洛倫茲因子(相對論因子)在光速條件下的有限解——推導過程

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介紹

洛倫茲

在理論物理學中，洛倫茲因子又稱相對論因子。它是以1902年諾貝爾獎得主、荷蘭物理學家亨德裡克·安託·洛倫茲的名字命名的。洛倫茲和彼得·澤曼一起發現並從理論上解釋了澤曼效應。洛倫茲還推導出了最終在愛因斯坦的狹義相對論(1905年)中扮演重要角色的變換方程。這篇文章是關於後者的成就。

洛倫茲因子又稱伽馬因子，其數學定義如下：

Eq.1

問題定義

狹義相對論中洛倫茲因子的存在，在估計相對論的質量、能量、動量和時間膨脹時帶來了巨大的困難，因為速度趨向於真空中的光速。尤其是，隨著平方速比v/c趨向於1時，數學上的奇點變得不可避免。當所研究的物體的速度v與真空中的光的速度相比太低時，這也成為一個挑戰。結果，物理學家總是通過採用以下形式的二項式近似來解決它：

Eq.2

從式(1)可以看出，在(真空中)光速（v）恆定的情況下，c的計算結果是無窮大。這使得相對論和量子力學的操作(關於洛倫茲因子)，例如長度收縮、質量、能量、動量和時間膨脹，都有很大的問題。這也是保羅·狄拉克提出相對論量子力學時的一個原則。然而，需要考慮的最明顯的例子是相對論的質量-能量-動量方程，它支撐著愛因斯坦提出的狹義相對論，其表述如下：

Eq.3

一個迫在眉睫的問題是，當v =c時(3)到底會發生什麼？也許從下邊界v=0開始更有意義。物體不是在運動，因此相對質量等於靜止質量，動能和動量都等於零。然而，當物體獲得速度時，這三個量就會隨著位置和時間的變化而分布，從靜止到經典極限，直到量子特性開始發揮作用。我們將試著找出這個系統的一個有限解。

求有限解

代替二項式近似，如果我們引入一個重正化參數——稱之為j。重正化是量子場理論中用來處理從計算量中產生的無限大的一種技術，否則將導致無意義的(無限的)結果。因此，我們將平方速比作為這個j的函數，這樣：

Eq.4

我們將闡述更多j是什麼，但現在它只是足以知道j值為3，比率v/ c= 1，這就是最大的價值。公式(4)中的定理對該範圍內的所有值都成立，只要我們記住理論極限，即真空中的光速c，就有意義。快速測試可以在-8、-15、-24、-35等等處執行。

重整化的物理含義

假設Eq.(4)的數學問題已經解決，我們假設重正化參數j的物理含義是什麼？結果是特定的，也就是說，它取決於粒子所在的區域和速度。例如，我們可以將氫原子中的電子j定義為：

式中：n為電子層數，或能級，也稱主量子數。參數α1/137.06稱為精細結構常數，是在處理基本粒子時經常出現的無量綱數。這個假設可以用n=1來測試，對於氫原子的基態電子，你會發現一個對應的j值，最重要的是，在那個電子層中電子的確切速度大約是v = 2187308.1716 m/s。

重正化參數也可以表示為速度本身的函數，這意味著對於任何(非靜止)物體：

Eq.6

為了檢驗Eq.(6)的有效性，你還需要代入速度v的任何已知值，並估計j，然後用它來計算氫原子中電子的能級。從前面解釋的例子中可以看出，當v = c時，j必須減小到最小值-3。

與狄拉克方程比較

狄拉克

為了成功地應用派生的重正化，需要注意的是，式(4)的分母同時取負值和正值。也就是說，我們在所有的情況下都採用前者，使得速度總是由以下函數返回：

Eq.7

將Eq.(7)代回Eq.(3)中的任何質量-能量-動量項，有效地消除了奇異點。以能量方程為例，得到如下形式：

Eq.8

這裡的理論含義是，在真空中的光速下，粒子的能量必須減少到以下形式：

Eq.9

同時，狄拉克精確能量方程用以下方法預測了氫原子的相對論量子力學性質：

其中Zα是一個小的非整數的數，而狄拉克方程的原理量子數Eq.(10)所描述的線性關係n = n+κ。其中n是指定半徑處的量子數r，並且κ是一個非零整數，由以下關係式給出：

註：Eq.(9-10)中的符號j與Eq.(4-9)中的符號不同。因此，這是嚴格特定於狄拉克的公式。

注意式(9)和式(10)之間的相似性，特別是RHS分母平方根下的第二項。基於這一觀察，我們可以得出以下結論：

結論

我們推導了洛倫茲因子的一個簡化有限解。這裡的關鍵要點是，平方速度比通常在處理洛倫茲變換方程時會面臨挑戰（出現奇點），具有有限的解，可以利用它來執行相對論量子力學計算，例如：時間膨脹，長度收縮，質量，能量，並估算粒子動量。不管狄拉克方程是什麼，它仍然為氫原子提供了一種精確的方法。因此，值得注意的是，這並不是狄拉克方程的完全替代，而是一種補充，因為即使精確地預測速度，它也不能預測其他估計，例如量子「自旋」效應。