《木蘭花慢·席上送張仲固帥興元》
【作者】辛棄疾【朝代】宋
漢中開漢業，問此地、是耶非。
想劍指三秦，君王得意，一戰東歸。
追亡事、今不見，但山川滿目淚沾衣。
落日胡塵未斷，西風塞馬空肥。
一編書是帝王師。
小試去徵西。
更草草離筵，匆匆去路，愁滿旌旗。
君思我、回首處，正江涵秋影雁初飛。
安得車輪四角，不堪帶減腰圍。
《木蘭花慢·席上送張仲固帥興元》是南宋著名詞人辛棄疾的作品。這首詞為作者送別友人而作，詞中寫的不是一般的祝賀和惜別，而是立足於國家興亡的高度，運用大量典故並採用借古諷今的藝術手法，抨擊南宋統治者偏安一隅、妥協投降的錯誤政策，抒發作者追求國家統一的愛國情懷。
上面詞中的一句「安得車輪四角」所描述的車輪運動屬於物理學中曲線運動的一種形式。在物理學中，我們把這類軌跡為圓周或一段圓弧的拋體運動稱為圓周運動。本節課開始我們就來一起學習高中物理必修第二冊《6.1 圓周運動》，下面我們先來看一段視頻：
圓周運動
同學們大都嘗試過摩天輪，人隨著摩天輪做圓周運動，摩天輪上的人可以看做一個個的質點。
這些做圓周運動物體上的質點，哪些運動得較慢?哪些運動得更快？我們應該如何比較它們運動的快慢呢？下面我們就一起來學習描述圓周運動的一些概念：
圓周運動的快慢可以用物體通過的弧長與所用時間的比值來量度。如圖所示，物體沿圓弧由M 向N 運動，某時刻t 經過A點。為了描述物體經過A點附近時運動的快慢，可以從此時刻開始，取一段很短的時間Δt，物體在這段時間內由A運動到B，通過的弧長為Δl。比值Δl/Δt 反映了物體運動的快慢，把它稱為線速度（linear velocity），用v 表示。
做圓周運動的物體，通過的弧長與所用時間的比值，叫做圓周運動的線速度。
根據定義有：
V=Δl/Δt ⑴
線速度也有平均值與瞬時值之分。如果所取的時間間隔很小很小，這樣得到的就是瞬時線速度。
注意：當Δt 足夠小時，圓弧AB幾乎成了直線，AB 弧的長度與AB 線段的長度已經沒有差別，此時，Δl 也就是物體由A到B的位移。因此，這裡的v實際上就是我們在直線運動中已經學過的瞬時速度，不過現在用來描述圓周運動的快慢而已。為了區別於下面將要學習的角速度，命名時在速度的前面加了一個「線」字。
線速度是矢量，圖中物體在A 點的線速度的方向就是AB 位移的方向，顯然，當Δt 很小時，該方向是和半徑OA 垂直的，即和圓弧相切。前面曾講到曲線運動的方向與軌跡相切，這裡的結論是與前面一致的。因此，線速度的方向沿圓周上該點的切線方向，線速度就是圓周運動的瞬時速度，線速度用來描述做圓周運動質點的運動快慢和方向。
在SI制中，線速度的單位為m/s。
思考：勻速圓周運動的線速度是恆量嗎？
勻速圓周運動：物體沿著圓周運動，並且線速度的大小處處相等，這種運動叫做勻速圓周運動。勻速圓周運動的線速度方向是在時刻變化的，因此它仍是一種變速運動，這裡的「勻速」是指速率不變，所以勻速圓周運動的線速度不是恆矢量。
1、物理意義：描述質點沿圓周運動的快慢。
2、定義：質點做圓周運動通過的弧長 Δl 和所用時間 Δt 的比值叫做線速度。
3、大小：V=Δl/Δt
4、單位：m/s
5、方向：質點在圓周某點的線速度方向沿圓周上該點的切線方向。
6、勻速圓周運動：勻速圓周運動的線速度方向是在時刻變化的，因此它是一種變速運動，這的「勻速」是指速率不變。
線速度
典型例題：如圖所示，用砂輪打磨一個金屬零件時，打磨下來的大量熾熱微粒飛離砂輪。能表示砂輪邊緣一微粒P飛離砂輪時速度方向的是（ ）
A．a B．b C．c D．d
【答案】C
【解析】做圓周運動的物體脫離圓周后做離心運動，速度方向沿圓周的切線方向；故選C。
物體做圓周運動的快慢還可以用它與圓心連線掃過角度的快慢來描述。如圖所示，物體在Δt 時間內由A 運動到B，半徑OA在這段時間內轉過的角為Δθ。它與所用時間Δt 的比值，描述了物體繞圓心轉動的快慢，這個比值稱為角速度（angular velocity），用符號ω 表示。
做圓周運動的物體，與圓心連線掃過角度的和所用時間的比值，叫做圓周運動的角速度。
根據定義有：
ω=Δθ/Δt ⑵
角速度的單位由角的單位和時間的單位決定。在國際單位制中，時間的單位是秒，而角的單位，大家自然會想到「度」，然而在國際單位制中，角的量度使用另一個單位──弧度。
如圖所示，圓心角θ 越大，它所對的圓弧的弧長l越長，二者成正比。因此可以用弧長與半徑的比值表示角的大小。例如，圖中弧長是0.12 m，半徑是0.1 m，那麼:
θ =0.12/0.1=1.2
弧長與半徑的單位都是米，在計算二者之比時要消掉。為了表達的方便，我們「給」θ一個單位：弧度（radian），用符號rad表示。這樣，上面計算得到的角θ 就是1.2弧度，記為θ＝1.2 rad。
對於周角，用角度量是360°，用弧度量是多少？
弧度不是通常意義上的單位，所以，帶單位計算時，不要把「rad」或「弧度」代到算式中。這時角速度的單位應該寫為s－1。因此，半徑為r的整個圓周長是2πr，它與半徑之比就是用弧度表示的周角為：
2πr/r=2π
即周角是2π 弧度。平角是π 弧度、直角是π/2弧度，以弧度量度角、以秒量度時間，所以在國際單位制中，角速度的單位是：弧度每秒，符號是rad/s或s－1。
在用弧度表示角時，經常出現字母π。要注意，π不是單位符號，而是一個數字：圓周率3.14……，所用的單位仍是弧度。
由於勻速圓周運動是線速度大小不變的運動，物體單位時間所通過的弧長相等，物體在單位時間所轉過的角也就相等。因此也可以說，勻速圓周運動是角速度不變的圓周運動。
1、物理意義：描述質點轉過圓心角的快慢。
2、定義：質點所在的半徑轉過圓心角Δθ和所用時間Δt的比值叫做角速度。
3、大小：ω=Δθ/Δt
4、單位：rad/s
5、說明：勻速圓周運動是角速度不變的運動。
典型例題：地球同步衛星「靜止」在赤道上空的某一點，它繞地球的運行周期與地球的自轉周期相同。設地球同步衛星運行的角速度為ω1，地球自轉的角速度為ω2，則ω1和ω2的關係是（ ）
A．ω1＞ω2 B．ω1＝ω2 C．ω1＜ω2 D．無法確定
【答案】B
【解析】地球同步衛星的周期與地球自轉的周期相同，由ω=2π/T可知，角速度相同，故B正確，ACD錯誤；故選B。
做勻速圓周運動的物體，經過一周所用的時間叫做周期（period），用T表示。周期的單位是s，周期也是描述勻速圓周運動快慢的物理量，周期長運動慢，周期短運動快。
技術中常用轉速來描述轉動物體上質點做圓周運動的快慢。轉速是指物體單位時間所轉過的圈數，常用符號n表示。轉速的單位為轉每秒，符號是示，或轉每分（r/min），r/s和r/min都不是國際單位制中的單位，運算時往往要把它們換算成弧度每秒。
在國際單位制中，n=1/T
1.物理意義：都是用來描述圓周運動轉動快慢的。圓周運動的角速度、周期及轉速總結
典型例題：在街頭的理髮店門口常可以看到這樣的標誌：一個轉動的圓筒，外表有螺旋斜條紋．我們感覺條紋在沿豎直方向運動，但實際上條紋在豎直方向並沒有升降，這是由於圓筒的轉動而使我們的眼睛產生的錯覺．如圖所示，假設圓筒上的條紋是圍繞圓筒的一條寬帶，相鄰兩圈條紋在沿圓筒軸線方向的距離（即螺距）L=10cm，圓筒半徑R=10cm，如果我們觀察到條紋向上運動的速度為0.1m/s，則從上往下看，關於圓筒的轉動方向和轉動周期說法正確的是（ ）
A．順時針轉動，周期為1s
B．順時針轉動，周期為2πs
C．逆時針轉動，周期為1s
D．逆時針轉動，周期為2πs
【答案】A
【解析】據圖知：彩色螺旋斜條紋是從左下到右上，當圓筒沿順時針方向（從俯視方向看），根據人眼的視覺暫留現象，就會感覺條紋的運動方向向上；由於螺距為10cm，每秒沿豎直方向運動的距離為10cm，所以圓筒1s內轉動1周，即周期T=1s，故A正確，BCD錯誤．
線速度和角速度都能描述圓周運動的快慢，它們之間有何關係呢?下面請同學們依據剛學過的線速度和角速度的概念和定義，推導出線速度和角速度的關係v=rω。
線速度描述了做圓周運動的物體通過弧長的快慢，角速度描述了物體與圓心連線掃過角度的快慢。它們之間有什麼關係？
如圖所示，設物體做圓周運動的半徑為r，由A運動到B的時間為Δt，AB弧長為Δl，AB弧對應的圓心角為Δθ。當Δθ 以弧度為單位時，Δθ=Δl/r，即Δl＝rΔθ
由於Δl＝vΔt，Δθ＝ωΔt，代入上式後得到
v＝rω （3）
這表明，在圓周運動中，線速度的大小等於半徑與角速度大小的乘積。一物體做半徑為r的勻速圓周運動，它運動一周所用的時間為T。它在周期T內轉過的弧長為2πr，轉過的角度為2π，所以有:
v＝2πr/T，ω=2π/T
由上面兩式，結合轉速與周期的關係有：
v＝2πr/T=rω=2πrn，ω=2π/T=2πn
1.結論：由v＝rω 知，當v一定時，ω與r成反比；當ω一定時，v與r成正比；當r一定時，v與ω成正比。
2.兩個重要的結論:
(1)傳動裝置線速度的關係
(2)同軸轉動的物體上各點的角速度關係
典型例題：自行車部分結構如圖所示，A是大齒輪邊緣上一點，B 是小齒輪邊緣上一點，C是後輪邊緣上一點。把自行車後輪支撐起來，轉動腳踏板，使後輪轉動起來，下面說法中正確的是
A．A、B 兩點的角速度相等
B．B、C兩點的線速度大小相等
C．B、C 兩點的角速度相等
D．A、C兩點的線速度大小相等
【答案】C
【解析】A．A和B皮帶傳動，鏈條上各點的線速度大小相等，因兩輪半徑不相等，則兩點的角速度不相等，故A錯誤；BC．B和C兩點同軸轉動，所以兩點的角速度相等；據v=ωr和兩點的半徑不同，所以線速度大小不同，故B錯誤，C正確；D．因為AB兩點線速度相等，而BC兩點的線速度不等，則A、C 兩點的線速度大小不相等，選項D錯誤；故選C。
習題1：如圖所示，一個小球繞圓心O做勻速圓周運動，已知圓周半徑為r，該小球運動的角速度為ω，則它運動線速度的大小為（ ）
A．ω/r B．ωr C．ω2r D．ωr2
習題2：如圖為上、下兩部分半徑不同的圓筒軸截面示意圖，質量相等的，A、B兩物體緊貼在勻速轉動的圓筒的豎直內壁上，隨圓筒一起（無相對運動）做勻速圓周運動。則下列關係中正確的是（ ）
A．線速度vA<vB
B．線速度vA<vB
C．角速度ωA<ωB
D．角速度ωA>ωB
習題3：如圖所示，b 球在水平面內做半徑為R 的勻速圓周運動，BC 為圓周運動的直徑，豎直平臺與b球運動軌跡相切於B 點且高度為R 。當b 球運動到切點B 時，將a球從切點正上方的A點水平拋出，重力加速度大小為g，從a 球水平拋出開始計時，為使b 球在運動一周的時間內與a 球相遇（a 球與水平面接觸後不反彈），則下列說法正確的是（ ）
A．a 球在C 點與b 球相遇時，a 球的運動時間最短
B．a 球在C 點與b 球相遇時，a 球的初始速度最小
C．若a 球在C 點與b 球相遇，則a 球拋出時的速率為√2gR
D．若a 球在C 點與b 球相遇，則b 球做勻速圓周運動的周期為√2g/R
習題4：質點做勻速圓周運動時( )
A．線速度越大，其轉速一定越大
B．角速度大時，其轉速一定大
C．線速度一定時，半徑越大，則周期越長
D．無論半徑大小如何，角速度越大，則質點的周期一定越長
習題5：A、B 兩個質點，分別做勻速圓周運動，在相等時間內它們通過的弧長比SA∶SB＝2∶3，轉過的圓心角比θA∶θB＝3∶2.則下列說法中正確的是( )
A．它們的線速度比vA∶vB＝2∶3
B．它們的角速度比ωA∶ωB＝2∶3
C．它們的周期比TA∶TB＝2∶3
D．它們的周期比TA∶TB＝3∶2
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