【題頭】
第一宇宙速度和第二宇宙速度應如何推導？第二宇宙速度的推導是否超綱？
【例題】
如圖所示，在1687年出版的《自然哲學的數學原理》中，牛頓設想：把物體從高山上水平拋出，速度一次比一次大，落地點也就一次比一次遠；拋出速度足夠大時，物體就不會落回地面，成為人造地球衛星。已知地球質量M為5.98×1024kg，地球半徑R為6400km，地球表面的重力加速度g取9.8m/s2，萬有引力常量G=6.67x10-11 N·m2 /kg2 。求：
（1）物體不落回地面的最小發射速度v1為多大？
（2）若取無窮遠處為引力勢能的零點，則地球上的物體所具有的引力勢能為： 。若使物體脫離地球的束縛，所需的最小發射速度v2為多大？
【解析】
設物體質量為m。高山高度遠小於地球半徑，可忽略不計。
（1）
（2）要使物體克服地球引力的束縛，即物體能夠到達無窮遠處，且到達無窮遠處時動能和勢能均為0。
【品析】
該題取材於高中物理新教材《必修2》第59頁宇宙速度的引入問題。該問題情境具有啟發性，建立了平拋運動和圓周運動的聯繫，看問題的視角從同學們熟悉的宏觀過渡到較為陌生的宇觀。第（1）問為地球第一宇宙速度的推導，「方法一」是從宏觀視角尋找圓周運動向心力的來源——重力。「方法二」是從宇觀視角尋找圓周運動向心力的來源——萬有引力，然後通過牛頓第二定律進行求解。第（2）問為第二宇宙速度的推導，雖然教材對該推導不做要求，但從能力角度看，由能量守恆定律推導第二宇宙速度並沒有超綱。新教材第64頁「科學漫步」著重介紹了「黑洞」，黑洞半徑的計算也離不開第二宇宙速度的推導，因此，同學們對第二宇宙速度的推導也應加以重視。
【拓展】
2016年2月11日，美國「雷射幹涉引力波天文臺」（LIGO）團隊向全世界宣布發現了引力波，這個引力波來自於距離地球13億光年之外一個雙黑洞系統的合併。已知光在真空中傳播的速度為c，萬有引力常量為G。黑洞密度極大，質量極大，半徑很小，以最快速度傳播的光都不能逃離它的引力，因此我們無法通過光學觀測直接確定黑洞的存在。假定黑洞為一個質量分布均勻的球形天體。
嚴格解決黑洞問題需要利用廣義相對論的知識，但早在相對論提出之前就有人利用牛頓力學體系預言過黑洞的存在。我們知道，在牛頓體系中，當兩個質量分別為m1、m2的質點相距為r時也會具有勢能，稱之為引力勢能，其大小為 （規定無窮遠處勢能為零）。請你利用所學知識，推測質量為M′的黑洞，之所以能夠成為「黑」洞，其半徑R最大不能超過多少？
【解析】
審核：張春麗、石亞璞
編輯：臧晗