」明月如霜，好風如水，清景無限 「
好了，開始新的專題了。帶大家儘量的把自控這門課給串一遍。
好了，知道了這個大框架後，咋們先來講講時域，有些基本功需要提前說一下，方框圖和信號流圖的（想一下信號流圖中的圈對應方框圖的什麼）轉換和梅遜公式。然後是開環增益指的是開環傳遞函數G(S)在尾1標準型下的K。（尾1即化為括號相乘時，括號內常數項為1），與之相對的根軌跡增益是首1標準型。（根軌跡增益時域不提）除此之外是理解開環和閉環，主要區別是有無反饋，把開環傳函記為G(S)，閉環傳函記為Φ（S）（傳遞函數的定義是系統輸出拉氏變換與輸入拉氏變換之比）。最後則是拉氏變換的掌握，自己好好的把拉式變換理解一下。
壹
<ps.其實還有很多的準備知識，但是文遠默認你是稍微聽過自控課，有一些印象>
首先是一階慣性系統。G(S)=1/(TS+1)
相當清晰，ts=3T，δ%=0，tp=∞。（可以自行回憶一下這三個公式和圖像的定義）咋們可以從兩個思路走，即有圖的情況下，直接觀察出峰值的時間，超調的大小，到達0.95*c(∞)的時間。而另一個思路則更客觀準確，數學上，求導得到最大值時的tp,順便對應求出c(tp)，根據公式
而最後的ts,則反解下列方程，再按照定義處理。
但對於一階系統，直接記結論他不香嗎？
好了，講一階當然是為了二階偷懶啊。看你舉一反三了。（只要你思路夠清晰，拉式變換不錯（其實是反拉式變換），那麼說到底只是多了兩個參數，）你是不是覺得你行了呢？
當然你可以看看課本P66頁的推導，如果你課本和文遠不一樣，而你又不能推導這機械但冗長的步驟，那就看看文遠很久以前的步驟吧（強烈建議別看，當時寫太醜了，最近的推導紙找不到了）
到了這一步，又要幹嘛呢？當然是得到響應圖像。
好了，在了解了二階系統時域下輸出的方程的情況下，來討論一下穩定性，動態/暫態性能和穩態性能）
貳
讓我們來捋一捋啥是系統穩定，很好理解，系統有外來幹擾了，響應有所偏離，幹擾沒了，系統能自動的回到原來的平衡狀態。那麼如何用公式描述這句話。最經典的模擬擾動信號當然是脈衝信號。
這是任意的線性定常系統的（閉環）傳遞函數：
而在脈衝響應下，輸出響應的反拉氏變換的結果如下：
其中的極點P影響的是模態: e^(-p*t)
如果我們想要g(t)-->0,因為後半部分在t-->∞已經為零，（我們的ζ一般大於等於0）。那麼當所有的p>0時，（自己注意一下系統極點應該是-p）,輸出響應g(∞)-->0是必然的。也就是說：閉環傳遞函數的極點或者說是特徵方程的解全部在複平面的左半平面時，系統穩定。
當然高階系統的主導極點分析就跳過了，不實用，因為用頻域分析更方便。
叄
最常考的三個，峰值時間超調量，調節時間。
如果你記得特徵根：
那麼，
如果你這樣記憶，那麼就好辦了。你還需要了解（閉環極點位置和ζ,Wn,tp,Mp,ts的關係）如果可能，也分析一下閉環零點和這五個的關係：
極點p原為第二象限點。（不移出第二象限，保持欠阻尼）
極點左移，ζ增大，Wn未知，tp不變，Mp減小(與角度β正相關 )，ts減小。
極點右移，ζ減小，Wn未知，tp不變，Mp增大(與角度β正相關 )，ts增大。
極點上移，ζ減小，Wn增大，tp減小，Mp增大(與角度β正相關 )，ts不變（按照估算公式是不變的）。
極點下移，ζ增大，Wn減小，tp增大，Mp減小(與角度β正相關 )，ts不變（按照估算公式是不變的）。
極點左上移（正好反方向沿長過原點），ζ不變，Wn增大，tp減小，Mp不變(與角度β正相關 )，ts減小。
關於零點的讀者自行研究。來一個題：
除此之外，你可能不需要記其他阻尼下的公式，但你得把其他阻尼的圖形與之對應，咱們先弄清五種阻尼對應的極點位置（根據原始根的解法）：
過阻尼，ζ>1。即兩根無虛部，都在負實軸上。
臨界阻尼阻尼，ζ=1。即兩根重合，在負實軸上為-Wn。最終穩定，和過阻尼一樣無超調。
欠阻尼，0<ζ<1。即兩根為共軛復根，且Re<0,有超調，最終穩定。
零阻尼， ζ=0。即兩根為純虛數。對應下圖的響應，是很特殊的等幅振蕩。
負阻尼，ζ<0。你觀察上式中的開方部分就發現，有些複雜，但毫無疑問，因為-ζWn>0,那麼系統有正極點，系統不穩定。
肆
穩態分析。肯定是分析誤差的。但是誤差分為穩態誤差和動態誤差。
然而有個很重要的東西！！！！！！！！！！！！！！！
當系統不穩定時，研究系統誤差沒有意義，系統是否穩定和系統誤差大小沒有半毛錢關係。
先來一個一般性的系統。
很明顯，穩態誤差分兩部分，根據線性系統可疊加，那麼用梅遜公式會有兩部分（正常輸入R(S)的誤差加上擾動N(S)的誤差）
我們先給一個一般方法：
除此之外，給定誤差係數法也很好用，但其實本身來自上面的一般方法：
先研究一般性的（開環）傳遞函數
三個靜態誤差係數就不介紹了，比較簡單。
直接給對應的表格：
總結下來，靜態誤差係數受影響於：
當然還有動態誤差，篇幅原因文遠只能隨便提一嘴。其實就是把誤差的時域表達式求出來，具體做法是，把誤差傳遞函數Φe(S)泰勒公式展開，直接求出E(S),反拉式變換後得到e(t)。因此任意時刻的誤差都能求出。
伍
最後是時域校正和一些題目。
時域校正的樣子：
二階系統校正具體如何呢：
盧老師總結的特點：
最後本章附上時域的習題：
要答案可以私聊文遠。
喜歡的話記得給公眾號星標啊，接下來還有復域，頻域，非線性，甚至還有現控。盡請期待。公眾號回復自控即可，或者點擊原文。
END
作者：不愛跑馬的影迷不是好程序猿
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壹句： 月寒日暖，來煎人壽