方差分析全解析：以one-way為例

作者：丁點helper

來源：丁點幫你

今天將以單向（one-way）方差分析為例，具體梳理方差分析的整個過程。

單向（one-way）方差分析，就是大家很熟悉的單因素方差分析（教科書上叫單向）, 一般也稱完全隨機設計(completely randomized design)的方差分析，是指將研究對象通過完全隨機化方法，分配至多個不同的處理組，比較多組的效應指標是否存在差別。

先看如下案例：

為了解大骨節病與糧食中微量元素硒含量之間的關係，某研究團隊調查了A（渭源縣）、B（青州市）兩個大骨節病區和C（泰山區）、D（長清區）兩個非大骨節病區。

每個病區隨機抽取20戶農戶並採集麵粉，檢測麵粉中硒元素含量(μg/kg)，試分析這4個地區麵粉中硒含量是否存在差異。具體的數據情況如下表1。

表1 四地區麵粉硒元素含量樣本數據表

我們將上述數據繪製成圖形（如下圖，每個空心小圓圈代表一個樣本值），可以很直觀地看到，這80個樣本值（20*4）各不相同，即它們存在差異。

暫時忽略其他潛在的混雜因素，這種差異的原因可能是由於它們來自不同的地區，但因為四個小組內部的數值也都一一不同，所以，差異也可能僅僅是因為隨機誤差，通俗地理解就是人們說的運氣導致的。

不過，仔細地觀察發現兩個病區的數據好像明顯要低一些，這便提示地區的不同確實有可能造成了目前的差異。

為了驗證我們的猜測，就可以採用方差分析來檢驗：病區與非病區麵粉硒含量的差異是否具有統計學意義。

這裡需要再明確一點的是，我們的目標是比較這四個地區麵粉中硒含量是否有差異，在實際操作中，我們比較的是四個地區硒含量的總體平均數，因此，只要總體平均數有差異，我們就說四地區硒含量有差異。

要進行方差分析，當然，我們首先要進行假設：這四組數據都沒有差異，注意是都沒有！

在這個假設下，我們可以把這四組數據看做是一個大組，即將上述80個數據視為一個整體。對於這個整體，我們可以計算一個平均數和標準差，即表1中72.22和20.00。

可是實際情況下，這80個數據是分屬於四個小組的，因此我們也可以分別計算這四個小組的平均數，即57.11、55.58、85.62、90.55。

如果假設成立（即四組數據都沒有差異），那麼這四個小組的平均數應該是圍繞著整體平均數（即72.22）上下波動的，互相差異應該不是很大。

但現在我們實際獲得的數據卻顯示，小組中最低的均數為57.11、最大的為90.55，直觀上看都與72.22的距離不小，所以我們就會懷疑不能把它們看做一個整體（更嚴謹的表達是，它們不是來自同一個總體），從而拒絕它們相同的假設。

順著這個思路，我們獲得下面這張表格（表2）：

表2 方差分析一般結果表

上述表格中涉及的具體的計算過程大家不需要細看，只需大概了解所謂的「離均差平方和（SS）」和「均方（MS）」的計算方法。

然後對照前面我們談到的方差的概念和計算方法，你是否會發現，不明所以的「均方（MS）」其實可以看做是一種特殊類型的「方差」！

對照下圖方差的計算公式：左邊是離均差平方和，右邊是自由度。

我們首先看衡量「組內變異」的均方（MS組內），在各個小組內部因為沒有地區差異，所以MS組內的大小大小僅反映了隨機誤差（即運氣）的情況。

而當假設四組總體均數相同時，組間均方（MS組間）的大小也僅僅反映隨機誤差的大小。

如何理解這裡的談到的「隨機誤差」呢？

對於來自同一個總體的兩個或多個樣本的差異我們可以簡單理解為隨機誤差，也就是說，雖然表面上它們不同，但這種不同並沒有意義，也不會反映額外的信息，僅僅是因為運氣導致的。

好比你和別人擲色子比大小，雖然你們獲得的點數不同，但這種不同完全是因為運氣，不能說明任何其他的問題，同時也不會出現一個人總贏、另一個總輸的局面。

但是如果對方悄悄在色子上做了點手腳，知道怎樣擲可以獲得大的點數，這個時候，你們點數的差異就不再僅僅因為運氣，還有色子的原因。

用統計學的語言來說，就是你們的差異不僅包含了隨機誤差，還包含了其他因素。所以，下次如果感覺自己總是在輸，就要看看是不是色子出現了問題。

回到本例，既然MS組間和MS組內這兩者都僅反映隨機誤差的大小，那麼其攜帶的信息量就應該沒有差異（提示：方差的大小決定了數據的信息量）。

由此，在數值上MS組間與MS組內差異不大，所以使用MS組間除以MS組內時，所獲得F值原則上應該在1附近。

如果現在我們獲得的數據計算出來的F值比1大很多（對應的P值會很小），則意味著MS組間遠大於MS組內，從而表示，MS組間攜帶了多餘的信息，因此，可以證明MS組間的差異不僅僅包含隨機誤差，還包含其他因素（比如地區不同），結合本例，即意味著四地區間麵粉硒含量不都相同！

將上述數據用SPSS運算後獲得結果如下表3。很顯然，F值超過46，遠大於1（注意，在正式情況下F值並非和1比較，這裡僅為了方便理解），其對應的P值遠小於0.05，由此拒絕零假設，差異有統計學意義，可以認為這四個地區硒含量的總體均數不全相等，也就是說至少有兩個地區總體均數不等。

表3 四地區硒含量方差分析結果表

單向方差分析僅告訴我們這四個總體均數不全相等，但具體哪幾個不等，哪幾個相等呢？這就涉及到兩兩比較了。