黎曼猜想被證明了嗎?

2021-01-14 新智元

黎曼 Zeta 函數可視化

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新智元於9月20日在北京國家會議中心舉辦AI WORLD 2018世界人工智慧峰會，邀請機器學習教父、CMU教授 Tom Mitchell，邁克思·泰格馬克，周志華，陶大程，陳怡然等AI領袖一起關注機器智能與人類命運。


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來源：集智俱樂部（ID:swarma_org）

作者：集智小編

【新智元導讀】近日公布的德國海德堡獲獎者論壇日程中，9 月 24 日著名數學家 Michael Atiyah 將會做一場關於 「證明黎曼猜想」 的報告。消息傳出，數學物理計算機各路豪傑，紛紛炸了鍋。困擾人類 159 年的最重要數學猜想真的要被證明了？


震撼！AI WORLD 2018世界人工智慧峰會開場視頻


困擾人類 159 年的最重要數學猜想被證明了？


剛剛公布的德國海德堡獲獎者論壇日程中，9 月 24 日著名數學家 Michael Atiyah 將會做一場關於 「證明黎曼猜想」 的報告。消息傳出，數學物理計算機各路豪傑，紛紛炸了鍋。

       

海德堡獲獎者論壇官網的日程顯示，該報告是在 9 月 24 日上午


網址：https://www.heidelberg-laureate-forum.org/event_2018/


瑞典籍澳大利亞數學家 Steve McCormick 在社交網絡上發布了這一消息，引起大量關注，小編在論壇官網證實的確有這樣一個日程。（論壇官網一直到今天下午才能訪問，可能是全球數學愛好者聽說消息紛紛趕來圍觀，伺服器都被拖垮了）

       

       

翻譯一下摘要：「黎曼猜想是 1859 年提出的著名問題，至今懸而未決。我會基於馮諾依曼（1936）、希策布魯克（1954）和狄拉克（1928）的相關工作，給出一個使用全新方法的簡潔證明。」


德國海德堡獲獎者論壇（Heidelberg Laureate Forum）是一個由國際頂級獎項（圖靈獎、阿貝爾獎、林奈獎、菲爾茲獎）得主與青年學者交流的研討會，自 2013 年開始舉辦，頂尖學者每年齊聚一堂，相關討論在數學屆甚至整個科學界都受到廣泛關注。在這樣一個大場合，倒配得上公布黎曼猜想得證的消息。



早在 1737 年，大數學家歐拉就發現了質數分布問題與 Zeta 函數的聯繫，給出並證明了歐拉乘積公式，使得 Zeta 函數成為研究質數問題的經典方法。

       

歐拉乘積公式，其中 p 為質數，n 為自然數


黎曼猜想（Riemann Hypothesis）由大數學家黎曼在 1859 年首次提出，討論黎曼 Zeta 函數的非平凡解問題。


黎曼猜想是眾多尚未解決的最重要的數學問題之一，被克雷數學研究所列為待解決的七大千禧問題，懸賞百萬美金證明或者證偽。一百年前希爾伯特就曾被問過一個問題 「假定你能死而復生，你會做什麼？」，他的回答是，「我會問黎曼猜想是否已經解決」。可見黎曼猜想多麼吸引人。

       

伯恩哈德 · 黎曼（Bernhard Riemann，1826-1866）


集智俱樂部在今年 5 月，曾經報導過研究者用晶體衍射實驗研究質數分布問題的最新進展。質數分布間隔的規模至今是未解之謎，而研究者發現，如果用質數序列作為準晶體微粒的分布間隔，就可以在其光學衍射結果中發現出分形結構。這為解開質數之謎提供了新的靈感，但仍然不能直接證明黎曼猜想。


質數分布、分形幾何、晶體衍射——竟然被一個小實驗聯繫到一起

如何用 Mathematica  窺探質數分布中隱藏的分形規律


Michael Atiyah 爵士是何許人也，竟然有這樣的野心？


數學最高獎獲得者，Michael Atiyah 爵士


Michael Atiyah（1924-）是當代著名數學家，主要研究領是幾何，他於 1966 年獲得 4 年頒發一次的數學界最高獎菲爾茲獎，而且在 1990-1995 年擔任英國皇家學會主席。


Michael Atiyah（1924-）


Atiyah 最重要的工作都是在上世紀六七十年代完成的。但作為一位年屆九旬的科學家，他仍然活躍在學術前沿，並時常有驚人之舉，2016 年他因為給出一個 「6 維球面上不存在復結構」 的證明被質疑而頗具爭議。


而黎曼猜想本身的確非常難，所以在 Michael Atiyah 證明黎曼猜想的消息公開之後，社交媒體上多數人仍在觀望，畢竟太多人都曾聲稱自己證明了黎曼猜想但之後卻被推翻，連大數學家哈代也犯過這種錯誤。



回到黎曼猜想上。黎曼猜想是關於黎曼 Zeta 函數的零點分布的猜想。黎曼 Zeta 函數長這個樣子：

黎曼 Zeta 函數有兩種零點，一種是位於實數軸線上的零點，被稱為平凡零點，另一種是位於其他複平面區域上的零點，被稱為非平凡零點，目前數學家已經證明這些非平凡零點全部位於實部區間為 0 到 1 的複平面內，而黎曼則大膽猜想，這些非平凡零點全部位於實部為 1/2 的一條直線上。


「所有非平凡零點都位於實部為 1/2 的直線上」 是一個尚未得到嚴格證明的猜想，但數學家們至今找到的上萬億個非平凡零點的確都位於這條直線上，無一例外。


視頻《什麼是黎曼猜想》


不止如此，黎曼猜想還跟冪律分布有關。


我們都知道冪律分布是指        

其中 x 如果只能取 1,2,3,...,n 的整數，c 為歸一化常數，滿足：

   

而這裡面的        

就是 Zeta 函數，黎曼猜想就是關於這個函數的，但是 a 可以取複數值。



質數分布沒有簡單規律，但質數出現的頻率跟黎曼 Zeta 函數緊密相關。有數學家甚至認為黎曼猜想與強條件下的質數定理是等價的。目前已經驗證了前 1,500,000,000 個質數對這個定理都成立，但至今沒有完全證明。黎曼猜想得證，對質數研究、數論研究意義重大。


黎曼猜想對許多數學領域都意義重大，質數分布只是其中一個。有上千個數學命題都建立在黎曼猜想為真的基礎上。多數數學家認為這個猜想是正確的，如果黎曼猜想被證偽，數學體系將失去重要根基。


作為菲爾茲獎和阿貝爾獎雙料得主，Michael Atiyah 爵士已經功成名就，而且培養出許多優秀的年輕學者。如果真的證明了黎曼猜想，那 Michael Atiyah 就會登頂最偉大數學家的行列中。


真相如何？9 月 24 日見分曉！

盧昌海 《漫談黎曼猜想》 清華大學出版社

德比希爾《素數之戀——黎曼和數學中最大的未解之謎》上海科技教育出版社

視頻 - 可視化黎曼 Zeta 函數和解析延拓

https://www.youtube.com/watch?v=sD0NjbwqlYw&feature=youtu.be


編輯：集智小編

本文經授權轉載自集智俱樂部，ID：swarma_org，點擊閱讀原文查看原文。


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全程回顧


新智元於9月20日在北京國家會議中心舉辦AI WORLD 2018世界人工智慧峰會，邀請機器學習教父、CMU教授 Tom Mitchell，邁克思·泰格馬克，周志華，陶大程，陳怡然等AI領袖一起關注機器智能與人類命運。


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  • 黎曼猜想被證明了?很可能只是逗大家玩
    >大家這幾天應該被動惡補了不少黎曼函數和黎曼猜想的介紹了，這裡還是不厭其煩地再簡單說下。黎曼猜想，尤其是命題三，仍未得到證明。160年過去了，數學家們幾乎都相信黎曼猜想是正確的，但還沒有人拿出嚴格的證明。對於黎曼猜想，數學界有兩句調侃：「如果魔鬼與一位數學家做交易，允許他用靈魂交換一個命題的證明，那他大概率會選擇黎曼猜想的證明」，以及「如果500年後黎曼活過來了，他要問的第一件事就是黎曼猜想證明了嗎？」足見黎曼猜想的崇高地位。
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