以「五升十進位值制」為基本的珠算 是最適合人類的算具算法

　　「五升制」和「十進位值制」都是中國古代先民發明創造的。

　　「五升制」不僅僅是舉世無雙的偉大創舉，而且中國常用至今，是中國數學的優秀傳統，十分科學。古老的籌算、珠算都使用了五升制。五升制其實是在1與10之間插入了一個中進率五，從而使算珠能夠構造可直觀的基數碼，形成了珠碼符號，衍化出科學完善的算盤的結構，最能適應和滿足十進位值制的需要，同時也簡化了十進位值制，優化了珠算的性能。

　　我們的祖先，以相同的算子元素（棍或珠），累積，並運用所處空間位置不同表示不同的數值，採用了「位值制」思想方法。以「上橫一棍表示五，構造出籌碼；設橫梁，梁上一珠表示五，構造出珠碼。這樣表示的十個基數碼（空位、空檔表示零），都能夠直觀，一眼看出」。不僅為人類的計算活動帶來簡捷和方便，也曾給人們以啟迪智慧的美妙享受，更給珠算的完美準備了條件，為後來升華成珠心算奠定了堅實基礎。

　　「十進位值制」為我國最早發明使用。先民們以基數碼與計數單位相結合表示數，同數左右位的值是十倍關係，故珠算本檔滿十要向前檔進一，示數、計數十分快捷方便。十進位值制的發明創造,提高了人類使用數字的能力，對世界數學的發展作出了重大貢獻。所以被馬克思讚譽為「最美妙的發明」。

　　「五升十進位值制」更徹底充分運用「位值」原則，突出了「位值制」思想方法的靈活運用，是一種簡化、優化了的十進位值制。是人們由低頻思維向高頻思維發展的催化劑，是使數值計算與數學教學準確迅速、簡易高效、科學實用的憑藉，衍化出了最適合人類的簡易高效的算具算法。

　　一、「五升十進位值制」衍化出了世界最完美的手動算具算法

　　羅馬數字雖然採用中間單位，但由於沒有基數概念、各個中間單位各不相同，如V，L，D等，僅僅是累積，還有左減右加的區別，不知用位值思想，更不會運用五升制思想，所以，雖然採用中間單位，但無論計數或計算的繁瑣一點沒有減少。

　　俄羅斯和北歐的每檔十珠算盤，不用五升制，結果表示5以上的碼不能直觀，或者說不能構建5以上的珠碼符號，結果，這種算盤無論操作的準確性或速度都遠遠不及五升制算盤。

　　印度-阿拉伯數碼，由於沒有累數思想，也不知用五升制簡化基數碼，僅僅是用十個不同的抽象符號1,2,3,4,5,6,7,8,9,0表達基數碼，既不能體現計數的數學方法又不能體現計算的數學方法，所以，筆算一直逃脫不掉死記硬背的無比繁瑣。為了彌補沒有累數思想的缺陷，西歐不得不採用「捆小棒」之類的辦法，但小棒不能直觀5以上的數碼，不能符號化，又不採用位值思想方法，只是大大小小梱，捆了又捆，繁瑣無比。

　　而用算珠，自然體現累數思想，又採用基數周期思想，還特別充分採用位值思想：用空間位置，既表示計數單位，又表示中間單位（五升制），既用左右位，又用上下位（五升制），集成融合了計數、計算的所有的優秀數學思想方法，無比簡易、快速。

　　中國祖先以無比的高智慧，發明創造了五升十進位值制，奠定了人類最完美的手動算具算法基礎，衍化出了世界最完美的手動算具算法——珠算二、「五升十進位值制」的誕生

　　「五升十進位值制」是人類生理特徵與中華祖先智慧相融合的產物。

　　中華民族自古就有「尚五崇十」的傳統和習俗，是與生俱來的天性。郭沫若先生在《甲骨文字研究釋五》一文中指出：「數生於手，一拳為五」。人打一出生，都有一雙手，各有五指，雙手共有十指。伸一個手指是1，伸一隻手是5，伸雙手便是10。數數開始是搬手指數，從1數到10；後來「一五」、「一十」的數，十分方便快捷；再後來兩隻手用完了，就在繩上打個結表示10……天長日久，通過等量置換的方法，就悟出了以「1」當「5」的數群記數「五升制」和滿十向前位進一的「十進位值制」，兩者相結合，便形成了「五升十進位值制」。「五升十進位值制」是簡化了的「十進位值制」，為棍棒或珠子表數示碼確立了「位值」原則，從而充實完善了「位值制」思想方法。珠算將位值制與累數制巧妙結合，僅用五顆算珠就拼組成了十個基數碼，保留了一切優秀的計數、計算思想方法，使五升十進位值制的算盤成為最適合人類計算的利器。所以說，「五升十進位值制」是受人類肢體的啟發，經中華祖先「尚五崇十」精神的提煉所形成的智慧結晶。

　　三、「五升十進位值制」的歷史淵源

　　華夏祖先擅長計算，發明了「十進位值制」，它的產生源於屈指可數和結繩紀事。上古時期，先民們一般靠十個手指數數，超過十或者更多，手指不夠用時，就用結繩計數。每數10個，就在長繩上打個結，表示有10個物件，長繩上打多少個「結」，就表示有多少個「十」。這就是「逢十進一」的初始形態，「十進位值制」的雛形。到公元前二世紀成書的偉大數學經典《九章算術》中「十進位值制」已十分成熟。其實，早在此書之前的一本數學著作《算數書》中，就已運用了「十進位值制」。追索到三千多年前的商朝，刻在甲骨文中記戴的「俘人十又六人」、「鹿五十又六」、「五百四旬又七日」等幾段文字的描述，說明中國先於其他幾個文明古國使用了現在通行的「十進位值制」。我國古代的籌算、珠算用空位、空檔表示「0」，也先於印度發明「0」早600多年，使十進位值制至臻完備、十全十美，這也是中國人民最早發明使用十進位值制的又一有力證據。

　　中華民族素有「尚五」的傳統和習俗，十分重視數字「五」。有五行、五嶽、五音、五更、五官、五金、五穀、五臟之說等等。在《易經》的「河圖」、「洛書」中都是以「5」為核心組碼排陣的，並衍生出生數和成數。用5+生數1、2、3、4=成數6、7、8、9，受其啟發就形成了超四滿五升一的定製。在我國14種古算法中有8種都採用了「五升制」。其中珠算最為優秀，將「十進位值制」與「五升制」綜合兼用，得以至臻完善，長盛不衰。

　　四、「五升十進位值制」發明應用的偉大意義

　　「十進位值制」是我國發明的。郭啟庶教授指出：「十進位值制了不起，是它把大數目的表示、運算簡化成10個符號的讀寫、運算」。十進位值制在表數、計算方面既使用「累數制」，又有基數概念運用周期思想，再加使用「位值制」，從而使計數法與數值計算十分簡易準確，快捷方便，使我國古代數學迅速發展，達到高峰，領先世界一千多年。而西方人的祖先，只習慣累數制，不用位值制，無基數碼，只是單位符號簡單累計。使表數、計算十分繁難，數學發展停止不前。直到中國發明的「十進位值制」經印度阿拉伯傳入歐洲後，才使西方從繁難低下的計數計算中解放出來，並隨社會生產力的發展，西方數學才騰飛起來，得到了大發展。「十進位值制」就是數學的翅膀，推動了世界數學早期的發展。李約瑟博士在《中國科學技術史》一書中贊到：「如果沒有這種十進位值制，就幾乎不可能出現我們現在這個統一化的世界。」

　　中國科技大獎獲得者中科院院士、數學家吳文俊教授在2004年世界數學家大會上說：「在上古時期，唯一完整無缺的進位制，只有出現在中華大地的十進位制。不僅如此，中國上古還有著舉世獨一無二具有位值的位值制十進位，可以說是人類進化史上最偉大最重要的發明之一」。

　　「五升制」為中國籌算、珠算所特有，它充實完善了「位值制」。使算珠減了量、算盤瘦了身、盤局縮了水、珠碼增功能、珠算提速又提神。郭啟庶教授指出：「珠算採用五升制，以『以1當5』同『以1代十、百、千等』一樣，是數學的強『基因』，追求思維『經濟』『效率』」。「五升制是使珠算準確迅速的基本保證，從而淘汰了西方算盤，在今天為西方數學教育界所採用」。

　　五升十進位作為一種位值記數法，十分先進、科學。它優於古巴比倫的六十進位值制記數法、古羅馬的單位符號簡單累計記數法、古埃及的象形數字符號記數法、古希臘用全部希臘字母表示1到10，000的數字記數法、以及現在世界上通用的印度—阿拉伯數碼記數法。

　　「五升十進位值制」的偉大意義在於提高了珠算的科學性和實用價值。使中國的珠算盤優於西方的十珠算盤、俄羅斯豎放左右撥打的算盤、羅馬的溝算盤等。也優於手搖計算機、電動計算機；至於計算尺、計算圖、計算表等或者計算精度低，或者計算範圍有限，更不可與珠算相比。中國的珠算能長盛不衰，被全世界接納認可，成為人類非物質文化遺產。究其原因就是在採用「十進位值制」的同時，兼用了「五升制」，為人類的計數、計算活動帶來了無比的簡易、方便和效率。所以「五升十進位值制」是使珠算賴以生存和發展的基石和動力，使得珠算成為最適合人類算具算法。

　　五、「五升十進位值制」強大的功能作用

　　「五升十進位值制」是對「位值制」思想方法最完美、最成功的創造與應用，是劃時代的一項偉大發明。它簡化了人類對數的認識與多位數的讀寫與計算，簡化了計量單位的讀寫與變換，簡化了數學計算與教學等等，不僅促進了我國古代數學的發展與領先，也促進了西方早期數學的騰飛。「五升十進位值制」還使珠算具有豐富的科學內涵和強大的功能作用，提高了人類數值計算的能力，為世界科學技術的發展提供了動力。

　　（一）、「五升十進位值制」的「位值」原則，是珠算的精髓與靈魂

　　「五升十進位值制」把累數制改善而達直觀，表示數碼也用位值原則，是最完善的位值制計數法，功能作用十分完善強大。珠算不用位值制就不能用相同的算子元素，累積構造出能夠一眼直觀出結果的基數碼，就沒有算盤簡單精良的結構和珠算的簡易、高效和現代化。「五升十進位值制」充分展示了位置與空間概念，以及運用位置的「差異性」；充分顯示了符號個數的有限與表示的數值無限的辯證關係。

　　五升十進的位值制思想方法，對珠算起到了強大的簡化、優化作用。使其運算機制、珠碼符號、算盤結構、操作程序、算理算法等都得以精煉，是珠算的啟動器、推進器與加速器。所以說，「五升十進位值制」是珠算的精髓和靈魂。

　　（二）、「五升十進位值制」讓珠碼符號高度精簡又體現累數思想

　　算盤是符號發生器。珠碼是數形結合的典範，融實物與符號為一體，是理——象——數統一的優化組合。五升十進位值把珠算符號簡化至極，僅以· 和·兩個母碼，利用位值制和累數制，就能拼組出十個珠碼符號。通過「順序記數」，在原碼基礎上拼動珠碼，即可完成一切計算。其實拼動珠碼就是計算，所以珠碼符號天生具有計算功能。僅用動珠碼四式：直加直減，撥本碼；動五加減，撥補碼；動十加減撥補碼前位進一、退一；動五又動十加減，撥本碼前位進一、退一。簡化成一句話：不撥補碼便撥本碼，就能完成計算。這就是珠算，就這麼簡單。可以說珠碼是世界上最優秀的數學符號，算盤是世界上最優越的計算工具和教具學具，珠算是世界上最簡易、準確、迅速的純人工技能的計算方法。

　　郭啟庶教授對珠碼符號的計算功能給予很高評價：「這非常了不起。當年，萊布尼茲提出『萬能算法』概念，就是想構造一個符號系統，使拼排符號即能表達所思。他在邏輯符號、微積分符號設計上，很有貢獻，但在數值計算上他沒有找到這樣的符號」。「其實，由珠算就可構造升華出有計算功能的符號。古來的珠算從一定的角度看在一定程度上就運用了這種符號」。

　　五升十進位值制的珠碼符號十分簡練、明晰。只用簡單的幾個珠子和簡單的幾個動作，就能把抽象的算理講明白。起到了從具體到抽象，從簡單向複雜的引導作用，能幫助人類建立數概念及生成信息圖象。珠碼這種簡潔形象直觀的符號化的表數方法，易於人腦內化、貯存、記憶，易於思維驅動，而形成在腦子裡打算盤的珠心算。它可以激活大腦、增強記憶、開發智力，更能提高人類使用數字的能力。可以說，五升十進位值制的珠碼符號是腦算盤建立的基礎。

　　五升十進位值制的珠碼還能節省空間，檔位可以反覆使用，用了再用。一檔能示十數，不超十的加減，也只需一個檔位。它讓時間與空間、速度與精度、質量與效率、人員與算具、耳眼與手腦諸方面積極作用都發揮到了極致。盡展五升十進位值智慧之高和珠碼符號簡妙之美。

　　（三）、「五升十進位值制」使珠算運算機制一體化

　　五升十進位值使累數、基數、位值的積極作用都能充分發揮，使珠算運算機制十分簡捷，具有一體性。能融輸入、計算、輸出、貯存為一體，珠動數出，一撥而就。在輸入數據的同時，也就完成了計算、輸出和貯存，只需動算珠系統一個動作，就能操作「四合一」，快捷至極。零和小數點、運算符號都不需操作，大大優於筆算的漫布式和電算的分步制，加減算的速度之快，讓電子計算器望塵莫及。所以在電子計算機普及的時代，還需要五升十進位值制的珠算來補充。珠算的一體化運算機制，僅此一例，舉世無雙，全球第一。

　　（四）、「五升十進位值制」揭示了人類生理視察的極限，十分科學

　　「五升制」遵循了人類視覺神經的生理規律。心理學家耶文斯著名的黑豆試驗，揭示了人類視覺準確迅速分辨物量的極限是4，可以做到百分之百的準確，而5以上則隨物量增加準確率遞減。「五升制」選中了最佳值，把「5」當作一個中間單位，巧妙地安排一顆上珠當5。5可以單張，也可以與下珠累數組碼，珠算就有了數群示數的「五升制」。這是一個舉世無雙、獨一無二的偉大發明，它強化了位值制思想方法，讓珠算示數、表碼都運用了「位值制」，使珠算充滿了生機。也讓我們感嘆古人的聰明才智。

　　（五）、「五升十進位值制」使算盤的簡單結構與科學性能統一和諧

　　算盤結構十分簡單。由珠、梁、檔、框四部分構成。精良無贅，完美無缺，無可增減，不能改變；檔次分明，位數不限，大可容億、兆，小可容微、納，是珠算最優秀、最科學、最合理的設計，是純人工操作算具算法之典範，成為最適合人類計算的利器。

　　算盤的科學內涵十分豐富。算盤既有下珠的數個，又有上珠的數群；既有上下珠的湊五拆五，又有前後珠的補十拆十；既有梁框珠的互補、正負對應，又有全珠與下珠的互替關係等等，集累數制、位值制、浮點制、動靜碼、二元示數、分段示數、順序記數、正負記數、數形結合、符物統一等於一身，充分體現了集合思想方法、空間位置思想方法、對立統一思想方法和符號化、程序化思想方法，把中華數學的許多先進理念都濃縮在一把小小的算盤裡。利用算盤易於理解數與數群的理念以及數的分解與組合，縮短了由逐一數數到按數群計算的過程。使算盤成為兒童由形象思維向抽象思維過渡的橋梁；使珠算成為提高人類使用數字能力的絕活。所有這些，足以說明五升十進位值制珠算的科學性：簡單而又深奧。

　　算盤簡單精良的結構，擁有眾多功能作用。首先是「二元示數」，為中國算盤所獨有，是珠算的本質特徵；梁框珠數值互補，正負互應、具體直觀、此消彼長，體現了矛盾對立統一規律，是一切簡化方法措施之源；還能使一些難懂的算理如正負數運算變得簡明易懂；也可為實用帶來方便。其次是「數形結合」，融實物與符號為一體，使珠算既是數值計算又是珠陣圖形變換，一舉兩得，讓算與變、數與圖完美統一；使算盤既是算具又是圖具，具有幾何功能，將算珠做點的模型，直觀點集作圖，可直觀用數刻劃量，求長度，算面積；還可簡化完善幾何的解題和教學，以及圖示繁難應用題的求解。再次是「分段示數」，可做分數加減，不用通分，只需輾轉加減；求最大公約數，不用短除，只需輾轉相減；解比例，不用乘除，只需加減；解方程，不用代入消元，也只需輾轉相減，大大簡化了數學計算。第四是「並行算法」，可雙手並用，同時在多個檔位上撥珠運算；可心算珠算結合，做一目多行加減，一口清乘除和一目三行棄九翻打傳票；珠心算可一心多用，同時做多項、多題計算，或一邊心算，一邊歌舞等十分神速，令人感嘆。第五是可串接使用，一把算盤不夠，再串接上一把、兩把做計算，使計算位數無限延長和外態個數無限增加；徽商設算盤九層，使總店、分店經營情況，一目了然；明代律學家、歷學家朱載堉就是利用串接算盤完成了「十二平均律」的複雜運算。我國第一顆原子彈和第一艘核潛艇的許多數據，也是用算盤打出來的。

　　對算盤如此豐富的科學思想方法和眾多的優異性能，美國理察博士稱讚道：「越是研究算盤所具備的特性，越會發現這個簡單的計算工具所可能具有的偉大性」。

　　（六）、「五升十進位值制」增強了珠算的普適性和滲透力

　　首先，用「五升十進位值制」武裝起來的珠算是手、腦、機通用算法模型。珠心算是珠算升華而成，當然機制、程序、算理、算法相同。珠算與電子計算機都與《易經》淵源頗深。珠算的五升十進位值與「河圖」、「洛書」、八卦有緣，電子計算機的「二進位」也源於「周易八卦」。計算機在機制方面借用了珠算程序；在符號方面借鑑了珠算的設計思想，都是「變碼制」。所以，珠算與計算機原理相當、算法相應、語言相通、程序相似、方法技巧可以共享。因此，珠算、珠心算、電子計算機三者可以自然整合，教學珠算的同時也等於教了心算與電算，一學三會。既然珠算是通用算法模型，就應該與計算機長期並存，各揚其長，互補其短，共謀發展。正如美國弗蘭克林大學教師莫裡遜指出的那樣：「即便是原子和電子計算機時代，也還是需要基礎數學知識，而算盤在其漫長的歷史中，證明了它的基礎概念是會永久持續下去的」。

　　其次，簡單通俗、直觀易懂的珠算，是一種極易普及的大眾文化，具有廣泛的群眾基礎和社會實踐性，普適性和滲透力很強。對其他計算工具計算方法無能為力的領域和特殊人群，珠算都可介入，獨顯身手，大有作為。如用算盤可以教會弱智和患自閉症的少年兒童學會計算，提高智商；用算盤可靠觸覺輸入信息的特點和盲人聽覺、觸覺、直覺感和思維力、記憶力、想像力強的優勢，可以教會他們打盲人算盤，提高計算能力。

　　再次，形象直觀的珠算是一種不用翻譯的世界語。無論是中國人或外國人，成年人或小孩子都能看得懂、學得會、用得好。美國珠算教育中心主任列奧·理察博士說：「珠算幫助兒童識數是個飛躍，不分種族、膚色、語種，用算盤上課，都能讓學生明白」。「算盤是世界上最好的算數教具，是世界上共通的算數語言」。2013年12月被聯合國教科文組織批准列入人類非物質文化遺產代表作名錄，得到全世界人民的認可和推崇，許多國家和地區都在推廣學習、使用珠算和珠心算，具有歷史必然性，不是偶然的。

　　從以上三個方面看，珠算的普適性和滲透力是非常強大的，五升十進位值制的優勢是十分明顯的。

　　（七）「五升十進位值制」賦於「珠算簡單，但不簡陋」的本質特性，也使珠算內化升華為珠心算，成為一門啟智科學

　　「五升十進位值制」使珠碼符號簡化至極，利用兒童的遺覺像潛能，經過專門的訓練可將珠像內化大腦形成珠心算，這種可與電算相篦美的、超常的腦珠速算技能，還能提高兒童的智商和情商，使珠算升華為一門啟迪智慧的科學技術，也使得數學早教（三、四歲開始）成為現實，讓珠算擁有強大的教育功能。這正是珠算簡單而又科學深奧的魅力所在。

　　綜上所述，足以說明用「五升十進位值制」構造出來的珠算盤，具有眾多的優異功能，是最適合人類計算和教學的算具算法；從而計算機借鑑了珠算的基本機制和思想方法，珠算、珠心算是最適合人類應用、能與電子計算機一致又能開發智力的計算方法和科學技能。用「位值制」、「累數制」、「變碼制」和集合思想方法、空間位置思想方法、形象思維與抽象思維相融合和二元示數的對立統一思想方法等科學思想哺育出來的珠算，是最適合人類的算具算法。

　　參閱資料：《當代中國珠算》、《珠算學概論》、《珠算科技知識》、《上海珠算心算》、《珠算與珠心算》，郭啟庶教授的《沒有新的佐證，不能否認或存疑珠算是中國發明》等。

　　轉自：上海珠算心算協會網站

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