墨子明確了十進位制的數位理論。
談起中國古代發明,大家耳熟能詳的是中國的四大發明:造紙術、指南針、活字印刷和火藥。其實,十進位制計數法,也是中國人的偉大發明之一。
十進位制
十進位制是世界通用的主要記數法。現代人們無論是中國或世界,都運用1(或一)、2(或二)、3(或三)……10(或十)……100(或百)……1000(或千)等計數,即十進位計數。
可是,在古代並不是這樣的。在古代世界,各個古文明民族出於生活、生產實踐的需要,都先後獨立地發明了數和數法。各古民族對數的表示和計數的方法是很不一樣的:如古巴比倫發明用六十進位計數,古印度發明用六進位或八進位計數,美洲古代瑪雅人發明用二十進位計數,古希臘、古羅馬發明用五進位計數,中國古人和古埃及則分別獨立地發明用十進位計數(古埃及的十進位計數法沒有傳承下來)。
古羅馬的數字系統沒有位值制,只有七個基本符號,如要記稍大一點的數目就相當繁難。古美洲瑪雅人雖然懂得位值制,但用的是二十進位；古巴比倫人也知道位值制,但用的是六十進位。二十進位至少需要十九個數碼,六十進位則需要五十九個數碼,這就使記數和運算變得十分繁複,遠不如只用九個數碼便可表示任意自然數的十進位制來得簡捷方便。
中國古代數學之所以在計算方面取得許多卓越的成就,在一定程度上應該歸功於這一符合十進位制的算籌記數法。馬克思在他的《數學手稿》一書中稱十進位記數法為「最妙的發明之一」,確實是一點也不過分的。
創造十進位制這一方法,據說是受到了人有十個手指頭的啟示。早期的人類像今天的小孩和許多成年人一樣,是扳著手指數數、記數的；把手掌當作算盤,把手指當作算籌籌碼。
甲骨文中已出現十進位制
中國傳統數學發展源遠流長,對世界數學產生過重大影響。
數學概念產生在符號發明之前。中國何時出現用符號來表示數目無法確定。但根據現有的資料來看,至遲在半坡時代(約公元前4000年)已有數字符號。例如在半坡出土的陶器上發現了刻劃的符號中就包含了數目字,在陝西姜寨出土的陶器上也有數字符號。因此,中國人在公元前4000年至少掌握了三十以內的自然數,並且是用十進位制記數的。
大約過了2500年左右,到了商代(公元前1400年)已形成了刻在甲骨上的漢字系統。根據中國商代甲骨文的記載,在公元前14世紀前後(即距今約3300年前)中國已有相當完善的十進位計數法。甲骨文中有一至九的記載,有十、百(為十個十)、千(為十個百)、萬(為十個千)的記載,最大的數為「三萬」。
又據筆者對成於公元前11—前6世紀的《詩經》中數字研究:一至九的數在104首詩篇中出現264次:數位字在殷商時代十、百、千、萬的基礎上,又出現「億」、「秭」,這六個數位字在67首詩篇中出現155次,其中數位字「十」在9首詩篇中出現17次。唐代學者孔穎達在《詩經正義》指出,「億之數有大小二法:其小數以十為等,十萬為億,十億為兆也；其大數以萬為等,萬至萬是萬萬為億,又從數億至萬億為兆,億億曰秭」。可見無論是大法、小法都是十進位制；《詩經·豳風·七月》篇則是世界上最早的數位化詩篇,它用一至十的數字科學地表達了一年每一個月的農事和物候,復旦大學教授、《詩經》研究家陳子展認為該詩篇成於周初(公元前11世紀),但反映的內容是周民族形成早期——先周公劉時代即公元前17世紀晚期的事,因此早在公元前17世紀(距今約3700年)中國已有相當完善的十進位計數法。
據《中國大百科全書·考古學》載,安陽殷墟出土了商代的骨尺和牙尺,尺面上有相當於「寸」、「分」的刻度表示,它們都是十進位的,說明當時十進位制記數法與社會生活有著密切的聯繫:一方面,由於社會生活需要提高度量衡的精度,要求不斷劃小度量衡的單位;另一方面,它簡便適用,在實際生活中得到廣泛應用。
在公元前30年前後的《墨經》中,《墨子·經下》有「一少於二而多於五,說在建饞」的記載。顯而易見,此處所講的內容是和十進位制記數法有關。而十進位記數法過渡到十進位值制記法與籌算的創立有著密切的關係。
數字的發展必然有計算,計算就需要某種方法和工具。算籌一般是用小竹棍(或其他材料製成的棍),後來也稱算子。籌算是一種用算籌進行計算,籌算起源於何時,無法確定,但可以肯定它是起源很早,至遲到春秋戰國時(約公元前300年)人們已經能熟練地運用算籌進行計算。籌算作為中國古代的計算工具,是中國古代數學對人類文明的特殊貢獻。它與十進位值制記數法相結合,形成了我國獨具特色的算法化的數學體系。十進位制算籌記數法是中國古代數學的一項獨特的創造。一直到十五世紀中葉珠算產生之前,籌算是中國古代數學的主要計算工具,它也是中國古代數學的一大特色,中國古代數學正是在籌算基礎上發展起來的。
《易經》中更有「萬有一千五百二十」這樣的記載。甲骨文的計數方式一直延續到現代。現代中國數字一二三四五六七八九○,在唐代以前就已經形成,唐代還全面使用了大寫數字壹貳叄肆伍陸柒捌玖零,用在比較正規的場合,又叫做「官文書數字」。在確立了十進位制之後,古代中國還對數的概念進行了擴展,創造出了分數、小數、負數的概念,雖然分數線、小數點、負號不是中國的發明,但是對數的性質的認識,對數的概念的拓展,還是古代中國的天才創造。
李約瑟教授指出:「在西方後來所習見的『印度數值』的背後,位值制早已在中國存在兩千年。」
十進位制向世界傳播
中國發明的十進位制在對外交往中,東傳韓國、日本,南傳越南等東南亞國家；絲綢之路開通後,又傳南亞、中亞等國。古代印度於公元5世紀改用十進位制計數法,並在8世紀傳至古代阿拉伯,9世紀由古代阿拉伯再傳至歐洲,15世紀末、16世紀早期由歐洲傳至美洲,以後又傳入非洲、大洋洲。因此,在歐美把十進位制稱為印度—阿拉伯數系或阿拉伯數系,《大英百科全書》(又稱《不列顛百科全書》)等書籍至今這樣稱呼。這是有失公道的,因為最早發明十進位制的是中國。
十進位制記數法西傳歐洲,又傳美洲、大洋洲、非洲,由於它較其他記數法實用、好用,且便於高速計算、複雜計算,很快風靡全球,取代其他記數法,成為當今世界各國、各地區、各民族所公認的標準記數法；十進位制記數法的西傳,使短於計算、長於公理化和演繹的歐洲數學克服原有的弱點,加速發展,形成初等數學,後發展為高等數學(以微積分的出現為標誌),並從古代科學中發展出近現代數學,至今在世界上形成具有100多個分支學科的數學學科體系。
十進位制計數法的西傳,在世界上普遍地採用,大大地促進了歐美和世界各國社會、經濟、科教、文化等各個方面的交流與發展,英國著名學者李約瑟指出:如果沒有中國發明的「十進位制,就幾乎不可能出現我們現在這個統一化的世界」。（孫關龍 孫又新）