北京市十一學校數學建模協會，[遇見] 授權轉發
問題背景
在18世紀的法國，有一位博物學家、數學家，叫布豐。
咱們的小學課文《松鼠》便出自他筆下；他還寫了巨著《自然史》……但是咱們今天要說的，是他提出的一個數學問題——「布豐投針問題」。
布豐投針問題：設我們有一個以平行且等距木紋鋪成的地板，隨意拋一支長度比木紋之間距離小的針，求針和其中一條木紋相交的概率。
布豐以此概率提出了計算圓周率的新方法：隨機投針法。
不知道你現在的心情是不是這樣：
反正我是。
隨便往地板上扔針，竟然能算出圓周率？？？這兩件事，有一點點的關係麼？……
顯然，這東西是能被嚴謹證明的（要不然，我為啥拿出來發公眾號）。證明過程請看下文——
數學原理
方法一
在上圖中，如果點代表針的中點，直線是平行線中的一條的話，針所有可能的位置（無論相交與不相交）便組成了下圖這個圓。其中，針與平行線相交的所有位置組成的圖形就是陰影部分。
兩側完全對稱，因此只取半圓考慮即可。
針所有可能的位置是不隨針中點與平行線距離的改變而改變的。因此，當考慮 y 的變化時，針所有可能的位置情況組成一個底為 S1，高為 d/2 的半圓柱。
針與平行線相交的所有可能位置隨y變化而變化，因而組成如下圖形。
取 V2 的一塊微元（體積的微分）：
如果你看完之後是這個情況：
先別走，考慮看看方法二吧，它比方法一簡單那麼一點點。
方法二
為了方便分析，取平面內一個結構單位，該結構單位由某條平行線的某部分和一根針組成。
如圖，由於y可以取0到d/2的任何數，因此針中點的所有可能性（所有y）構成長為d/2的線段。隨著θ的變化，該可能性並不會變化，因此所有可能性形成面積為的粉色矩形。易得：
當針中點的位置滿足其與平行線相交時，其可能的值為小於等於l/2sinθ 的所有值。隨著θ的變化，該可能性變化，因此所有可能性形成面積為S2的藍色圖形。
計算機模擬實驗
經過一大串證明後，咱們就來自己投針試試。
為此，我編了個Python程序，可以模擬隨機投針的過程，還能生成圖像！（感謝信息技術考學讓我學會用turtle模塊畫圖……）
於是，我先做了6次扔100根針的實驗。針的長度為40，平行線間距為50。即在這個實驗中，l=40，n=100，d=50。結果如下：（π的計算精度取小數點後兩位）
啊這……好像並不是很準。這是由於只有100根針，隨機總量不夠大。
並且話說回來，計算機這麼厲害的工具，只讓它模擬100根針顯然屈才。因此，我打算好好壓榨利用它，讓它進行了500次扔一百萬根針的模擬。
100萬根針不方便生成圖像，列舉數據也是既麻煩又不直觀的，所以我把輸出的值做了個散點圖：
可見結果與 π 已經相當接近了。
總結
該方法之所以可以估算π值，是因為進行了轉化、變換得到的等式中帶有π。
例如，方法二中π的來自於 S1，更本質地說，是來自於針與平行線夾角的積分上限（範圍）。實際上這個 π 是從角度中得到。
由這個思路，我們或許可以想出更多估算值的方法——構造等量關係，並使等量關係中帶有 π。而構造出的一個很好的思路便是使角度成為一個決定性的量。