素數，又稱「質數」，是在大於1的整數中只能被1和其自身整除的數（如2、3、5、7、11等）。2300年前，古希臘數學家歐幾裡德就已證明素數有無窮多個，並提出一些素教可寫成
「
」的形式。這種特殊形式的素數具有獨特的性質和無窮的魅力，千百年來一直吸引著眾多的數學家包括數學大師費馬、笛卡爾、菜布尼茲、哥德巴赫、歐拉、高斯、哈代、圖靈等。
2300多年來，人類僅發現50個梅森素數，由於這種素數珍奇而迷人，被人們譽為「數海明珠」。
本文要為大家介紹的，是由一位名叫派屈克·羅什的美國人成功發現的最新的梅森素數——第51個梅森素數，即2的82589933次方減1。該素數有24862048位，是迄今為止人類發現的最大素數。如果用普通字號將它列印下來，其長度或超過100千米！
梅森素數的神秘誕生
1588年9月8日，梅森出生在法國奧譯的一個工人家庭，16歲時進入耶穌會辦的學校學習，1609年從巴黎的索邦神學院畢業後任神職人員，1619年到拉農西亞德女修道院教授神學和哲學。梅森有很高的科學素養，其研究涉及聲學、光學、力學、航海學和數學等多個學科，並有「聲學之父」的美稱。
為了紀念他，1897年在瑞士蘇黎世舉行的首屆國際數學家大會就將「2^p -1」型的素數稱為「梅森素數」，並以M記之（其中M為梅森姓氏的首字母，指數P也是素數），如果Mp為素數，則稱之為「梅森素數」。
17世紀法國著名數學家梅森曾對「2」-1」型素數做過較為系統而深入的探究。幹百年來，神秘的素數吸引著許許多多數學家的濃厚興趣。梅森素數貌似簡單，但當指數P值較大時，其探究難度就會很大。
1640年6月，法國的費馬在給梅森的一封信中寫道：「在艱深的數論研究中，我發現了3個非常重要的性質。我自信它們將成為今後解決素數問題的基礎。」這封信討論了2」-1的數。數2」-1最早出現在歐幾裡得《幾何原本》第九章命題6中。梅森以此作為基礎，花4年時間研究、檢驗了直至227-1的全部數。梅森推測：「一個人，使用一般的驗證方法，要檢驗一個15位或20位的數字是否為素數，即使終生的時間也是不夠的！」是啊，枯燥、冗長、單調、刻板的運算會耗盡一個人的畢生精力，誰願讓生命的風帆永遠在黑暗中顛簸！
素數抽象也具體。打開汽車變速箱，就能看到素數。互相咬合的大小齒輪，齒數被設計成互質的，多樣化咬合齒的搭配，避免磨損。生物的生命周期也往往是素數，這樣與天敵重合的概率最小。素數，正因難以捉摸，豐富了整個世界。
梅森素數的搜索歷程
在「手算筆錄」年代，人們歷盡艱辛，僅找到12個梅森素數。電子計算機的出現，大大加快了探究梅森素數的步伐。1952年美國數學家拉斐爾·魯濱遜等人將著名的盧卡斯-雷默方法編譯成電腦程式，使用SWAC型計算機在5個月之內，就找到了5個梅森素數：M521，M607，M1279,M2203和M2281，
法國數學家盧卡斯 (Edouard Lucas,1842-1891)
美國數學家雷默(Derrick Henry Lehmer,1905-1991)
探究梅森素數不僅極富挑戰性，而且對探究者來說有一種巨大的自豪感。1963年6月2日晚上8點，當第23個梅森素數M11213通過大型計算機被找到時，美國廣播公司中斷了正常的節目播放，在第一時間發布了這一重要消息。
此後，數學家們利用各種最新計算機產品，不知疲倦地在巨大的天文數字運算中，繼續尋覓梅森素數。截至1992年，數學家從1644-1992年的348年中，共找到梅森素數32個，平均每10年發現一個，綜觀數學歷史，其中利用計算機找到了20個，歷時40年，比手工花時308年找到12個，多麼神速！
為了激勵人們尋找梅森素數和促進網格技術發展，總部設在美國的電子新領域基金會（EFF）於1999年設立了專項獎金懸賞參與GIMPS項目（1996年初，美國數學家、程序設計師喬治·沃特曼編制了一個梅森素數計算程序，並把它放在網頁上供全球數學家和業餘數學愛好者免費使用，這就是舉世聞名的GIMPS項目）的梅森素數發現者。它規定，向第一個找到超過100萬位數的個人或機構頒發5萬美元獎金。後面的獎金依次為：超過1000萬位數，10萬美元；超過1億位數，15萬美元；超過10億位數，
25萬美元。不過，絕大多數人參與該項目並不是為了金錢，而是出於好奇心、求知慾和榮譽感。
目前，科學家最新發現的素數是第51個梅森素數，它由美國人派屈克·羅什在GIMPS項目中發現。那麼，梅森素數是否有無窮多個？數學家與計算機專家正在奮進不息地工作，去發現新的最大的梅森素數，去攻克這一古老難題。
「大素數的應用，主要是網絡密碼。」中科院數學與系統科學院研究員賈朝華說，上網都要用大素數為基礎的RSA等密碼算法。
RSA利用素數，創建「內外有別的密碼本」。好比你發電報，用電報局的公開密碼本A，翻譯內容並發送，接受者則用私有的B密碼本解密。B與A對應，但知道A卻推不出B。賈朝華說，密碼本「不對稱性」的根源是：乘法簡單，因式分解費勁，因式分解一個大數，尤其難。上千個二進位位數的RSA密碼，沒法用計算蠻力破解。「找到大素數，就可用於RSA密碼。」下次網購支付時，記得感謝藏在密碼裡拆解不開的素數。
另外，大素數還被用來考驗計算機。intel檢驗晶片就使用GIMPS的程序；SKYLAKE晶片曾由此發現BUG。
梅森素數的遠景展望
為什麼要尋找梅森素數？作為人類智慧的結晶，梅森素數的定義簡單，卻又如此神秘莫測。解決梅森素數猜想的過程中，可能誕生新學科、新數學思想方法；同時，驗證梅森素數的工作，標誌著一個國家計算機的發展及其功能的先進性。歸根到底，攻克世界難題，是人類智慧的較量。尋找梅森素數，推動了「數學皇后」—數論的研究，促進了計算技術、密碼技術、網格技術、程序設計技術的發展。由於梅森素數的探究需要多種學科和技術的支持。許多科學家認為，梅森素數的研究成果，在一定程度上反映了一個國家的科技水平。英國頂尖科學家馬科斯·索託伊甚至認為梅森素數的研究進展標誌著科學發展的裡程碑。
梅森素數的分布極不規則，在長期的摸索中，數學家也提出了一些猜想。英國數學家香克斯、美國數學家吉裡斯、法國數學家託洛塔和德國數學家伯利哈特曾分別給出過關於梅森素數分布的猜測，但他們的猜測有一個共同點，以近似表達式給出，而與實際情況的接近程度均未盡如人意。
我國數學家和語言學家周海中是這方面研究的領先者。他運用聯繫觀察法和不完全歸納法，於1992年2月首次給出了梅森素數分布的精確表達式，為人們尋找這一素數提供了方便。後來，這一重要成果被國際上命名為「周氏猜測」。國際著名科普雜誌《科學美國人》（中文版）
2000年第6期刊登了《梅森素數：數學寶庫中的明珠》一文提到了周海中創立的「周氏猜測」。同時，雜誌上有一篇評論文章指出，這是梅森素數研究中的一項重大突破。美籍挪威數論大師、菲爾茨獎和沃爾夫獎得主阿特勒·塞爾伯格認為：「周氏猜測具有創新性，開創了富於啟發性的新方法，其創新性還表現在揭示新的規律上。」
愛因斯坦曾說：「提出一個問題往往比解決一個問題更為重要，因為解決一個問題也許只是一個數學上或實驗上的技巧問題。而提出新的問題、新的可能 性，從新的角度看舊問題，卻需要創造性的想像力，而且標誌著科學的真正進步。」周氏猜測的提出已有近20年，目前人們需要做的是破解這一難題。
梅森素數的搜索與發現可以極大地推動密碼學的研究與發展。梅森素數的搜索是發現最大素數的最有效的途徑，如由蘋果公司著名科學家克蘭多爾所發明的「快速橢圓加密系統」，就將梅森素數應用於快速加密和解密信息。梅森素數的搜索，促進了分布式計算與程序設計藝術的發展。迄今，梅森素數的搜索不僅僅需要設計良好的分布式體系結構，還需要不斷改進的數值計算方法和巧妙的算法設計。
可見，人類在不斷地挑戰和創造新紀錄的過程中可以不斷地認識自我，而梅森素數的搜索正好是對人類智力、意志極限的一種挑戰，這種挑戰可以體現人們的探索精神和拼搏精神。另外，由於搜索和研究梅森素數需要多種學科的支持，也由於發現新的梅森素數所引起的國際影響，使得對梅森素數的研究能力已在某種意義上標誌著一個國家的科技水平。從各國各種傳媒（不僅僅是學術刊物）爭相報導新的梅森素數的發現，我們也可以清楚地看到這一點。
梅森素數這塊璀璨的數學瑰寶將以其獨特的魅力，吸引更多的有志者去尋找和研究。對真理的自信追求，有必要指出的是：梅森素數是否有無窮多個？這是目前尚未解決的著名數學謎題；而揭開這一未解之謎，正是科學追求的目標。讓我們以數學大師希爾伯特的名言來結束本文：「我們必須知道，我們必將知道。」尋找梅森素數的大道，必定會越走越輝煌！