有兩個謎題讓古代的數學愛好者夜不能寐：1）曲線下的面積；2）曲線在一點上的斜率。
在本文中，我們將逐步深入地探討這兩個問題。然後我們會回到求曲線斜率的微積分方法上來。
古代的兩個問題：曲線下的面積和曲線上一點的斜率。讓我們從一個簡單的例子開始。
。求三角形的面積和斜邊的斜率。在上圖中，曲線是一條直線，我們感興趣的是它下面三角形的面積。
這是直線的斜率：
我們要推廣這個過程。用一個公式就能求出斜率和面積。
我一直在說「曲線」。在這個例子中，曲線就是直線。其公式是：
可以通過代入點(1.5，0)和(3.5，4)來驗證。
方程的階是最高指數的值。這裡，階是1。現在我們回到面積和斜率的計算。看看曲線方程的階是怎樣的。
首先，y=2x-3下任意一個三角形的面積是多少？
求面積和斜率的一般情況
開始似乎把三角形的面積完全複雜化了。但是，最後的結果很簡單。這條曲線下的三角形面積是△x的平方。
把階數會從1增加到2。我們用一個x項乘以一個一階表達式。我們會看到這和多項式方程是一致的。曲線下的面積方程會高一個階。
上面冗長的推導是一種常見的方法。通常我們可以從第一行跳到最後一行，然後跳過中間的內容。在本文中，我們不會對高階多項式推廣這個過程。相反，我們將重點研究不同函數的斜率。
多項式函數的斜率
你們已經知道這條直線y = mx + b的斜率是 m，我們將用微積分方法推導它。然後我們將這種方法應用於高階情況。
這樣的一個例子很簡單，但是觀察這個過程和結果。方程的階數從1降到了0。現在我們把這個方法用到曲線上，更高階的多項式。這次，我們從斜率開始。
當點越靠近，切線就越接近曲線的方向。我們來看看關於n次項的斜率。
為了理解分子，我們需要用到二項式定理
根據二項式定理，我們展開了分子的第一項。同時減去分子的第二項。
下一步是把這些都除以分母。這意味著每一項含有△x的指數都將減少1。
最後可以表示任意一項的斜率為：
我們如何處理帶有多項的函數？例如函數4 x+ 3 x+ 7x + 1的斜率是12 x+ 6 x+ 7。可以觀察到：
常數的斜率是零；當x項的係數不是1時，指數乘以係數；三角函數的斜率
我們來看看sinx的斜率函數。
正弦函數的周期為2π。在波峰和波谷處切線是水平的。在這兩點之間，切線的斜率在+1和-1之間變化。
上圖放大了單位圓的一部分。角度θ的微小增加對應於該角度所包圍的弧長的微小增加。在這種微小的規模上，弧線是一條直線。它形成直角三角形的斜邊。
dθ是指角度θ的無限微小變化。當θ增加，sinθ增加值為：dsinθ。同樣cosθ減小d cosθ。
這兩個三角形相似，得到：
這兩個函數，sin和cos，是相同的，但是不同步。看看它們是如何交織在一起的。一個增加，另一個減少：
一旦知道了正弦和餘弦函數，就可以推導出其他的三角函數。但是你需要知道乘法法則和除法法則。
乘法法則
假設你想把兩個函數相乘:
讓我們取兩個通用函數u和v，並將它們表示為矩形的邊。它們的乘積就是矩形的面積。函數的斜率表示函數增加或減少的速率。我們感興趣的是，隨著矩形每條邊的變化，面積如何變化。
面積的增加是由v du + u dv + du dv給出的。假設u和v是x的函數，我們要表示組合函數uv隨x變化的變化量。就像我們對三角函數所做的那樣，我們可以用表示函數斜率的比率來表示這個變化。
分子上的最後一個乘積，du dv可以忽略不計。這是因為(du dv)/dx只包含無窮小，它對結果沒有影響。
讓我們看看下面的這個例子。
這兩個函數在一起。
你能說出哪個函數是原函數，哪個是斜率函數嗎？斜率函數的值總是與原始函數在任意x值處的斜率相匹配。
除法的法則
有一個除法法則。看看你能不能從乘法法則和冪法則中推導出來。用負指數把分母變成分子。這是你應該得到的結果：
指數函數和對數
指數函數以與函數值成正比的速度增長。比例常數是對數。
對數函數的斜率如下：
複合函數求導法則
最後，我們來看函數的功能。
這裡有一個操作的小符號：
將這個過程應用到我們的例子中：
這就是它看起來的樣子，哪個是原函數？哪個是斜率函數？
當微積分剛發明的時候，它缺乏我們現在所期望的嚴謹性。在19世紀，柯西將極限理論應用於微積分。在20世紀中葉，亞伯拉罕·羅賓遜將非標準分析正式化。他的系統定義了超實數——實數的擴展。大多數微積分教科書都使用極限來嚴格地證明微積分定理。在本文中，我採用了一種不那麼嚴格的方法。我沒有像羅賓遜那樣嚴格地定義無窮小。然而，我試圖提取他方法的精髓。