告訴你「42」這個數字有多神奇

在1979年的暢銷科幻小說《銀河系漫遊指南》的最後，超級計算機「深度思考」揭示了「生命、宇宙和一切」的「偉大問題」的答案是「42」。「深度思考」花了整整750萬年來計算這個終極問題的答案。而知道答案後，負責獲得該答案的角色很失望，因為這個答案沒什麼用。

然而「42」的確不同尋常。從歷史到現實，再到數學家研究的難題，「42」都有著它非同尋常的地位。

無處不在的「42」

「42」這個數字可能因為作家道格拉斯·亞當斯的《銀河系漫遊指南》而成為極客文化的一個組成部分。例如，如果你問你的搜尋引擎「所有問題的答案是什麼？」它很可能回答「42」。無論你使用谷歌、Qwant、Wolfram Alpha（專門回答數學問題的網站）還是聊天機器人Web應用Cleverbot，你都會得到相同的答案。

很多與網際網路相關的企業也喜歡「42」，比如計算機培訓機構「42網絡」，它自2013年在法國成立以來，已在全球建立了超過15個校區。而在電影《蜘蛛俠:平行宇宙》中，數字42也以不同的形式出現。在維基百科的詞條「42（數字）」中，你可以找到更多它出現的地方。

數字42還出現在一系列奇怪的歷史巧合中，儘管其重要性可能不值得花時間去研究。例如:

• 在古埃及神話中對靈魂進行審判時，死者必須在42名法官面前宣布他們沒有犯過42項罪；
• 馬拉松的距離是42.195公裡，儘管公元前490年，當古希臘信使費迪皮迪茲第一次完成這個距離時，公裡還沒有被定義；
• 古代西藏有42位統治者，公元前127年左右的聶赤贊普是第一位，而從公元836年到公元842年（即九世紀的42年）在位的朗達瑪是最後一位；
• 《古騰堡聖經》是歐洲印刷的第一本書，每頁42行，也被稱為「42行聖經」。

面對「42」的神奇，確實有人提出了一個明顯的問題：就是在亞當斯的書中使用42是否對作者有任何特殊的意義。亞當斯在一個論壇中回答了這個問題：「那是個笑話。它（答案）必須是一個數，一個普通的，較小的數，我選了這個。二進位表示，十三進位，西藏僧侶都是胡說八道。我坐在書桌前，凝視著花園，心想『42號就行了』。我把它打了出來。故事結束了。」

數學家眼中的42

「42」是個數字，最有資格談論這個數字是否神奇的，可能是數學家。那麼就讓我們從數學的角度看看這個數字有什麼特殊之處。

首先在二進位系統中，也就是以2為進位的系統中（我們日常使用的是10進位），42被寫成101010，這很容易。順便提一下，「42」的神奇也讓一些粉絲在2010年10月10日（10/10/10）舉行了一次聚會。

在亞當斯的回答中還提到了13進位表示。在13進位的表達中，我們需要十三個符號計數：0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 A B C。在這個進位下，6乘以9等於42。可能你會覺得這個結果很荒謬，因為我們都知道6×9 = 54。但這是在10進位的計算中。如果在以13為底的情況下，表示為42的數應該是(4 x 13) + 2 = 54。

有趣的稀有整數列

數字42有一系列有趣的數學特性。

這個數是2的前三次奇數冪的和，即2+ 2x2x2 + 2x2x2x2x2 = 42。事實上，從這個角度看，它的神奇不止於此。假設它是序列 a(n) 中的一個元素，其中 a(n)=前n個2的奇次冪之和。

那麼

a(1)=2，a(2)=2+2x2，a(3)=2+ 2x2x2 + 2x2x2x2x2=42。

如果在二進位下表達，我們會發現：

a(1)=10，a(2)=1010，a(3)=101010，......，a(n)="10"重複出現n次。

該數列的通項公式為：

隨著n的增加，這組數字的密度趨向於零，這意味著出現在這個數列中的數字，包括42，非常稀有。此外，你也可以換一種玩法：42是6的前兩個非零整數冪的和，即6 + 6x6 = 42。那麼你可以考慮另一個數列：

b(1)=6，b(2)=6+6x6，b(3)=6+6x6+6x6x6，......，b(n)=前n個6的冪方和。

這些數字的密度在n無窮大時也趨向於零。

明安圖-卡塔蘭數

卡塔蘭數是組合數學中一個常在各種計數問題中出現的數列。以比利時的數學家歐仁·查理·卡特蘭的名字命名。但實際上，清朝數學家明安圖（1692年－1763年）在其《割圜密率捷法》中最先發現這種特殊的數字，遠遠早於卡塔蘭。有中國學者建議將此數命名為「明安圖數」或「明安圖-卡塔蘭數」。

這些數字極其罕見，比素數要少得多，前20個的明安圖-卡塔蘭數為：

1, 1, 2, 5, 14, 42, 132, 429, 1430, 4862, 16796, 58786, 208012, 742900, 2674440, 9694845, 35357670, 129644790, 477638700, 1767263190。

你看到了，42出現在這個序列中。

瑞士數學家萊昂哈德·歐拉首先以另一個方式提到了明安圖-卡塔蘭數，而這個解釋要比純粹的數字有趣的多。歐拉想知道通過連接頂點，一個（n+1）邊凸多邊形可以有多少種不同的方式被切割成三角形，而答案由第n個明安圖-卡塔蘭數給出。

凸6邊形一共有14種歐拉的切割方式 (n=5)

組合數學給出了計算明安圖-卡塔蘭數的一般公式：

就像前面的兩個數列一樣，這類數的密度在n無窮大時為零。

明安圖-卡塔蘭數作為一個組合學數列，與很多計數有關係。比如卡塔蘭本人是通過安排雙括號寫作規則發現的：假設給你n個左括弧，n個右括弧，那麼它們有多少種方式可以組成符合寫作規則的括號？答案就是第n+1個明安圖-卡塔蘭數。

例如，n=3，因為所有合乎規則的排列方式只有5種:

( ( ( ) ) )；( ) ( ) ( )； ( ( ) ) ( )； ( ( ) ( ) )； ( ) ( ( ) ).

實際數

「42」的另一個數學身份是它是一個「實際數」。一般一個正整數n稱為實際數，如果所有小於n的正整數都可以表示為若干個n的不同真因子的和。

比如42，它的不同因子有1，2，3，6，7，14，21。而任何一個小於42的整數都可以表達成這些數字中的一些的和。比如：11=2+3+6，41=6+14+21。

早在十二、十三世紀，義大利數學家斐波那契在其著作《計算之書》中，在說明如何用埃及分數的和表示有理數時有用到實際數。但斐波那契沒有正式的定義實際數。實際數一詞最早是由拉馬努金在1948年開始使用的，他希望可以找出有這類性質的數字。

此工作後來在1955年由斯圖瓦特和謝爾賓斯基完成。利用正整數的素因數分解可以判斷是否是實際數，所有2的冪及偶數的完全數都是實際數。

以下是實際數的列表：

1, 2, 4, 6, 8, 12, 16, 18, 20, 24, 28, 30, 32, 36, 40, 42, 48, 54, ....

然而迄今為止，沒有一個簡單的已知公式可以提供這個序列的第n個元素。

已發現實際數和素數有許多類似的特質，它也有對應哥德巴赫猜想及孿生素數猜想的定理：每一個偶數可以表示為二個實際數的和，以及存在無限多個相差2的實際數。梅爾菲證明了在斐波那契數列中存在無限多個實際數，而素數與之對應的問題，也就是是否存在無限多個斐波那契素數還沒有被證明，但也還找不到反例。

三個整數立方和的問題

關於42這個數字的遊戲有很多，但多年來一直認為這些組合遊戲都是很簡單的。然而最近，一個新的問題似乎不是那麼容易，這就是「三個整數立方的和」的問題。似乎「42」比100以下的其它所有數字都更麻煩。

這個問題陳述如下：

什麼整數 n 可以寫成三個整數的立方的和？也就是給定n，尋找整數a、b、c，使得

作為一個實際問題，進行這種計算的困難在於，對於一個給定的 n，要考慮的三個可能的整數涉及到負整數。因此，並沒有對a、b、c這三個數有所限制。有些答案可能會大得驚人，比如在2007年發現的156的答案:

而且，對於一些整數 n 並沒有此類解。事實上，一個簡單結論是，對於任何可以表示為（9m+4）或（9m+5）的所有整數n都是如此。例如4、5、13、14、22、23等等。這個證明並不複雜，需要使用模9計算，這相當於假設9=0，然後只操作0到8之間或-4到4之間的數字。我們可以看到，對9取模後，整數的立方是一定是-1、0或1。將這些數字中的任意三個數字相加，你不可能得到4或5。這個限制意味著三個整數的立方和永遠不會是（9m+4）或（9m+5）這種形式的數字。

而事實上，即便知道一個整數n滿足條件，求解a、b、c同樣困難。

比如對於n = 1，有一個明顯的答案：a=b=1，c=-1。但還有其它答案嗎？有！

還有嗎？還有！1936年，德國數學家庫爾特·馬勒給出了無限多個解：對於任意整數p，

這個證明很簡單，展開合併同類項就可以了。

n = 2的無窮解集也是已知的。1908年，數學家A·S·布魯索夫證明，對於任意整數p：

通過將這些方程的每一項乘以一個整數的立方，我們可以推導出：任意整數的立方以及其立方的兩倍都有無窮多個解。

然而美好的事情結束了。截至2019年8月，n = 3時，已知的解只有兩個:

那隨之而來的一個問題是：對於任何 n ，是否至少有一個解呢？我們的42馬上就要登場了。

計算機的尋找

為了回答這個問題，數學家們開始取一些較小的值1、2、3、6、7、8、9、10、11、12、15、16……並逐一檢查。如果對這些數字都可以找到寫成三個立方的和的辦法，那或許可以猜測，對任何整數 n （不是形如n=9m+4或n=9m+5），都可以表達成三個整數立方的和。

現在，通過使用計算機，科學家已經求解了越來越多的數字。

2009年，採用了哈佛大學的諾姆·埃爾基斯提出的方法，德國數學家安德烈亞斯·史蒂芬·埃爾森漢斯和約格·賈內爾對小於1000的正整數，嘗試了所有絕對值小於1014的解。 他們的結論是：在小於1000的範圍內，只有33、42、74、114、165、390、579、627、633、732、795、906、921和975仍未解決。而對於小於100的整數，僅剩下三個：33、42和74沒有解決。

在2016年的一篇預印本論文中，荷蘭特文特大學桑德·豪斯曼解決了74：

2019年，英格蘭布裡斯託大學的安德魯·布克解決了33：

從那時起，「42」就稱為最後一個小於100的不知道能否表示成三個整數立方的和的正整數。如果沒有解決辦法，那麼「42」的這個數學意義可能給它的神奇找出了一個真正令人信服的理由：它將是第一個似乎可能有解決辦法，但卻沒有找到解決辦法的數字。

然而答案出現在2020年的預印本中，這是由麻省理工學院的布克和安德魯·薩瑟蘭共同進行了巨大計算後的結果。參與這項工作聯網電腦計算時間相當於一臺計算機連續工作100多萬小時，而結果顯示：

最近，數學家們還找到了165、795和906的答案。於是對於1000以下的整數，剩下的只有114、390、579、627、633、732、921和975。

針對這個研究方向，1992年牛津大學的羅傑·希思-布朗還提出了一個更強的猜想：如果一個正整數n可以表示為三個整數立方的和，那這種表達方式應該有無限多種。

這一難題似乎更加讓人望而生畏，任何算法，無論多麼聰明，都無法處理所有可能的情況。例如，在1936年，艾倫·圖靈指出，沒有一種算法能夠解決所有可能的電腦程式的停機問題。但這裡我們是在一個容易描述的，純粹的數學領域。如果我們能證明這種無限性，那將是一件了不起的事。

數字「42」是困難的，但它不是最後一步；數字「42」是神奇的，但它僅僅是浩瀚神奇的數學海洋中的一滴水！