專欄丨概率分布圖​解析(二)

首先我們從二項分布講起，然後再逐一對其他分布進行解析。

二項分布

二項分布就是重複n次獨立的伯努利試驗。在每次試驗中只有兩種可能的結果，而且兩種結果發生與否互相對立，並且相互獨立，與其它各次試驗結果無關，事件發生與否的概率在每一次獨立試驗中都保持不變，則這一系列試驗總稱為n重伯努利實驗，當試驗次數為1時，二項分布服從0-1分布。

如果隨機變量Ｘ服從二項分布，記為：

恆有

用X ∼ binomial(n, p)表示隨機變量X具有帶正整數參數n和實參p滿足0 < p < 1的二項分布。隨機變量X∼二項式(氮、磷)概率質量函數概率質量函數為：

這裡我們解釋一下什麼是概率質量函數：

在概率論中，概率質量函數 (Probability Mass Function，PMF)是離散隨機變量在各特定取值上的概率。概率質量函數和概率密度函數不同之處在於：概率密度函數是對連續隨機變量定義的，本身不是概率，只有對連續隨機變量的取值進行積分後才是概率。

上面公式的含義為在隨機變量X的映射函數下，所有樣本空間中的結果在此映射下輸出結果為x的概率。

屬性如下：

二項分布的適用條件

1、每次實驗只會出現兩種對立的可能結果之一（結果對立）

2、每次實驗出現某種結果的概率固定不變，即每次實驗條件不變（概率固定）

3、每次實驗相互獨立（相互獨立）

二項分布的特徵

取決於兩個參數（n，p)

n = 30，p = 1/6

n = 30，p = 1/2

n = 30，p = 5/6 

二項分布的正態近似性條件

1、n較大p不接近0也不接近1時( np和n(1-p)均≥5)

2、X ∼ binomial(n, p)近似正態分布N ( np, np(1- p) )

3、可利用正態分布原理解決二項分布的問題

X的累積分布函數：

X的殘存函數：

X的矩量母函數：

X的特徵函數：

X的總體均值，方差

X的偏度，峰度

Matlab實現二項分布程序：

1、求n次獨立重複試驗中事件A恰好發生k次的概率P。 

說明：n為試驗總次數，k為n次試驗中，事件A發生的次數，p為每次試驗事件A發生的概率。 

2、在n次獨立重複試驗中，事件A至少發生k次的概率P_s。 

說明：n為試驗總次數，k為n次試驗中，事件A發生的次數，p為每次試驗事件A發生的概率。 

比如某產品出次品的概率為0.01，求生產100件產品中：（1）恰有1件次品的概率；（2）至少有1件次品的概率。 
解：此問題可看作是100次獨立重複試驗，每次試驗出次品的概率為0.01。 

p = binopdf(1,100,0.01)

p = 0.3697

p=1-binocdf(0,100,0.01)

p = 0.6340

Python實現二項分布程序：

numpy.random.RandomState.binomial

RandomState.binomial(n, p, size=None)

Draw samples from a binomial distribution.

Samples are drawn from a binomial distribution with specified parameters, n trials and p probability of success where n an integer >= 0 and p is in the interval [0,1]. (n may be input as a float, but it is truncated to an integer in use)

Parameters:

n : float (but truncated to an integer)

parameter, >= 0.

p : float

parameter, >= 0 and <=1.

size : int or tuple of ints, optional

Output shape. If the given shape is, e.g., (m, n, k), then m * n * k samples are drawn. Default is None, in which case a single value is returned.

Returns:

samples : ndarray or scalar

where the values are all integers in [0, n].

表示對一個二項分布進行採樣（size表示採樣的次數），參數中的n, p分別對應於公式中的n,p，函數的返回值表示n中成功的次數（也即N）。

舉例：

兩枚硬幣都是正面的概率：

# 兩枚都是正面
n, p = 2, .5          
sum(np.random.binomial(n, p, size=20000)==2)/20000.

# 其中一個為反面
sum(np.random.binomial(n, p, size=20000)==1)/20000.

# 兩個都是反面
n, p = 2, .5
sum(np.random.binomial(n, p, size=20000)==0)/20000.