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「黎曼猜想」 是數學界迄今最重要的猜想之一，被克雷數學研究所列為 「有待解決的七大千禧問題」，並懸賞100萬美元給第一個提供證明或證偽的人。
黎曼猜想之所以重要，主要是因為在現代數學中，有很多深入和重要的數學、物理結果都能在它成立的前提下得到證明。如今，大部分的數學家都傾向於相信黎曼猜想是正確的。
因此，如果黎曼猜想被證明，大家都鬆了一口氣，我們得到了一項很好的數學工具；但是，如果黎曼猜想被證偽，那很多數學、物理結果都得推翻重來。
伯恩哈德 · 黎曼（Bernhard Riemann，1826-1866）
黎曼猜想最初於 1859 年由德國數學家波恩哈德·黎曼提出。簡單說，就是根據一個重要的數學公式，能夠畫出無窮多個點。黎曼猜測說，這些點有一定的排列規律，一部分在一條橫線上，另一部分則在一條豎線上，所有這些點都在這兩條直線上排列，無一例外。
黎曼 Zeta 函數可視化
由於這些點有無窮多個，所以理論上是沒有辦法證明是不是所有的點都在這兩條線上，因為永遠也驗證不完。
但是，只要找到了一個點不在線上，那就推翻了黎曼猜想。
現在，數學家使用計算機，已經驗證了最初的15億個這樣的點，全都符合黎曼猜想的排列規律。不過，至今尚無人給出完整的理論證明。
因此，3天前，2018年的德國海德堡獲獎者論壇日程公布，Michael Atiyah 將會做一場關於 「證明黎曼猜想」 的報告的消息便迅速傳遍世界，無論是數學、物理還是計算機，甚至完全不相干的各路吃瓜群眾，全都開始關注這一焦點。
德國海德堡獲獎者論壇（Heidelberg Laureate Forum）是一個由國際頂級獎項（圖靈獎、阿貝爾獎、林奈獎、菲爾茲獎）得主與青年學者交流的研討會，自 2013 年開始舉辦，頂尖學者每年齊聚一堂，相關討論在數學屆甚至整個科學界都受到廣泛關注。在這樣一個大場合，倒配得上公布黎曼猜想得證的消息。
在Atiyah大新聞前夕，把從前的這個草稿寫完吧。本文的標題是許多學數學的同學會問過的問題。如果能真正回答這個問題，就離解決黎曼猜想（RH）不遠，所以這個問題很難回答。這裡是從前的一點想法，請專家指正（沒接觸過這些的朋友可以看最後面，有個小問題是容易懂的）。
今天網上流傳的Atiyah的5頁論文，黎曼猜想（目前大家還不確定是不是Atiyah寫的）：傳聞Atiyah同時公布了一篇可能更厲害的論文（目前大家還不確定是不是Atiyah寫的），算精密結構常數（約等於1/137的那個）：
難點一：如果黎曼猜想（RH）被證否，並不會有特別嚴重的後果。必然如此，如果有嚴重後果，那麼就可以直接用反證法證明RH了。
可與費馬大定理的情況比較。費馬大定理如果是錯誤的，那麼橢圓曲線就沒有了modularity，這個給人的感覺不好。所以最終費馬大定理更容易被證明。
但是如果RH有反例，只能說明許多需要靠假設RH成立的定理需要重新找方法證，並不能說明這些定理是錯誤的。
歷史上有不少起初需要靠假設RH成立，後來就不需要的例子。如Gauss的類數問題，質數分解的算法，等等。
所以，RH實際屬於，如果成立非常好，但如果不成立，好像天也不會塌下來，只能說明質數具有某種意想不到的"conspiracy"。
正如 Iwaniec 說過的：
Analytic number theory is fortunate to have one of the most famous unsolved problems, the Riemann Hypothesis. Not so fortunately, this puts us in a defensive position, because outsiders who are unfamiliar with the depth of the problem, in their pursuit for the ultimate truth, tend to judge our abilities rather harshly. In concluding this talk I wish to emphasize my advocacy for analytic number theory by saying again that the theory flourishes with or without the Riemann Hypothesis. Actually, many brillian ideas have evolved while one was trying to avoid the Riemann Hypothesis, and results were found which cannot be derived from the Riemann Hypothesis. So, do not cry, there is a healthy life without the Riemann Hypothesis. I can imagine a clever person who proves the Riemann Hypothesis, only to be disappointed not to find new impotant applications. Well, an award of one million dollars should dry the tears; no applications are required!
難點二：關於zeta函數，目前的結論集中在functional equation即modularity即Langlands層面。但RH是更高一個層面的結論。因為容易寫出和Riemann zeta長得很像而且也具有函數方程、解析延拓，但是不滿足相應RH的Dirichlet級數，例如Davenport-Heilbronn的例子。
對於函數方程，我們在很多zeta函數上都已經會證。但是對於RH，我們連最簡單的數論情況都不會證。
由於函數方程的層面是poisson summation / trace formula，個人的感覺是，可能trace formula並不足以對付RH。不過或許最廣義的Langlands還是有可能在這裡起作用。
那麼，如果說函數方程、解析延拓（以及某些增長速度之類）還不足以推出RH，到底還需要Dirichlet級數的什麼性質？從Selberg class看，還需要的是Euler積。
看上去很普通的Euler積，其實是很神秘的。怎么正確用上Euler積是個問題。
難點三：很難說出RH在模形式那邊的對應物。難點四：我們會證某些RH的類似物，但不知道怎麼把結果轉化到數域上。經典的例子是Weil猜想的情況。由於2維的Weil猜想可以通過考慮C x C證，所以許多人希望用類似的辦法證RH，比如發展F_1然後看是不是可以把Z看成F_1 x_Z F_1。但目前還沒有人知道怎麼做。Deligne對於高維Weil猜想的證明，實際在本質上也是類似的思路。
而且這又涉及到一個經典問題："frobenius in char. 0"是什麼？無法回答。Connes的非對易幾何對此曾試圖有話要說。
總之，幾何的方法，目前可以對付local field，對付char. p，對付函數方程，但仍然很難對付global field的RH。
還有一些很玄的方法，比如隨機矩陣，比如SpecZ是三維的，比如物理Hamiltonian的思路，等等等等。
大家知道，面對很難的猜想，大家攻擊不進去，都會在它旁邊轉來轉去，有時轉來轉去就自動開了，更多的時候還是總得要暴力攻擊進去。我覺得這些轉來轉去可能是越轉越難。
令人困惑的問題仍然是：
怎麼把Euler積這個條件正確地用上？
如果不用上這個條件，肯定不可能證出來RH。因為不用上就有反例。
Naive地看，Euler積就是算術基本定理，就是class number 1，但然後又怎樣呢，不容易繼續。也許先找到怎麼證special value的系列猜想（Beilinson / Tamagawa etc）會相對簡單些。
結語：幻想的證明思路
雖然不知道怎麼證，不過可以幻想怎麼證。
我猜，Weil猜想的證明方法可能會有一點啟示。Deligne對於Weil猜想的證明，最終是靠一個常見而強大的技巧，考慮：
可以證明：
即：
令 k -> ∞，再運用函數方程，證畢。
簡單地說，先證明能往中間推一點（k=1），然後找到【只要能推一點，就可以不斷往中間推】的辦法（k -> ∞），最終就推到中間了。
遺憾的是，對於RH，第一步目前仍然是做不到的。第二步也做不到，因為Z目前沒有合適的代數幾何結構。
或者RH需要通過反證法證。那麼需要找到足夠壞的反面推論。證明有了一個壞零，就可以越推越荒唐（有某種「動力系統」）。這個過程肯定是需要函數方程和跡公式，更奇怪的還是怎麼用Euler積。用通俗的話說，要證明這麼難的問題，肯定需要將所有條件都用上。
這種反證法有點類似現在傳聞的Atiyah的5頁證明的一些方法。這個傳聞的5頁證明很神，好像都沒看到函數方程用在哪裡...所以不知道真偽。
我不相信RH可以用純解析的方法證。從前Branges的證明是純解析，現在傳聞的Atiyah好像也是純解析。zeta有很多解析性質，但並不是zeta獨有的，例如像zeta universality之類的東西都不是獨有的，我認為都是不足夠證明RH的。
說起來，很欣賞望月新一對於BSD的某句話，他說我們要走得更深，考慮像加法和乘法這種操作的本身的變形。也許只有這樣，才能給我們足夠的靈活性去證明那些最難的結論。
返璞歸真：Error term問題其實，RH最返璞歸真地從代數的角度看，是對於error term的估計。但是error term的問題很難，我們連高斯圓問題都證不出來。這裡以後也許會成為一種突破口，先把高斯圓問題給解決再談RH吧。高斯圓問題現在都是用純解析方法推，目標是0.5+ε，目前推到131/208=0.6298...就推不動了。
下面介紹高斯圓問題，又叫圓內整點問題。大家可以多關注這個問題。我們在格點紙上畫個半徑為r的圓，裡面當然大致就有 pi r^2 個格點。
那麼這個估計的誤差 E(r) 是多少呢？
很明顯肯定是O(r)，因為誤差首先約等於圓的邊長（這是很漂亮的幾何觀點，其實 class number formula 就是這樣來的），例如高斯證明了：
但是圓很規則，實際上誤差更小，大家猜是：
用Voronoi可以證O(r^{2/3})，現在可以證明到O(r^{131/208})。這個問題屬於看上去很簡單，實際非常難。有興趣的可以想想。
下面繼續看RH。民間數學家最流行的是證明哥德巴赫猜想，然後是費馬大定理，因為這兩個的表述足夠簡單。RH的解析表述讓民間數學家看不懂。不過如果把RH寫成error term的等價命題：
或者Mertens函數的等價命題，民間數學家就也可以看懂了。
但是代數的方法目前很弱，連prime number theorem都做不動。現在還沒有神奇的可以進攻error term問題的代數方法。如果RH最終證明同時用很深的代數和解析，那麼肯定是一個很漂亮的證明。
（全文完）
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