卷積（Convolution）是分析數學中一個重要的運算，很多具體實際應用中會用到這個概念，卷積的數學定義就是一個式子，背後有什麼物理背景意義呢？這裡做一個分析。
函數卷積的定義：
設:f(x),g(x)是R1上的兩個可積函數，作積分：
可以證明，關於幾乎所有的實數x，上述積分是存在的。這樣，隨著x的不同取值，這個積分就定義了一個新函數h(x)，稱為函數f與g的卷積，記為h(x)=(f*g)(x)。
容易驗證，(f *g)(x) = (g * f)(x)，並且(f * g)(x)仍為可積函數。這就是說，把卷積代替乘法，L1（R1）空間是一個代數，甚至是巴拿赫代數。
數列卷積定義：
如果卷積的變量是序列x(n)和h(n)，則卷積的結果定義：
其中星號*表示卷積。當時序n=0時，序列h(-i)是h(i)的時序i取反的結果；時序取反使得h(i)以縱軸為中心翻轉180度，所以這種相乘後求和的計算法稱為卷積和，簡稱卷積。另外，n是使h(-i)位移的量，不同的n對應不同的卷積結果。
卷積的物理意義（定義的來源思路）
如果一個信號是一組歷史信號的組合，比如a(0),a(1),a(2).a(n).，其中a(i)是i時刻信號的量值，我們要計算在某一時刻n的信號的組合量值f(n), f(n)是a(0),a(1),a(2).a(n)的組合。
如果是類似f(n)=a(0)+a(1)+a(2)+.+a(n)的簡單線性組合就好辦了，但是信號會隨著時間的變化，不斷的在衰減的，也就是說我們只知道0時刻信號量值是a(0),但不知道a(0)變化到n時刻的時候的實際值，所以不能簡單用到上面的線性組合式子。
現在假設我們知道信號的衰減規律符合統一規律函數b(n)，也就是說所有信號0時刻的衰減剩餘率都是是b(0)，1時刻的衰減剩餘率是b(1).,如果我們求n時刻的信號組合量f(n)，因為n時刻a(n)信號剛出來，它的衰減剩餘率應該為b(0)(理解一下），而 n-1時刻的信號衰減了一個時間周期了，它的衰減剩餘率是b(1).，寫成式子就是：
f(n)=a(0)b(n)+a(1)b(n-1)+a(2)b(n-2)+.+a(n)b(0)
=sigma[a(i).b(n-i)]，i 取值 from0 ton.
上面的式子，就是a(i).b(n-i)乘積形式的由來，作為數學推廣，不是一般性，可以把取值範圍推廣到負無窮到正無窮。
也就是說卷積的物理意義是一組值乘以他們相應的「權重」係數的和，以上是一個變量的數列的卷積物理意義解釋，不難推廣到一元函數的卷積意義，另外2元到多元函數都有相應的卷積定義，我們也不難想像多元函數的卷積意義。
圖像處理中的卷積舉例
在圖像識別/處理算法裡，一幅圖像可以看成一個二維函數，自變量是圖片象素的坐標（x,y)，函數值是象素的顏色（灰度）取值（0～255），有的圖像處理方法是把象素的顏色（灰度）值變換為周圍圖像顏色（灰度）值的調和（周圍象素顏色（灰度）值乘以一個權重值求和，效果會使得圖像效果變得朦朧），這個過程也符合卷積的物理意義（一組值乘以他們相應的「權重」係數的和）,所以這個處理也被稱為卷積。
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