概率(二)

主題概述

 概率公理性質

概率公理性質

公理 (Axioms)

•近代數學常以數條公理作為整套理論的基石
–Ex: 線性代數裡面8公理

•這樣的好處是？
•公理可否被證明？（公理是不能被證明的東西）
•公理為何常被當廢話？（公理是非常基本的性質）
•什麼樣的數學最厲害？（公理越少，公理越基本，越厲害）

概率三公理 (Axioms of Probability)

公理 1

         對任何事件 𝑨 而言,𝑷(𝑨)≥𝟎.

公理 2

         𝑷(𝑺)=𝟏

公理 3

         事件 𝑨𝟏,𝑨𝟐,… 互斥 ⇒𝑷𝑨𝟏⋃ 𝑨𝟐⋃ 𝑨𝟑⋃…
=𝑷𝑨𝟏+𝑷𝑨𝟐+𝑷𝑨𝟑+⋯

公理3搭起了集合運算與概率運算的橋梁。

公理衍生之概率性質

Ex: 從一副 52 張撲克牌抽中一張，結果為 Ace 之概率為何？

公理衍生之概率性質

•若 𝑬={𝒐𝟏,𝒐𝟐,…,𝒐𝒏}
則𝑷(𝑬)=𝑷{(𝒐𝟏)}+𝑷{(𝒐𝟐)}+⋯+𝑷{(𝒐𝒏)}

•𝑷(𝝓)=𝟎

•𝑷(𝑨)=𝑷(𝑨−𝑩)+𝑷(𝑨∩𝑩)

• 𝑷(𝑨∪𝑩)=𝑷𝑨+𝑷𝑩−𝑷(𝑨∩𝑩)

• 𝑷(𝑨∪𝑩)=𝑷(𝑨)+𝑷(𝑩)−𝑷(𝑨∩𝑩)

–Ex: 在大街上碰上一個人，此人愛甜豆花或愛鹹豆花概率為何？

𝑷(愛甜⋃愛鹹)=𝑷(愛甜)+𝑷(愛鹹)−𝑷(愛甜⋂愛鹹)=⋯

•切麵包定理：

若 𝑪𝟏,𝑪𝟐,…,𝑪𝒏 互斥且 𝑪𝟏∪𝑪𝟐∪⋯∪𝑪𝒏=𝑺

則對任何事件 𝑨：𝑷(𝑨)=𝑷(𝑨∩𝑪𝟏)+𝑷(𝑨∩𝑪𝟐)+⋯+𝑷(𝑨∩𝑪𝒏)

–Ex: 阿黃心儀某可愛女店員。她的笑容打開了他封閉的心。阿黃注意到她笑容會受生意的影響，於是每天忠實記錄該店生意與她有無對他笑。店生意有滿、普、慘三態，而她有笑、怒二態。根據記錄：

•若 𝑨⊂𝑩, 則 𝑷(𝑨)≤𝑷(𝑩).

請各位看官自證

Boole’s 不等式

•對任意 𝒏 個事件 𝑨𝟏,𝑨𝟐,…,𝑨𝒏
而言,

請高手自己證明一下吧

Bonferroni’s 不等式

•對任意 𝒏 個事件 𝑨𝟏,𝑨𝟐,…,𝑨𝒏
而言,

總結：

•公理的意義是什麼？

•為何機率三公理很神聖？ 

•機率公理如何衍生各樣的性質？

 好了，各位看官我們下期見