是誰留下黎曼猜想這麼難的題,讓最聰明的頭腦失去理智

如果從時間上看，上一次費馬猜想被解決，花費了3個半世紀；哥德巴赫猜想至今已過去兩個半世紀，依然等待著最終的塵埃落定。159歲的黎曼猜想，或許還太過年輕。

文 |楊宙

編輯 |金焰

一閃而過

看上去，人類可能與一個文明閃耀的時刻失之交臂了。

9月24日，89歲的阿蒂亞爵士登上海德堡論壇。在45分鐘的演講裡，他嘗試通過幾張簡潔的PPT裡「簡單而全新」的方法，證明有著159年歷史的黎曼猜想。一周前，他通過郵件宣稱自己解決了這一數學難題。

數學家伯恩哈德·黎曼留給世人的黎曼猜想，被公認為數學史上最重要的問題之一。它穿越一個世紀而來，能量影響至今。當今有一千多條數學命題都是以黎曼猜想的成立為前提。

「黎曼假設如果成立，數學界就會多出上千條定理。」《黎曼猜想漫談》作者、哥倫比亞大學物理學博士盧昌海告訴每日人物。

因為阿蒂亞在數學界首屈一指的地位——他在半個多世紀裡先後拿下了菲爾茲獎和阿貝爾獎兩個數學界最崇高的獎項，他的郵件引起了少有的一次數學「地震」。

消息發出當天，《數學文化》主編湯濤的郵箱就塞滿了討論郵件，最明顯的是那些數學家們原本克制的形容詞——過去至多就是「big」和「surprise」，而這一次直接衝到了「shocking」級別。與數論研究無關的學者們也紛紛開始往來郵件，科普類媒體加急發稿預熱，像在等待一場即將到來的盛大慶典。

而實際上，真正從事與黎曼猜想相關研究的學者們的沉默，一早就被網際網路的狂歡所淹沒了。在阿蒂亞的5頁證明預印本出來後，一些專家對證明的有效性表示懷疑，另一些人則直接回絕了關於這次證明的討論。

以至阿蒂亞在海德堡論壇演講完之後，現場陷入了1分鐘的安靜，隨後只有一位非數學領域的年輕人向他發出全場第一個提問：「是否解決了黎曼猜想？」

年邁的阿蒂亞倚在講臺上，堅定地回應：「這是由你的邏輯決定的。原始的黎曼猜想我是證明了，除非你是那種不接受反證法的數學家。」

麥可·阿蒂亞（Michael Francis Atiyah）爵士其人。圖/ NewScientist

這是科學界少有的尷尬時分。《科學》雜誌隨後聯繫採訪時，儘管沒有同事或學生願意公開提出批評，但是從他們隱晦含糊的措辭中，已經透露了對這次證明的悲觀看法。

加州大學河濱分校的數學物理學家John Baez提出了最直接的意見：「該證明只是將一個大膽的主張疊加在另一個之上，沒有任何關聯的論證和真正的證據。」數學家丘成桐也在近日接受媒體採訪時稱：「我問過一批專家，大家都說這篇文章沒有提供一般數學家要求的嚴格性的定理證明。」

眾人對於黎曼猜想最熱切的一次討論，或許就這樣在海德堡一閃而過了。

漫長之路

從更寬廣的視角來看，或許更能理解黎曼猜想對於世人的意義所在。

如同一個世紀的遙望。1900年，巴黎的國際數學家大會上，德國數學家希爾伯特提出了對數學發展意義重大的23個問題，黎曼猜想是其中之一。一個世紀後的2000年，美國克雷數學研究所也在巴黎召開了一次數學會議，列出了本世紀的7個數學難題，並為每個難題設立100萬美元的獎金，黎曼猜想仍在其中。

從某種意義上說，人類攻克黎曼猜想的歷史，就是對自身智慧超越的歷史。「就像一場體育賽事，你比如說短跑項目裡頭，為什麼這個人能破紀錄，為什麼前進一秒有這麼大的困難，外人是不清楚的。」湯濤說，儘管同樣從事數學工作，但大多數人都在黎曼猜想圈外，世界上真正能懂的不會超過100個人，「可是所有人都對這個短跑感興趣，因為它是體育項目裡最精華、最基礎的東西。」

但這種超越註定充滿艱深與折磨。盧昌海記得，在自己書寫《黎曼猜想漫談》的8年裡，除數值計算外，黎曼猜想沒有任何大的進展，偶爾有幾個聲稱自己證明了猜想的，到最後也不過是個烏龍。

他的書中記錄了一系列前赴後繼攀登黎曼猜想這座高峰的數學家們。其中最令人唏噓的，莫過於對黎曼函數中非平凡零點的推進——用通俗的話來解釋就是，要證明是否所有符合條件的點都在一條臨界線上，而很長一段時間裡，結果都是百分之零。

1942年，挪威數學家塞爾伯格證明了這個百分比大於零。那時正值第二次世界大戰，他躲在挪威奧斯陸大學裡，因為數學期刊已無法送達，他就像在一座孤島的監獄裡孤獨戰鬥。

1974年，列文森在生命的盡頭將進度條推進到了34%，一年後就離開人世。隨後的10餘年裡，數學家們逐一接棒，緩慢地在個位數上推動進度條。1989年，這個數值被美國數學家康瑞推到了40%。後來，該數值只被微幅推進為41.28%，這就是迄今為止黎曼猜想研究中的最強結果。

研究黎曼猜想就像一條殉道之路，數學家將畢生投入其中，大多未見盡頭。《美麗心靈》中的主角、美國數學家約翰·納什在1950年代後期研究過黎曼猜想，但不久後便患上精神分裂症，上臺發言時已經語無倫次。希爾伯特在提出23個重要問題後，也不再相信有生之年能見到黎曼猜想的證明。因此有人問他，如果500年後重回人世最想問什麼問題時，他毫不猶豫地回答：「是否已經有人解決了黎曼猜想？」

但在數學裡，天才並不會靈光一現。如同數學家蒂莫西·高爾斯的比喻，「數學中絕大多數影響深遠的貢獻，是由『烏龜』而不是『兔子』們做出的。隨著數學家的成長，他們都會逐漸學會這個行當裡的各種把戲，部分來自其他數學家的工作，部分來自自己對這個問題長時間的思考。」

由此可以理解，與網際網路狂歡形成鮮明對比的，數學界的低調與緘默，那不只是出於對講者的尊重，更多的是他們深知在證明之路上，黎曼猜想必然的失落。

如今，黎曼在一個多世紀前寫下的那本手稿被存放在了哥廷根大學的圖書館裡，它的面前時常人來人往，數學家們從世界各地前來，希望從中找到哪怕一點微小的啟發。

黎曼於1859年的手稿，現存放在哥廷根大學圖書館。圖/State and University Library at G?ttingen

數學之心

因為這一次黎曼猜想的熱潮，盧昌海也被問到了密碼、加密等關於黎曼猜想實際應用領域的問題。而實際上當初最吸引他、讓他從一位物理學者轉而鑽研黎曼猜想的，是他在翻閱關於黎曼猜想的科普書時，偶然被一個故事吸引，「它提到了黎曼猜想跟物理上某些複雜體系的物理量分布有一定的關聯」。

正如阿蒂亞在接受採訪時所說：「大腦中用來欣賞音樂、藝術及詩詞之美的部位，也同樣用來領悟數學之美。」真正讓數學家們孜孜不倦、日復一日投身其中的，不是實用主義上的成果，而是「一種你曾經看到過的東西，即真理或者真實存在，它就在那裡凝視著你……它就在紙上閃閃發亮。」

事實上，在阿蒂亞發表演講前，就有不少人對他抱有悲觀態度，畢竟在過去的幾次研究裡，阿蒂亞沒有再像過往一樣給人們帶來驚喜的成果。

87歲時，他用一篇語義含糊的論文試圖解決一個60多年前的數學難題，結果被證明是錯誤的；88歲時，他聲稱要將一個長達255頁的定理證明簡化成12頁，結果沒有通過同行評議。如今他89歲了，試圖挑戰數學中最艱深的問題，不少人談論，如果不成功，豈不是「晚節不保」？

沒有人確保他不是老糊塗了。只有他自己，在早前接受訪談的時候早已對自己未來的選擇做出預言：

「我的聲望是通過作為一名數學家得到的。如果我現在把它弄得一團糟，人們將會說，是的，他曾經是一名優秀的數學家，但在他生命將要結束時，他喪失了理智。

就在我進入物理領域的時候，我的一個朋友約翰·鮑金霍恩離開了物理，他去了教會並且成了一名神學家。在我80歲的生日上，他跟我說，『你沒有什麼可以失去的了，儘管勇往直前，去思考你想思考的事情。』……我已經得到了我需要的所有獎項，我還能失去什麼？這就是我在冒著一個年輕學者不敢冒的風險。」

他說，他已經從事數學研究70年，無法停下來了。「100年前愛因斯坦有一個好想法，現在我們需要另一個想法來帶領我們向前。」

如果從時間上看，上一次費馬猜想被解決，花費了3個半世紀；哥德巴赫猜想至今已過去兩個半世紀，依然等待著最終的塵埃落定。159歲的黎曼猜想，或許還太過年輕。

麥可·阿蒂亞爵士在論壇現場講述證明過程。 圖/ Heidelberg Laureate Forum Foundation

阿蒂亞在海德堡論壇上演說完畢後，現場無人反駁，也無人讚許，原本舉世矚目的論壇很快進入了咖啡時間。只有幾個年輕人圍著坐在輪椅上的阿蒂亞，談論著一些與黎曼猜想核心無關的話題。

這讓人想起25年前，劍橋大學的牛頓研究所裡，安德魯·懷爾斯連續3天站在講臺中央，一點一點地介紹著自己那長達200多頁的證明上關鍵的定理，沒有人確定他最終會引向何方。直到最後一天，他在站滿了人的會議室裡寫完了費馬大定理的命題，「我想我就在這裡結束。」

後來，BBC的節目編輯在《費馬大定理》回憶這一幕時寫道：「就數論來說，別人告訴我它最使人興奮的用處是在晶體學、音響調節的設計以及遠距離太空飛船的通訊中。這些似乎沒有一個會吸引觀眾。」

「真正能激發人們熱情的正是數學家們自己，以及他們談到費馬時表現出來的那種深情。」

在黎曼猜想的探索長河中，阿蒂亞的這一頁嘗試翻篇了。沒有人知道下一次的波瀾會在何方。但正如《數學文化》的主編湯濤所言，無論它會在什麼時候發生，可以預知的是，如果人在一輩子中能夠看到黎曼猜想被證明，「那麼他們正是活在一個非常輝煌的時代」。

（部分資料來源於盧昌海《黎曼猜想漫談》、賽先生《阿蒂亞：美妙的數學之夢》）