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題目:
有一個正十三邊形。把它的十三個頂點要麼塗以黑色要麼塗以紅色。試證明一定存在同一顏色的三個點,以這三個點為頂點的三角形是等腰三角形。這是第35屆莫斯科數學競賽題。
證明:
我們知道,正十三邊形有十三條相等的邊;它的13個頂點圍成一圈。13是奇數。所以,把這13個點塗以黑或紅兩種顏色後,肯定會有至少兩個相鄰的點,它們的顏色相同。不妨設這兩個同色相鄰點為黑色。我們用A1和A2表示這兩個點。然後,按照從A1到A13是逆時針順序來表示這13個點,如下圖所示。所以,A2順時針一側是A1,逆時針一側是A3。A1順時針一側是A13。
上圖中除A1和A2外,其他頂點還沒有塗色。我們選取A13、A1、A2、A3和A8這五個點。其中A1和A2已經塗以了黑色。那麼,A13、A3和A8這三個點,如果其中有一個塗以黑色,則這個點一定可以與A1和A2一起成為一個等腰三角形的三個頂點。如下圖所示。
而如果A13、A3和A8三個點中沒有一個被塗以黑色,則它們三者一定都是塗以紅色。而這三個紅點正好是一個等腰三角形的三個頂點。
所以,我們就證明了必存在一個頂點同色的三角形。