不進行反思，可能你下次做還是錯的。甚至說這800道你做的，你敢保證你是百分之百理解對的嗎？可能你就是覺得好像是這樣的吧，恰好是對的。所以，我們要注意最後做完題之後，我們的反思很重要。這個反思包括我們對錯題的反思，也就是說我們每道題錯了，你不光要看答案，每一年都有學生跟我說，老師，我看眼答案就明白了。你看答案明白了，就跟你坐在課堂上聽老師講，聽明白了是一樣的效果，聽明白了是你的嗎？還不是的。所以，你錯了不僅要看答案，你還能夠過幾天把答案合上了我能夠自己做出來，然後再過幾天你去講我為什麼會錯，是因為我前面的哪個知識框架少了，我當時就沒有想到這個知識點，或者是你這個知識框架體系上的聯繫你沒有想到，或者是這個知識點的本源，就是知識點的本質、來源要了解。我們要做到「四位一體」的複習，這是我的第一點建議。
第二點建議，剛才一說感覺大家也都經歷了中考，有很多孩子說我也從小學、初中甚至到高中這兩年，如果你高三結束了，就已經12年了。說我也已經有11年學習數學的經驗，我也明白這個道理。具體我還會給大家操作的建議，我們知道函數有周期性，複習也建議大家做一下周期性的複習，周期性的操作。什麼叫周期性的複習、周期性的操作呢？周期性的複習，也就是剛才提到的「四位一體」的複習，這個知識框架可能是老師給你搭建的，也可能學校現在還沒有開始複習，你現在自己嘗試去搭建。如果說你自己搭建，可能第一次不會那麼全面。比如你今天搭建了函數這個框架，等你再過一周，你在做題的過程中發現我還遺漏了一些點，那你就可以再把它去填上去。
這是我們自己在搭建知識框檻的時候可以進行周期性。但是可能一旦開學了，你可能就沒有這麼多時間了。但開學有一個好處，也是老師帶領著你複習，比如你前面這些工作都是在老師帶領下去做的，反而要好完成一些。所以，我接下來是說周期性的複習。
周期性的複習是上課認真聽，記好筆記，聽不是幹聽，最好記好筆記。否則你覺得聽懂了，但是後面就會忘記，也是符合人的遺忘曲線，不可能你聽了百分之百全都能記住。所以，第一我們要保證先聽明白。
接下來就是做題。做題之後，我希望你是先反思，不是先改錯。什麼是先反思呢？比如你做完題之後，今天學校給你留了十道題，你做完之後可能這十道題當中有你完全不會的，你圈出來。還有一些你不是很確定，只是大概，或者是說這道題就能夠有幾個已知條件是可以做的，這樣的題也要圈起來。接下來不要著急看答案，去反思，去反思我為什麼想不到呢？當然不是幹去檢討我為什麼不行，而是我們對應地打開老師上課講的這些內容，你記的筆記，你拿出這個筆記去反思，去看一下這道題都涉及到哪些知識框架，你能不能就著知識框架就把你半會不會的題做出來。如果能做出來，這個反思的過程會更加促進你的記憶。
當然肯定還有一些，即使你打開筆記，依舊是不知道怎麼做，這肯定就需要改錯了。這是第一個反思，能夠讓自己回顧一下筆記。
我們再接下來一步，第四步才是改錯。有可能你是有答案的，你可以拿著答案改錯。但是改錯並不意味著你只要把答案看明白了，甚至說看明白之後，有些同學為了趕時間，還有其它科目，就直接把答案抄上去，抄上去並不意味著你會。你看完之後你可以合上（答案），看你自己能不能寫出來。你看完之後，兩分鐘之內你就能把答案寫出來，說明你確實看懂了，你也可以做了，但是這可能意味著你幾天之後也不一定會，所以這道題還是要圈出來，幾天之後還是依舊要重新做。所以，改錯是很多同學都難以堅持的。但是有很多考生可能願意做個改錯本，這個改錯本你去做，我也不會攔著你，但是我並不是完全推薦。我們重的不是這個形式，而是你真正能不能做到改錯。比如說如果你不做改錯本，你就把你所有的，不管是你的練習冊還是學校給你發的試卷，你就整理好，一直放在那兒，所有的錯題你都用各種不同的筆去標記，這樣就達到了可以周期性地去複習了。這個過程，你可以設置周期，一般情況下可能一個星期比較短，一般可以設置兩個星期為一個周期或者是一個月為一個周期。
這是我給大家的兩點建議，一個是四位一體的複習，第二是周期性的複習，這樣可能我們在複習上會達到一個比較理想的效果。
主持人：好的，謝謝郭老師。通過您剛剛對數學真題解析的一個剖析，我們也希望眾多的莘莘學子都會取得一個優異的成績。好的，以上就是本期節目的全部內容，我們下期節目再會！