歐拉是如何破解當時的世紀數學難題（巴塞爾問題）的

巴塞爾的問題說起來很簡單。然而，它卻讓數學專家們困惑了90年。28歲的物理學教授萊昂哈德·歐拉在1734年發表了一個解決方案，引起了人們的關注。

巴塞爾問題：正整數的平方的倒數和是多少？

• 方程1：巴塞爾問題

我們可以畫出前10個部分和，似乎可以看出整數的平方的倒數和有一個收斂值。

• 圖1：巴塞爾問題的前10個部分總和。

你認為我們在加上10個部分和之後會有什麼結果？它能穿過紅色虛線嗎？這個級數的近親是調和級數。我們已經在其他地方看到了這個系列不是收斂的。

• 方程2：調和級數

巴塞爾問題的每一個後續項都小於它對應的調和級數項。部分和總是小於調和級數的和。巴塞爾級數收斂的一個證明是將它與另一個我們很容易看到收斂的級數作比較。

由上圖我們知道巴塞爾級數最多收斂於2。但它確切的收斂值是多少？這就是歐拉的天才之處！

sinx的麥克勞林展開

一種技術涉及到將一個非多項式函數轉換為無窮級數。我們從解sin x的表達式開始:

• sinx是一個無限多項式

我們要找出使這個表達式成立的係數。第一個係數很簡單。我們設x = 0就能得出。

為了求下一個係數，我們再次對x求導，在x=0處取值。

每次求導，我們都會發現另一個係數。

• 根據導數對線進行編號。0階導數是原始的未微分多項式。

偶數係數都是0。奇數係數交替符號。係數的形式是序數的階乘的倒數。

這句話被總結為：

為了解決巴塞爾問題，我們只需要X^3係數：

威爾斯特拉斯分解

歐拉的下一個工具是怪誕分解。這項技術還有待嚴格的驗證。然而，當歐拉將其應用於巴塞爾問題時，得到了令人興奮的結果。

我們可以用它的零（根）和一個比例因子來定義一個多項式函數。例如，任何一個二次方程都可以寫成：

在此，R_1和R_2是根。如果a為正，則拋物線將向上打開；如果為負，則向下。頂點的位置唯一確定。

我們對sin x做同樣的處理：

因此：

如何乘以一個無窮積？我們需要確定常數a。

現在我們利用以下極限:

然後我們計算表達式的第二部分在x=0處的值。

我們把a的每一個因子分攤到sinx的因子中

把它展開，一次加一個因子。這會得到一個只有奇指數的多項式。我們想知道x的係數。

再加入第4個因子。

快做完了：

在我們發現自己被這些術語淹沒之前，記住，我們只是在尋找X^3的係數。每次乘法，我們都加一項。你能看到下一個會是什麼嗎？

這是x的係數：

麥克勞林展開式的x^3係數為6。讓我們讓它們相等：

但歐拉不止於此。他為所有的偶數冪倒數建立了通解。你可以按照這裡描述的程序來求倒數四次方的和。至於奇數倒數，這仍然是個謎，我們還在等待有人來破解這個難題。也許你會成為那個人。