具有粘性阻尼的系統，自由振動會逐漸衰減，並最終停下來。但是，當系統受到外界動態作用力的持續激勵時，系統的振動將會持續下去。系統在外界持續激勵下引起的振動稱為強迫振動，它是系統對外部激勵過程的響應。系統的響應是指外界的激振所引起系統的振動狀態，如位移、速度和加速度等。系統的激勵可以是力，也可以是位移、速度和加速度。
激勵隨時間變化的規律可以分為，簡諧激勵、非簡諧周期性激振和隨時間任意變化的非周期性激振。簡諧激振力是按正弦或餘弦函數規律變化的力，如偏心質量引起的離心力，載荷不均或傳動不均衡產生的衝擊力等；非簡諧激振力，如凸輪旋轉產生的激振、單缸活塞-連杆機構的激振力等；隨時間變化的任意激振力，如爆破載荷的作用力，也可以是位移、速度和加速度。
諧波激勵是最簡單的激勵，系統在諧波激勵下的響應也是簡諧的。對於線性系統，諧波激勵及其響應均滿足疊加原理，複雜諧波的激勵可以分解為一系列簡諧激勵，然後再對每一個簡諧激勵的響應疊加，即可獲得總的響應。諧波激勵下的響應問題是強迫振動中最簡單、最基礎的問題。
無阻尼系統的強迫振動
1. 力學模型
受迫振動方程：
非齊次通解=齊次通解+非齊次特解
齊次方程通解：
如果ω ≠ωn
特解：
待定常數：
非齊次方程通解：
如果ω =ωn
特解的形式：
待定常數：
特解：
非齊次方程通解：
2. 受迫振動的穩態振動
從方程的通解可以看出，振動的位移由自由振動、受迫振動兩部分組成。教科書中通常在此引入阻尼，這樣振動在阻尼的作用下自由振動部分逐漸衰減，若干周期後只剩下受迫振動部分。這一點並不符合初始的無阻尼假設，只是簡化分析上的考慮，但是應該看到受迫振動部分才是整個解中值得關注的關鍵部分。
這樣方程的解可以簡化成：
振幅：
由F=kx，可令Bs=f0/k，它相當於激振力幅值f0 靜作用在彈簧上所產生的靜變形。
由此可見，強迫振動的頻率與激振力的頻率相同，即系統的強迫振動與激振力具有相同的變化規律；強迫振動的振幅決定於系統本身的物理性質，激振力的大小和頻率比與初始條件無關；其振幅比由頻率比決定。
當λ＜1時，隨著λ 的增大，即ω 增大，振幅比B/Bs也相應地增加，系統的振幅增大；振幅比B/Bs為正，受迫振動與激振力同相，所以受迫振動與激振力之間的相位角ψ=0。λ 很小 (ω<<ωn) 時，振幅比B/Bs≈1，即B=Bs，振幅B 幾乎與激振力幅值引起彈簧的靜變形Bs相等，此時系統的靜特性是主要的。λ>>1(ω>>ωn) 時，振幅比B/Bs趨近於0，當激振頻率ω 遠遠超過系統的固有頻率ωn時，振幅反而很小。λ=1(ω=ωn)時，振幅比B/Bs無窮大，即受迫振動的振幅將達到無窮大，即出現共振現象。
共振的振幅B：
對於確定的系統而言，共振振幅B 與激振力的大小，作用時間成正比；與固有頻率成反比。由此可見，固有頻率越低越危險，激振力越大振幅越大，作用時間越長振幅越大。因此，在共振不可避免時，可以從這三個方面入手控制共振強度（振幅）。
有阻尼系統的強迫振動
1. 力學模型
圖1 強迫振動力學模型
令ω=k/m，2n=c/m，q=F0/m
它的通解可以用二階線性常係數齊次微分方程的通解x1(t ) 與方程的特解x2(t ) 之和表示，即：X=x1(t )+x2(t )。
其中，ψ 為位移落後與激振力的相位角，B 為受迫振動的振幅。
在有阻尼的情況下，x1(t ) 只在振動初期某一較短的時間有意義，隨著時間的增加，它將逐漸衰減殆盡。
將x2(t ) 代入方程，得到
令λ=ω/ωn，ζ=n/ωn
2. 穩態振動
有阻尼單自由度系統在簡諧外激勵下的穩態振動有如下規律：
對諧波激勵的響應仍然是等幅諧波，運動規律有激勵頻率ω、振幅X、滯後相位ψ 確定。響應頻率與激勵頻率相同，響應滯後激勵的相位角為ψ。滯後相位角ψ 與無阻尼響應的初相位不同，前者是由於系統的阻尼引起，而後者是由初始條件確定的。強迫振動的振幅決定於系統本身的物理性質、激振力大小和頻率比，與初始條件無關。有阻尼振動的幅頻特性
將振動方程的解x2(t ) 振幅B 變形可得下式：
圖2 有阻尼振動的幅頻特性曲線
從圖2可以看出：
影響振幅的因素主要是激振力幅值F0、頻率比λ 和阻尼比ζ。受迫振動的振幅B 與激振力幅值F0 成正比。因此，要改變受迫振動振幅B，只需改變激振力的幅值F0。
頻率比λ對振幅B 的影響。當λ 很小 (ω<<ωn) 時，振幅比B/Bs≈1，即B=Bs，振幅B 幾乎與激振力幅值引起彈簧的靜變形Bs 相等；當λ>>1(ω>>ωn) 時，振幅比B/Bs 趨近於0，振幅B 很小；當λ≈1(ω≈ωn) 時，在ζ 較小的情況下，振幅B 則很大，在無阻尼狀態下，振幅比B/Bs 趨於無窮大，受迫振動的振幅將達到無窮大，即出現共振現象。使振幅或振幅比達到極值的頻率稱為共振頻率，用ωr 表示；ωd為有阻尼固有頻率，ωn 為無阻尼固有頻率。求解極值可得：
阻尼比ζ 對振幅的影響。當，有阻尼時的幅頻響應曲線均在ζ=0 的幅頻響應曲線的下方，這說明阻尼的存在使得振幅B變小；當，在ω<<ωn 和ω>>ωn 時，計算振幅可以不計阻尼的影響；當，在共振區內，振幅的大小對阻尼敏感，其幅值隨著阻尼增加而迅速減小，因此該區域為阻尼敏感區。在共振區內可以通過增加阻尼來有效地減小系統的振動幅度，但在共振區外阻尼對減小系統的振幅的作用非常有限。
有阻尼振動的相頻特性
圖3 有阻尼振動的相頻特性曲線
由圖3可見，小阻尼振動系統的相頻特性：
當激勵頻率很低時，相位角滯後很少，說明振動位移幾乎與激勵是相同的。但隨著激勵頻率的增加，相位角滯後程度增大。當激勵頻率很高時，相位角滯後超過π/2，說明振動位移幾乎與激勵是反相的，這主要是質量慣性所導致的結果。當激勵頻率等於固有頻率時，即λ=1時，ψ=π/2。在阻尼很小時，當λ＜1，相位角趨於0；當λ＞1，相位角趨於π。對於ζ=0 的系統，在λ=1 時，相位角ψ 由0突然變為π，即由同相突變為反相，這種現象稱為倒相。
有阻尼振動的總振動響應和過渡過程
與無阻尼系統一樣，有阻尼受迫振動系統的總響應也由自由振動和受迫振動兩個部分構成。初始階段，自由振動和受迫振動同時存在於系統之中，由於阻尼的存在，系統總響應中的自由振動分量會很快被衰減殆盡。在系統達到穩態振動之前的振動過程，稱為過渡過程。
圖4 瞬態振動（過渡過程的振動）
參考文獻：
[1] 聞邦椿 等編著 機械振動理論及應用[M]，北京：高等教育出版社，2009.5(2015.1重印)
[2] 鮑文博 等編著 振動力學基礎與Matlab應用[M]，北京：清華大學出版社，2015(2019.8重印)
[3] 陳奎孚 編著 機械振動基礎[M]，北京：中國農業大學出版社，2010.12[4] 顧海明,周勇軍 編,機械振動理論與應用[M], 南京:東南大學出版社 2007.2
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