指對數混合型函數中的構造法

在處理指對數混合型函數求參數範圍的題目中，目前為止常用的方法如下：

方法1.指對數分組求最值，確保在同一點處取得所需的最值

方法2.利用凸凹性不同，根據圖像交點個數或圖像高低，利用切線求出對應的參數值

方法3.利用放縮法，將指對數其中一個放縮成常見函數，確保放縮後不放大範圍即可

方法4.利用端點效應先求後證

在混合型函數中，如果可以把指對數當做一個函數的兩個變量，則構建函數利用單調性解就可以，因為指數對數在形式上的不同，所以很多人並不注意這種方法，另外因為指對數還可以互相轉化，所以這種方法並不難理解，今天給出以下四道題目，探究在什麼情況下可以通過構造函數利用單調性求解參數的範圍。

先看以下四種變形形式：

若一個冪函數與一個對數函數相乘的形式，若冪函數的指數和對數函數真數的指數相等時可以直接構成，若次數不一致時，如下：

以上可知，當冪函數的指數與對數函數真數的指數不一致時只需要變成一致即可，但是如果對數函數存在常數又該如何變形？如下：

上述可見，當對數函數存在正數常數時，構造的函數需要除以e的次數，如果常數為1，則需要除以e,常數為2，則需要除e ，同理存在負數常數時，構造的函數需要乘以e的次數，但是如果冪函數後存在常數時，則就無法構造出所需的函數了。

當然並不是所有的指對數混合型函數求參的問題都可以這樣做，使用該方法時需要觀察題目中給出的指數函數形式，在根據指數函數形式合理變形對數函數，這樣做可以將一個複雜的混合函數簡潔化，當然前提必須是指對數能夠分開的，且構造之後指數函數和對數函數在形式上相同才可以，很好理解吧，題目如下：

上題中根據前面指數函數的形式可知應該構造成y=xe^x的形式，而且右邊的對數函數中冪函數的次數和真數的次數相同，因此可以直接構造，無需變形。

上題中右邊冪函數和真數次數一致，但是對數函數存在-1的常數，因此構造時需要乘以e，接下來常規的構造函數利用單調性求解即可。

注意，本題目的構造同上，只是對數函數存在正數常數，因此需要除以e，但是本題目並不能完全利用單調性來做，以你為左右兩側的形式並不一致，但是可以分離參數，利用單調性解出函數的範圍。

上題目在做的時候需要考慮前面指數函數的形式，否則就可能不知道需要把對數函數往哪個方向進行變形，變形之後冪函數的指數和真數的指數一致，因此可以直接構造求解。