概率質量函數與累積分布函數(離散) - 圖解概率 03

2021-02-28 遇見數學
概率質量函數與累積分布函數-離散隨機變量

隨機變量其實就是函數, 將各種事件映射成對應的數字.

比如將拋一枚公平的硬幣正面(國徽/人頭)指定為 1, 反面(數字/尾)指定為 0. X(硬幣正面)=1, X(硬幣反面)=0.

再比如擲骰子點數對應成相應的數字 1~6. X(點數1)=1, X(點數2)=2, ., X(點數6)=6.

注意: 隨機變量的函數也是一個隨機變量. 

概率質量函數與累積分布函數

概率質量函數(Probability Mass Function, PMF)表示隨機變量相應每個數字代表的概率. 以擲骰子為例, P(X=1)=1/6, P(X=2)=1/6, ., P(X=6)=1/6.

累積分布函數(Cumulative Distribution Function, CDF) 是 X ≤ x 的概率, 即 P(X≤x) . 兩者的關係以伯努利分布為例觀察下圖:

如已經知道了 PMF, 就可以計算出相應的 CDF, 也即將小於等於 x 的概率相加, 觀察下面動圖:

伯努利分布(Bernoulli Distribution , 也稱0-1分布)

每次試驗只有成功1和失敗0兩種, 成功概率 p, 失敗概率則為 1-p.

二項分布(Binomial Distribution)

進行了 n 次的伯努利試驗, 恰好成功了 x 次.

幾何分布(Geometric Distribution)

進行了一系列伯努利試驗, 獲得首次成功的是第 x 次試驗, 則該隨機變量滿足幾何分布.

泊松分布(Poisson Distribution)

單位時間內隨機事件發生的次數的概率分布, 比如某一服務設施在一定時間內受到的服務請求的次數，電話交換機接到呼叫的次數、汽車站臺的候客人數、機器出現的故障數.

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