在所有古希臘先賢的學說中，荒誕色彩最強的也許要屬公元前5世紀的哲學家巴門尼德（Parmenides）的學說。巴門尼德認為所有基於「普遍的原始質料」的學說有一個共同缺陷，那就是既宣稱世界由「普遍的原始質料」組成，又允許存在不包含「普遍的原始質料」的真空。為解決這一缺陷，巴門尼德主張真空不存在，整個世界乃是一個實體性的「一」，這個「一」均勻、永恆、不可分割，並且是球形的（球形之外是什麼就語焉不詳了）。由此得出的一個直接推論是：運動是不存在的。巴門尼德的上述主張及推論是如此荒誕，公元前4世紀的哲學家第歐根尼（Diogenes）乾脆用走路來反駁——因為走路分明是一種運動。
不過，巴門尼德「料敵」在先，「一不做二不休」地宣稱了如果他的理論有悖於感覺，那只不過說明感覺是虛幻的。讀到這裡，大家也許會覺得巴門尼德的學說不僅荒誕，而且詭辯，甚至還有些無賴。不過，可別小看這種學說，託年代久遠的福，巴門尼德這種以相當極端的方式重思辨輕實證的學說也算開啟了一個流派，這一流派對若干重要的哲學家產生過程度不等的影響，並經由他們影響了後世。
從科學史的角度講，受巴門尼德影響至深的哲學家首推他的弟子芝諾（Zeno）——也稱為埃利亞的芝諾（Zeno of Elea），以區別於另幾位同名的古代哲學家；其次是古希臘的原子論者。不過後者只在某些方面受巴門尼德影響，主旨則相當不同。本文要介紹的是芝諾。
手指真理與謬誤大門的芝諾
芝諾被柏拉圖（Plato）筆下的蘇格拉底（Socrates）揶揄為巴門尼德第二，他最為後世所知的是一系列悖論（也叫做佯謬）。悖論一詞的英文paradox出現於16世紀，源自拉丁文的paradoxum，後者又源自希臘文的παράδοξος，意為有悖於正統、出乎定見之外等。悖論長期以來就很受哲學家青睞，將年代久遠和影響深遠綜合起來評定的話，芝諾大約可算是悖論第一人。悖論由於要「有悖於正統」或「出乎定見之外」，故免不了包含觀點之辨——包括詭辯。這跟單純闡述學說是有差別的，這種差別使芝諾被很多人視為辯證法的鼻祖。從這個角度講，後來的蘇格拉底、柏拉圖，乃至中國讀者特別熟悉的卡爾·馬克思（Karl Marx）、弗裡德裡希·恩格斯（Friedrich Engels）等人都是程度不等的「追隨者」。
據公元4世紀的希臘哲學家普羅克洛（Proclus）記述，芝諾的著作包含了40個悖論。可惜其著作早已不存，後世依據的只是柏拉圖、亞里斯多德（Aristotle）等人的轉述。
在芝諾的悖論中，有些已失傳，有些早已無悖可論，卻也有少數幾個時至今日仍引起很多人的興趣，甚至仍是哲學家的研究課題，二分悖論和飛矢悖論就是著名的例子——並且都是意在支持巴門尼德關於運動不存在的論斷。
芝諾的悖論 圖/克姆 ·凱萊赫/TED-Ed
其中二分悖論是這樣的：如果你想從一個點A運動到另一個點B，就必須首先經過運動路徑的中點C1，然而想運動到C1，又必須首先經過從A到C1的運動路徑的中點C2……如此以至無窮。由於中點的數目不可窮盡，因而無論給你多少時間，也不可能走完這些中點，由此可見，運動是不可能的。
二分悖論有一個著名的變種叫做阿基裡斯與烏龜悖論。該悖論中的阿基裡斯（Achilles）是希臘神話中的勇士，體力過人、長於奔跑，烏龜則是被廣泛視為移動緩慢的動物。阿基裡斯與烏龜悖論宣稱，如果阿基裡斯與烏龜賽跑，只要讓烏龜先爬一段路，阿基裡斯就不可能追上。理由是：每當阿基裡斯追到烏龜先前所在的位置時，烏龜總是又往前爬了一段……這個過程無法窮盡，故而阿基裡斯不可能追上烏龜。
阿基裡斯和烏龜悖論
今天所有學過高等數學的讀者也許都能看出二分悖論的誤區，那就是將一個無窮級數的項數無窮與結果無窮混為一談了。在適當的單位下，二分悖論所涉及的無窮級數是1/2＋1/4＋…，項數是無窮的，結果卻並不因項數無窮就成為無窮，而僅僅是1，是有限的。因此無論是那無窮多個中點，還是兩兩之間那無窮多段路徑，都能在有限時間內走完。
當然，二分悖論並不是等到高等數學出現之後才被反駁的。在歷史上，亞里斯多德在《物理學》一書中就給出了一個很漂亮的反駁，要點是指出芝諾只對空間進行了無窮分割，卻忘記了同樣的手法也可用於時間。只要對時間和空間作同樣的無窮分割，走完芝諾分割出的無窮多個中點（或兩兩之間的無窮多段路徑）就只需有限的時間，因為那實際上是從用有限時間中分割出的無窮多個時間點（或兩兩之間的無窮多段時間）來完成的。亞里斯多德還指出，無論對空間、時間還是其他連續之物，我們談論它們的「無窮」時必須區分兩種含義：一種是分割意義上的無窮，一種是延伸意義上的無窮，芝諾混淆了兩者故而得出了錯誤結論。亞里斯多德的這一表述跟我們通過無窮級數表述的看法有異曲同工之處，「分割意義上的無窮」相當於項數無窮，「延伸意義上的無窮」相當於結果無窮，將兩者混為一談正是二分悖論的誤區。只不過亞里斯多德用的是芝諾自己的手法，可謂「以子之矛，攻子之盾」或曰「以毒攻毒」，是論辯的高招。
用幾何來破解二分悖論也是很直觀的方法 圖/克姆 ·凱萊赫/TED-Ed
芝諾的飛矢悖論則是這樣的：一個飛矢（或任何號稱運動的物體）在每個時刻都佔據一個完全固定且與自身等大的位置，因而是不動的。由於時間是由時刻組成的，既然飛矢（或任何號稱運動的物體）在每個時刻都不動，就只能被認為是不動的，故而運動是不可能的。
飛矢悖論讓我想起美國物理學家理察·費曼（Richard Feynman）在《費曼物理學講義》中關於速度的一段討論。在那段有趣的討論中，費曼也分析了一些有關速度的詭辯——當然結論跟芝諾完全不同。通過分析，費曼給出了速度的定義，即速度是同時趨於零的位置變化與時間間隔之比的極限。這也正是速度的現代定義，要點是讓時間間隔趨於零。與現代定義不同，飛矢悖論相當於將時間間隔變為零（即所謂「時刻」），相應的位置變化也就不再是趨於零而直接變為了零，位置變化與時間間隔之比則成了數學上無定義的0/0。不僅如此，芝諾還從0/0中反推出速度為0，相當於宣稱了0/0＝0，語義上雖可惑人，在數學上則是沒有依據的（這也體現了日常語言在科學分析中的缺陷）。
讀者也許好奇，亞里斯多德對飛矢悖論有什麼看法。他的看法簡括起來乃是：談論物體的運動或靜止，需要依據其在某個時刻的位置與前一時刻的位置的比較而定，像芝諾那樣只考慮一個時刻，是無法談論物體的運動或靜止的。這個看法跟速度的現代定義是相當接近的。另外，順便提一下，英國哲學家伯特蘭·羅素（Bertrand Russell）在《數學的原理》一書中對飛矢悖論也有過剖析，那就是指出了飛矢在每個時刻都不動無非是一個變量所取的每個數值都是常數這一簡單事實的翻版。用前者否定運動就如同用後者否定變量的取值可變，是站不住腳的。
這支箭在動嗎？
雖然同屬古希臘的亞里斯多德就已對芝諾的悖論做出過相當一針見血的分析或反駁，但跟那個時代其他很多如今看來幼稚的學說相比，芝諾的悖論顯然有著強得多的生命力，時至今日，仍不僅能將普通人繞進去，甚至能讓哲學家陷入爭論。從數學的角度看，上面這兩種芝諾的悖論實際上是對涉及無窮的種種精微之處的早期困惑。從這種困惑中，芝諾還提出過對無窮大的否定，理由是——據後人記述——「事物必須與自身一樣多，不能更多也不能更少」，而無窮大不與自身一樣多，因此該被否定。什麼叫做無窮大不與自身一樣多？一種很可能的猜測是，芝諾注意到了無窮集合的一個特點，那就是無窮集合可以與自身的某些真子集一一對應。
從這些方面看，芝諾可謂是最早對無窮這一概念進行深入思考的古希臘先賢，芝諾的悖論絕非幼稚之論，甚至也並非普通的詭辯，而是一段漫長探索的起點。為無窮這一概念建立可靠基礎後來成了數學家和邏輯學家長期努力的目標。德國數學家大衛·希爾伯特（David Hilbert）在與保羅·伯奈斯（Paul Bernays）合著的《數學基礎》一書中曾經表示，從數學上講，能否真正解決芝諾的悖論，關鍵是能否給出一個關於連續統的自洽的數學理論。這就把芝諾的悖論當做了那時正處於熱議中的數學基礎研究的重要組成部分（「連續統」指的是實數集，是數學基礎研究的重要對象）。
最後，讓我們用英國哲學家阿爾弗雷德·懷特海（Alfred Whitehead）的話來為芝諾的悖論蓋棺論定。懷特海曾經表示，雖然所有人都不認同芝諾的結論，但「每個世紀都認為他值得反駁」，這就非常了得，因為「文字能被每個世紀所反駁乃是成就之巔峰」。
本文發表於《科學世界》2018年9期