愛因斯坦廣義相對論把引力場和時空彎曲的幾何聯繫起來，而時空幾何又取決於物質分布的情況。那我們用什麼來描述彎曲時空的幾何呢？
圖1 （左）平面上兩點距離；（右）球面上兩點距離（圖片來源：作者繪製）
幾何英文原意為測地術[1]，當我們去測量空間中兩點之間的距離，對於圖1左邊的平面，我們只需要一把直尺就可以丈量兩點間距離。但要測量右邊彎曲球面上的距離，直尺就無能為力了。我們需要一把和球面一樣彎曲的尺子，這樣在不同空間丈量「距離」的尺在幾何上就稱為「度規」，即度量規則。
直尺和彎曲的尺子是兩種不同的度規，數學上用一個「度規張量」表示。度規是廣義相對論的基本幾何量和物理量，確定度規，就確定了時空的曲率、距離、夾角、面積等一切幾何性質，所以廣義相對論的主要研究都集中在確定和研討時空的度規上[1]，場方程實質上給科學家們提供了一個平臺，大家通過不同的物質分布，去解場方程，得到不同的度規，從而了解不同物質分布下時空的幾何性質。
例如最早解出來的愛因斯坦場方程精確解史瓦西度規，描述一個靜態、球對稱的物質分布在其外部造成的時空彎曲；Kerr度規、Reissner-Nordstr m度規和Kerr-Newman度規分別描述了勻速轉動球體、靜態荷電球和勻速轉動荷電球外部的引力場分布，這四種度規也分別對應著四種黑洞[1]。而要描述我們的宇宙，則需要弗裡德曼等人提出來的滿足宇宙學原理的FLRW度規。
挑戰愛因斯坦：動態演變宇宙模型
1. 宇宙學原理和FLRW度規
俄羅斯的數學家弗裡德曼在1917年開始利用愛因斯坦的場方程建立自己的宇宙模型。我們知道愛因斯坦場方程描述物質分布下的時空幾何，所以一個宇宙學模型一般也分成兩部分：（1）時空幾何（2）物質分布。要解這個複雜的張量方程，現代常常藉助計算機。為了簡化方程，弗裡德曼對宇宙的幾何做了如下假設：宇宙在大尺度上是均勻而且各向同性的。也就是說，宇宙中沒有一個地點是特殊的，所有地點都是平權的。這個假設今天被稱為「宇宙學原理」。現代大規模星系巡天顯示，在數百個Mpc的大尺度上，宇宙確實是可以看作整體均勻、各向同性的。
圖2 2DF巡天得到的星系分布（http://www.2dfgrs.net/）
在宇宙學原理假設之後，弗裡德曼立即發現，可以得到很簡單的時空幾何的度規形式。弗裡德曼得到的度規形式後來又由Robertson和Walker各自獨立導出，所以這個時空幾何的度規今天又稱為「FLRW度規」，幾乎所有的現代宇宙學理論都基於FLRW度規，至少在一級近似是這樣[2-3]。
2. 宇宙並非靜態，而是隨時間演變的
與愛因斯坦開始就設定一個靜態宇宙的假設，然後通過添加宇宙學常數來使他的理論符合預期的做法不同，弗裡德曼直接從不含宇宙學常數的愛因斯坦場方程出發，看看採用不同的密度參數的值，可能產生的宇宙模型。弗裡德曼的模型只取決於三個參數：
圖3 （上）宇宙學原理假設下，不同的物質密度決定了不同的時空幾何；（下）不同密度參數下宇宙的相對尺度隨時間的動態演化（膨脹或收縮）[4]
弗裡德曼1922年的文章中，他將宇宙學常數設為0，這樣就沒有力量來抵消引力，宇宙模型就會變成動態演化的。弗裡德曼指出宇宙的演化命運可能有三種，到底是哪一種取決於宇宙開始時膨脹有多快以及包含的物質有多少。如圖3：
圖3下邊的圖片顯示了宇宙從一個非常小的體積開始膨脹，具有初始膨脹速度，隨後在引力的吸引或引力常數的負壓下，宇宙的大小隨時間不斷演化的情況。底部橙色曲線，表示一個高密度宇宙，最終減速坍縮。中間綠色曲線，表示一個平坦的臨界密度宇宙，膨脹率不斷減慢，曲線變得越來越水平。中間藍色曲線顯示了一個開放的低密度宇宙，它的膨脹也在減慢，但沒有臨界密度宇宙那麼大。頂部紅色曲線顯示了宇宙學常數不為0的宇宙，宇宙學常數項是所謂的「暗能量」的主要候選，正是暗能量導致宇宙的膨脹加速。現在越來越多的證據表明我們的宇宙正沿著紅色曲線前進。
關於宇宙的模型很多，但正確的只有一個，能夠反映現實的那個。愛因斯坦認為自己是正確的，他寫了一封投訴信到弗裡德曼發表文章的期刊，質疑弗裡德曼的工作，並認為他的結論「很難有什麼物理意義」。被愛因斯坦這樣世界上最優秀的物理學界大佬質疑，讓弗裡德曼的聲譽瞬間跌入了深淵，雖然弗裡德曼仍然堅持自己的想法，但他沒有敵過多舛的命運。1925年，弗裡德曼還沒來得及獲得同行的承認，便染上了嚴重的疾病，在精神錯亂中去世。他關於宇宙演變的理論，在很長時間裡被埋沒了。
弗裡德曼對宇宙學最革命性的貢獻是，他指出宇宙是一個在宇宙尺度上不斷演化的過程，而不是整體上保持靜止直到永遠。他的宇宙方程，在今天印在了教科書上，作為宇宙學學生的「標準宇宙學的基本方程」。他超越了他的那個時代，那個時候天文學家還沒有找到支持膨脹宇宙的天文證據。多年之後，比利時的牧師也是宇宙學家勒梅特得到了和弗裡德曼類似的結果，但同樣遭到了愛因斯坦的反對，他對勒梅特說：「你的數學是正確的，但你的物理是可憎的。」愛因斯坦錯過了兩次接受膨脹大爆炸宇宙的機會，後來他自己也感嘆到：「為了懲罰我對權威的蔑視，命運讓我自己成了權威。」愛因斯坦固執地堅持靜態宇宙的解，一直到哈勃那個偉大定律的發現。
圖4 （左）弗裡德曼；（中）愛因斯坦；（右）勒梅特
宇宙膨脹（大爆炸）模型的三大證據
1.哈勃定律：
我們很多人都有過這樣的體驗，當我們在鐵路旁玩耍，火車呼嘯而來時，會發現火車的汽笛聲比平時尖銳，而當火車遠去時，汽笛聲又變得低沉。這是因為當波源一邊振動一邊朝我們奔過來時，我們一秒鐘內接受到的波的數量比波源不動的時候增加了，實際效果就是感受波的「頻率」變高了。而波源遠去的時候正好相反，我們會感覺聲音頻率變低了。這種效應就稱之為「都卜勒效應」。
光線同樣也會因為光源的運動產生都卜勒效應，因為紅光波長比藍光長，我們把長波端稱為「紅端」，短波端稱為「藍端」。當光源朝我們移動時，我們看到光頻率變高，波長變短，這就叫做 「藍移」。光源遠離我們時，頻率變低，波長變長，稱為「紅移」。假如光波靜止時的波長是λ0，我們實際接收到的光波長是λ，那麼紅移可以用一個具體的數量z來表示：z=(λ-λ0)/λ0。波源朝向或遠離觀測者的速度越快，紅移、藍移數值就越大，因此，交通警察和天文學家都喜歡利用都卜勒效應來測速度。
圖5 都卜勒效應示意圖
1928年，哈勃在荷蘭和德西特會面，德西特特別關注當時星系觀測到的大紅移現象。為此他自己解愛因斯坦方程，建立了一個沒有物質只有宇宙學常數的空宇宙模型——de Sitter宇宙模型。因為物質密度很小，德西特覺得可以忽略，這個宇宙在宇宙學常數推動下以指數增長。在德西特看來，宇宙就好像一個氣球，星系像是貼在氣球表面上。如圖6所示，隨著宇宙空間網格膨脹，網格點上的星系或人會逐漸遠離，越遠的移動速度越快，他們發出的光到達我們時紅移也越大。我們看到其它星系遠離我們，並不是我們在宇宙中有特殊的位置，而是每個人都會看到別人在遠離。
圖6 （上）德西特認為星系紅移是因為宇宙膨脹，就好像氣球表面的點；（下）空間膨脹示意圖
德西特希望哈勃能夠在觀測中找到上述效應，如果星系距離越遠，由於退行速度更快，所以紅移會更大。這裡要注意區分，此處的星系紅移是由於星系和地球之間的空間膨脹引起的，並不是星系自己在迅速飛離地球，膨脹的是空間背景，而不是背景上的格點，這種空間膨脹產生的速度，我們稱之為「退行速度」，而星系、小張小李等相對網格運動，產生的速度，稱為「本動速度」。退行速度、本動速度產生的紅移效應在成因上是有本質區別的。因為空間膨脹造成的紅移，我們稱之為「宇宙學紅移」。
隨後，哈勃利用威爾遜山的2.5米胡克望遠鏡觀測了24個星系，得到了他一生中最偉大的發現。如同預計那樣，星系越遠離地球退行速度越快，隨距離成正比，距離d和退行速度 V退行的關係為 V退行=Hd。這個關係稱之為「哈勃定律」。退行速度除以距離是一個常數，這個常數被稱為哈勃常數H，描繪宇宙膨脹的速度，是宇宙學中最重要的常數[2]。
為什麼會有這樣的正比關係？我們可以參看圖6的一個大概的示意圖，宇宙膨脹以後，小張和小李的距離增加了1米，而小張和更遠的小王的距離，增加了2米，在小張看來，小王比小李更快地遠離自己，遠離的速度和距離成正比。哈勃常數實際上並不是一個「常數」，它受宇宙密度參數的影響，在不同時期值也不同，所以我們也稱它為「哈勃參數」。
圖7 （上）不同距離的星系光譜比較，從上往下距離增大。可以看到標識為「KH」的鈣譜線越來越往右邊（紅色）移動。（下）哈勃在1929年發表的星系速度（縱坐標）與距離（橫坐標）關係圖[2]。
我們可以利用哈勃關係，從觀測到的紅移，去估計星系的距離。但這就要求先用「紅移無關」的方法先精確測出一批星系的距離，定出哈勃常數。歷史上哈勃常數不斷修正，一開始哈勃測出來的H=500，1936年哈勃考慮了星際消光，改為526。現代，H的測定多樣化和系統化，最近綜合PLANK衛星、重子聲波振蕩和超新星數據得到的哈勃常數為H=67.74 ± 0.46 kms-1Mpc-1 [5]。
1931年，愛因斯坦到威爾遜山拜訪哈勃，他終於承認了宇宙確實在膨脹，並把宇宙學常數稱為自己「最大的失誤」。哈勃不知不覺發現了宇宙膨脹理論的第一個證據，從此，大爆炸模型再也不僅僅是個理論。
哈勃定律的第一個含義是，我們已知星系的退行速度，可以求它的距離，或者反過來已知距離求退行速度。而第二個含義是——我們可以用哈勃定理估計宇宙的年齡。
假如宇宙中所有的物質最開始聚集在一起，哈勃得到的哈勃常數是500 kms-1Mpc-1，也就是說，在1Mpc遠處的星系，退行速度是500 kms-1。假如宇宙的膨脹速度不變，我們根據哈勃定律，退行速度 = 哈勃常數×距離，而
正好是哈勃常數的倒數，這個時間代表的宇宙年齡稱為「哈勃年齡」。我們可以算出星系用了多長時間從聚集在一起到離開1Mpc距離。我們用哈勃最初的常數得到：
這個結果比當時測到的地球年齡恆星年齡小得多，讓宇宙學家們頭痛不已。用今天測到的哈勃常數來估計，今天測到的哈勃常數大約是70 kms-1，我們在19億年上再乘以500/70，得到哈勃年齡是136億年，這就很接近了。
精確的宇宙年齡需要利用弗裡德曼的宇宙演化模型結合現在觀測得到的哈勃常數和宇宙密度參數來計算，最近得到的宇宙年齡估計值是13.799 ± 0.021 Gyr[5]，大約138億年。
哈勃定律中，哈勃距離、宇宙學視界這幾個概念很容易混淆不清，我們現在來理一理。
哈勃距離
在哈勃定律中，退行速度 = 哈勃常數×距離，如果距離足夠大，使得該處的退行速度為光速c，我們就稱這個距離為「哈勃距離」或「哈勃半徑」。今天的哈勃距離可以用今天的哈勃常數得到：
按照目前的觀測，宇宙在加速膨脹，在哈勃距離之外的星系，它們今天發出的光，我們永遠也無法接收到了，但是它們過去發出來的光，我們還是能看到的。
宇宙學視界（粒子世界、可觀測宇宙）
宇宙學視界、粒子視界、可觀測宇宙這三個名詞是同一個概念，它限定了過去的事件可被觀測到的距離，定義了過去和現在有因果律聯繫的區域。具體定義是：有一束光從宇宙誕生那一刻發出，在今天正好被我們觀測到，這個時間範圍內光走過的距離，我們用它作為半徑，以觀測者為中心做一個球，這個球的內部就是可觀測宇宙，球面就是粒子視界。具體的計算和前面的宇宙年齡一樣，需要利用弗裡德曼模型，然後結合現在觀測到的哈勃常數、宇宙學密度參數計算。根據最近觀測的結果，我們現在的可觀測宇宙半徑約為470億光年。而且，隨著宇宙的膨脹，可觀測宇宙的範圍還在不斷擴大，越來越多的星系不斷進入我們宇宙的可見部分。
圖8 （上）可觀測宇宙（圖：Andrew Z. Colvin）（下）光線在膨脹宇宙中傳播示意動圖
有人會提出疑問：「既然宇宙中沒有什麼速度可以超過光速，而宇宙的年齡是138億年，那光最多也只能走過138億光年的距離，為何是470億年呢？」這是因為提問者是用靜態宇宙的思維，實際上宇宙在不斷膨脹，光發出時星系離我們要近得多，而138億年後當時發光的星系已經隨宇宙膨脹跑到470億光年之外。另外，空間的膨脹，並不違反狹義相對論，空間膨脹是可以超過光速的。而星系和物質相對於空間網格的本動速度，才要受到光速為極限速度的制約。
2. 宇宙的原初核合成
天然的化學元素有90多種，它們在自然界中含量差別很大，各種元素的質量百分比，稱為元素的豐度。人們在觀測從地球到恆星、星系的化學組成後，發現宇宙中不同地方的同類天體化學組成很相近。總的來說宇宙中最豐富的的元素是氫，佔原子總數93%和質量的76%。其次是氦，佔原子總數7%和質量的23%。僅氫氦幾乎就佔了原子數的100%和質量的99%[2]。
星系名稱 | 豐度 | 星系名稱 | 豐度 |
銀河系 | 0.29 | NGC4449 | 0.28 |
小麥雲 | 0.25 | NGC5461 | 0.28 |
大麥雲 | 0.29 | NGC5471 | 0.28 |
M33 | 0.34 | NGC7679 | 0.29 |
表1 典型星系的氦豐度[2]
宇宙中各處物質元素組成上的統一性，說明宇宙中的元素有一個統一的起源和演化方式。20世紀40年代，伽莫夫和他的學生阿爾法對宇宙中元素的來源產生了興趣。他認為，在宇宙誕生之初溫度非常高，就像一個各種基本粒子的大熔爐，隨著宇宙膨脹溫度降低，中子、質子數量開始穩定，相互碰撞合成2H，進一步合成為3He和3H，接下來形成穩定的4He。伽莫夫雄心勃勃地認為，4He形成以後，會進一步通過中子俘獲和電子衰變過程，產生出化學元素表上的所有元素。通過計算，伽莫夫得到大爆炸產生的宇宙氦豐度為25%。這個理論值和觀測結果符合得非常好，是大爆炸宇宙模型最重要的預言之一，而其它任何宇宙學模型都不能給出這樣一個和觀測相符的氦豐度預言。
但是，在計算中伽莫夫發現了問題，他的理論對非常輕的元素很有效，但是，自然界不存在原子量為5和8的穩定元素，這樣就無法通過它們作為橋梁生成更重元素。例如我們實驗中可以用中子轟擊4He得到5He，但是5He很快衰變回到4He。可以生成8Be，但會不穩定裂變為兩個4He。這意味著大爆炸只能生成從氫到氦的輕元素，然後就結束了。實際上，以氦為基礎進一步生成的是7Li，它的豐度也與目前觀測結果相符。但是7Li豐度太低，無法產生進一步核聚變。當宇宙膨脹溫度繼續下降，粒子動能不足以克服原子核的庫倫勢壘，熱核反應就停止了。所以，伽莫夫一開始認為大爆炸能生成宇宙中所有元素的設想失敗了。
當時，另外一個偉大科學家霍伊爾堅決反對通過核合成提供的大爆炸的證據。他提出了自己的「穩恆態宇宙模型」來抗衡大爆炸理論，並和同事在20世紀40到50年代開創了恆星核合成理論，展示了宇宙中的元素從氫一直到鐵，如何在恆星中合成出來。但是他們也同樣遇到了和伽莫夫他們同樣的問題——5He和8Be不穩定。從4He生成下一步12C有一個可能性是2 4He →8Be，然後 4He+8Be →12C。但是8Be存在時間不超過10-15秒，且氦鈹聚變需要很長的時間窗口，反應很難進行。
後來，霍伊爾認為「既然以碳組成的霍伊爾存在，那這個反應必定存在」。他猜測12C有一個激發態[6-7]，比普通12C能量高7.65Mev，如果這樣激發態的12C存在，以上反應即可迅速進行。霍伊爾找到加州理工凱洛格核實驗室的福勒讓他幫忙實驗尋找高7.65Mev的激發態12C，福勒的小組用了10天時間，發現了12C的一種新的激發態，正是7.65Mev，和霍伊爾說的完全一樣。這樣霍伊爾就解決了核合成的問題，他證明了碳是在2億攝氏度下，由2 4He →8Be，然後 4He+8Be →12C反應合成。這個過程雖然很緩慢，但數十億顆恆星經過數十億年的演化，足以產生大量的碳。
圖9 （左）伽莫夫；（右）霍伊爾
霍伊爾不相信大爆炸理論，1949年有一次BBC廣播公司邀請伽莫夫和霍伊爾就宇宙起源問題進行辯論。霍伊爾在廣播間不斷抨擊伽莫夫的理論，他說「這個大爆炸的想法在我看來並不滿意……」從此，宇宙膨脹演變的理論有了新的名字——大爆炸，而諷刺的是這個名字是它最大的反對者霍伊爾給起的。實際上，雖然霍伊爾解決了核合成的問題，但他預言的氦只能在恆星中產生，這樣含量遠低於實際觀測的，而且只能在恆星內核周圍才能發現它。而如前所述，宇宙中的氦含量非常豐富，接近25%，而且分布均勻，氦豐度只有伽莫夫的大爆炸理論能夠正確解釋。
今天我們知道，伽莫夫和霍伊爾都有對的地方。宇宙中物質元素的來源是這樣的：
（1）氦、鋰、鈹、硼這些輕元素，只能來自宇宙早期大爆炸的核合成；
（2）到鐵族為止的重元素，由恆星內部核反應生成；
（3）重於鐵的元素，主要在超新星爆炸過程中形成。[2,3]
圖10 輕元素豐度與重子密度的關係[4]
用宇宙學標準模型計算出來的輕元素豐度，與宇宙中重子密度密切相關。圖10中橫坐標是重子密度，縱坐標是相應的重子密度下產生的各輕元素豐度，紅色豎條區域表示觀測到的輕元素豐度允許重子密度變化的範圍。宇宙核合成理論和觀測結果高度的相符，在天體物理學中是罕見的，有力地證實了大爆炸宇宙模型的正確性。
3. 宇宙微波背景
1948年，伽莫夫和阿爾法、赫爾曼提出了關於宇宙微波背景輻射的假設：宇宙大爆炸早期，溫度很高，整個宇宙電離成了一鍋等離子湯，只有自由電子和原子核，沒有原子。而光線在這鍋湯中傳播時，沒有多遠就被散射、吸收或發射，無法傳播很遠，所以整個宇宙看起來就像一團迷霧一樣不透明。這種多次散射產生了「熱」的「黑體」光譜。宇宙膨脹到約38萬年時，溫度降到3000K，這個溫度下電子和原子核終於可以形成原子，光線不再被散射或吸收，一瞬間宇宙變得透明了，宇宙產生了第一束光。這個時期發出的光線一直瀰漫在宇宙中，隨著宇宙膨脹，光線的波長也被拉長，到現在正好在微波波段，表現為空間背景上的各向同性微波輻射，並且這個輻射具有黑體譜。
當時伽莫夫他們計算出宇宙微波背景輻射的溫度約為5K，這麼低的溫度在那個時代沒有任何儀器能夠測量。在很長的時間裡，他們的預言被大家忽略了。一直到將近20年後，1964年，美國的兩位工程師彭齊亞斯和威爾遜測試他們新設計的號角天線，當他們測試來自天空的噪聲時，發現有一個3.5k的微波噪聲無論如何都不能扣除。在認真檢查了天線，並清除了天線上的「白色塗層」後，噪聲仍然存在。這個來歷不明的輻射與天線的指向無關，也和地球、太陽運動無關，並具有黑體輻射特徵，溫度為3.5k。彭齊亞斯和威爾遜不知道，他們偶然發現了1948年伽莫夫預言的微波背景輻射。因為這個發現，他倆獲得了1965年的諾貝爾獎。
至此，關於宇宙來自大爆炸還是永恆靜態的爭論告一段落了，微波背景輻射的發現是至關重要的。霍伊爾1965年在《自然》雜誌上正式承認失敗，放棄了穩恆態理論，他被微波背景輻射和宇宙中富含氦這兩個觀測結果擊敗了。
鑑於微波背景輻射的極端重要性，NASA在1989年發射了COBE衛星對其進行專門研究。1990年美國天文學會的一次會議上，當COBE團隊的領導者馬瑟最後一個上場，向人們展示COBE的結果時，會場騷動起來，很快全場集體起立，爆發出了經久不息的掌聲。幾乎所有人都同意溫度為2.735K的微波背景輻射確實存在。COBE團隊的馬瑟和斯穆特獲得了2006年諾貝爾獎，諾貝爾獎評委會的公報說，他們的工作使宇宙學進入了「精確研究」時代。在COBE的基礎上，WMAP、PLANK衛星相繼升空，對宇宙微波背景輻射進行更精確的測量。微波背景輻射為宇宙大爆炸理論提供了最有力的支持。
圖11 （上）宇宙微波背景的探測歷史[4]；（下）COBE衛星亮度分布譜，特性與2.735K黑體譜驚人地相符，圖中方塊為所測數據點，曲線是該溫度的黑體輻射理論曲線[8]。
回顧奧爾勃斯佯謬
在宇宙大爆炸的背景下，我們再回頭審視奧爾勃斯佯謬，就可以給出合理的解答了。為什麼夜空是黑的？[2,3]
可觀測宇宙不是無限的，而是具有有限年齡，在過去某時刻發生了大爆炸。所以到達我們的光只可能來自最大的視界，流量是有限的；
恆星僅僅在一段有限時間內發光，所以來自最遠的恆星光流量將減小一個因子；
宇宙膨脹導致大紅移時所有頻率光都會有衰減。
作為大爆炸的遺蹟——2.7k的宇宙微波背景輻射，不管白天還是黑夜始終存在，在這個意義上，奧爾勃斯是對的。