量子交易思維是量子點金團隊在投機市場一直推行的,現在介紹下量子科學的全息糾纏的一個推導
2006年兩位日本物理學家Ryu和Takayanagi給出了全息糾纏熵猜想,這個猜想將場論的糾纏熵計算轉化為了AdS時空中極小曲面的計算,
這個極小曲面和邊界上要計算糾纏熵的區域是同倫的。
這個神奇的猜想不僅能夠作為一個漂亮簡單的方法計算具有很強耦合的場論的糾纏熵,而且能夠有更多的預言。因此激發了後續十年的廣泛研究,關於這個公式成立的證據有很多,比如在2D CFT下極小曲面變成測地線,測地線長度給出的值和Cardy等人用replica trick計算的結果相同 。但是關於這個猜想的證明卻相對比較困難,其根源來自於對偶的場論那邊的結果是強耦合的,很難有辦法直接在場論那邊計算這個熵和AdS時空中的結果進行對比。
本文擬介紹Myers等人關於球形區域的全息糾纏熵公式的推導。 這個工作對於特殊的一類糾纏面(球形區域)給出了RT公式的證明。同時這個方法也很具有啟發性。
平直時空上的球形區域
,
考慮 半徑為R的球。做如下坐標變換
.
代入發現度規是共形於 (記作 ) 的。
所以存在一個么正變換把 上的一個真空態求跡掉球區域外面之後得到的密度矩陣 映射到雙曲面的熱態密度矩陣
因為么正變換不改變熵 的值, 因此一個球形區域的糾纏熵的計算轉化為了計算一個雙曲面上的熱熵,如果定義在這個雙曲面上的場論是一個全息的CFT的話,那麼根據AdS/CFT對偶它會變成計算一個黑洞熵,由Wald公式給出
可以計算得到
轉換到AdS空間中的具體討論如下:
帶有如下約束
可以得到AdS空間,取不同的坐標參數化y, 可以得到不同的度規形式,
比如取龐加萊坐標的時候,
此時邊界是平直的。
雙曲坐標下的結果為
此時邊界是雙曲面的,時空度規具有一個視界 ,可以看作是一個黑洞解。這個曲面上CFT的熵等於黑洞熵。
對於平直邊界的球形區域
poincare坐標和雙曲坐標之間有如下的變換關係
可以看出視界 處的雙曲面和平面交在
的時候交於邊界是一個半徑為L的圓。
可以做一些isometry(等度規)變換,發現如下事實,對於下圖,在龐加萊坐標下
圓B的極小曲面
和用雙曲坐標的視界是一個面,都是半圓
圖片來自:1312.7856
之前wald熵的表達式在視界處的積分,就是在極小曲面 上的積分,當引力理論是愛因斯坦理論的時候,自然的就退化到極小曲面的面積,得到了RT公式。同時也得到了高階導數引力時,對於球形區域的糾纏熵的表達式,對於其他形狀的區域,糾纏熵還會有外曲率項的修正,最終一般的表達式是由董希給出的。
在hyperbolic的曲面上積分會帶來發散,即由於雙曲面體積無窮大帶來的IR發散對應於球面附近糾纏的UV發散
需要做正規化 ,
代入計算黑洞Wald熵的表達式得到糾纏熵的Leading階的面積律。其中 代表中心荷,表示CFT的自由度的數目,在偶數維CFT中,
表示共形反常的A因子。
投機市場/量子點金