數學教育是知識傳遞鏈。新的數學，特別是改變數學基本性質的新發現，對這個知識鏈的內容產生壓力。Voevodsky 用拓撲學的同倫論建立了新的數學基礎，這裡對新知識在數學教育鏈傳遞的一些問題、建議和對英才數學教育的影響進行探討。
撰文| 黎景輝（首都師範大學數學科學學院講座講授）
來源 | 和樂數學，原載於數學教育學報（2014 年 2 月 Vol.23, No.1）
黎景輝
1 引言
小學中學大學數學教育是一個連在一起的有機體，變動任何一部分都會影響全身。可以把從小學到大學的數學教育看作一個知識傳遞鏈，也可以做個模型把這個知識傳遞鏈看作一根水管，數學知識就在這水管中流著。
記得楊振寧先生的父親楊武之教授說，民初中國大學數學系只是講授三角、幾何、二次方程。今日這些已是中學數學的標準課程。這就是研究者在這裡所講的：數學知識在這管裡流著，以前是大學數學的內容，現在已經流到中學去了。同樣，現在大學本科數學的主力課程是矩陣線性代數，歐拉-黎曼式微積分，微分方程是 19 世紀的數學，在 21 世紀是否可以把這些課程下移，是否可以在大學本科講授多一些 20 世紀的數學呢？
現代科技高速前進，新的數學和數學新的應用不斷湧現。就像在水管的源頭不停有水湧出來要灌入這水管裡。舉個例子，Voevodsky（北京 2002 年 Fields 獎得主）在 2012 年提出：當今的數學已是在末路。現行以集合論作為基礎的數學已沒法解決數學以內至工程之中的數學問題！他高舉新的數學革命旗幟，他提出 Homotopy Type Theory 作為新的數學基礎，重新再造數學！這個新的數學革命會引起什麼數學教育的問題呢？
這裡要討論的是中學、大學數學教育整個知識鏈在新世紀要面對的一些問題與困難。
2 新數學
過去幾百年每代的人都會聽到幾次「新數學」這句話。這個「新」字有「時間」的意義。相信未來會有許多「新」的數學會出現。不過在這裡只想談談 Voevodsky 的革命性的「新」的數學基礎！
借 Voevodsky 的革命性的「新」的數學基礎為例子提出這樣的問題：要設立什麼機制使得「新數學」是經常的、連續的溶入大、中、小學的數學課程。這裡不是指十年一次那種天翻地覆的大改變。
在工業技術上國外企業重視知識鏈的高速傳遞。中國企業與國外企業的差距表現在自主創新能力的不足。國外企業重點投入新原理、新技術的創造與應用。國際電腦公司 IBM 的 Watson 研究所竟是一座城（Yorktown Heights, 紐約州）！為了快速投產，中國企業往往是型號牽引跟蹤式的研究。忽視知識鏈的整體性和傳遞速度。中國的工程師從來沒有看過美國或俄國現役的第五代的攻擊核潛艇和洲際飛彈核潛艇，只好試驗造第二代的核潛艇。中國十萬人航天工業的探月技術是有個別的突破，但整體技術還未達到 40 年前美蘇可以做到的。一位兩彈一星專家曾經提醒道：「我們不知道他們怎樣做，他們知道的也不會告訴我們。」不要忘記 20 世紀六七十年代的間斷，今日中國還是不會造電腦晶片（CPU），大型噴射機用的渦扇發動機，大型船艦用的核反應堆，射程 1.5 萬公裡多彈頭重型固體燃料飛彈，巡航飛彈所攜帶的小型核彈頭，魚雷發射潛艇對空飛彈。也許這些只是需要改進現有數學的應用，不過如果一個「新」的數學成功了，繼而引起工業技術的大革新，但我們的數學教育卻沒有適當地反映這些新潮流，以至自己的工藝又落後幾十年！那大家的過失就大了！
Voevodsky，蘇聯人，莫斯科國立大學畢業，美國哈佛大學博士，導師是蘇聯人 Kazhdan，現為在美國 Princeton 的高等研究所（IAS）教授（編者註：Voevodsky教授於2017年逝世）。Voevodsky 第一個創新的工作是用多值映射解決在代數幾何範疇是沒有足夠多代數映射可用來構造連續同倫的問題。用此他解決 Milnor 的一個代數 K 理論裡關於二次型的問題，在 2002 年獲得菲爾茲獎（2002 年第 24 屆國際數學家大會在中國北京舉辦，頒獎式在北京人民大會堂舉行）。
在此簡單地介紹這個「新」的數學基礎。故事要從 19 世紀末 20 世紀初開始。那時數學家極希望把數學建立在一個嚴密沒有內存矛盾的基礎上。當時研究數學基礎（Foundation of Mathematics）的 3 個主要派系是：
(1)Formalism（形式派）。這一派認為數學是一個形式系統。所謂形式系統包括：符號、公理、推理法則和定理。可以把推理法則看作符號的組合法則 (deduction rules are combinatorial rules)。形式系統的基本要求是不存在互相矛盾的定理。形式系統是與現實世界知識互相獨立。正如討論數學與物理的關係，可問：怎樣把形式系統內的定理應用到現實世界 (Anwendungsproblem)，但這是形式系統外的問題。主要領導人有 Hilbert 和 Godel。Hilbert 的主要著作：《幾何基礎》，這是中國從事計算機自動證明的人都很熟悉的一本書。還有他和 Bernays 合著的《數學基礎》。
(2)Intuitionism（直覺派）。這一派認為數學的推理只是用了簡單的、傳統的邏輯，而傳統邏輯的推理只是用了「子集」這個想法。實際上沒有理由如此地限制推理。他們認為原始的數學概念來自直覺。只容許用構造法 (Constructive Method) 導出新的定義。第一個系統地這樣想的人是 Brouwer，其他人還有 Poincaré、Weyl 和 Heyting。
(3)Logicism（邏輯派）。他們認為可以在一個邏輯系統內定義所有數學概念和證明所有數學定理。這樣看「數學」是一種邏輯結構。Russel 和 Whitehead 在他們的《數學原理》就建立了這樣的系統。亦可參看所引 Frege 的著作。
在這裡不打算批判這些觀點及解釋為什麼這些理論的發展忽然停下來。請隨研究者跳過一世紀到 2012 年。Voevodsky 提出對數理邏輯中的 Martin-Lof 的直覺類型論(Intuitionistic Type Theory) 給以同倫論 (Homotopy theory) 解釋，以此建立「以計算為基礎」的數學。Voevodsky 的觀點是：定理的證明是形式系統內在的一部分。證明的正確性的檢驗就像程序的測試與性能分析一樣。在這個觀點下，就像類型論岀現在函數式編程 (Functional Programming) 一樣，他發展同倫類型論(Homotopy Type Theory) 作為數學基礎。這樣他對數學「證明」給了新的定義，本質上改變了數學，所以可以說是一個數學革命。在這種意義下數學會怎樣發展呢？Voevodsky 為他的想法開設了一個網站：homotopytypetheory.org。
在這同一時期，哈佛大學的 Jacob Lurie 快將完成了 Quillen 的想法的第一步：把同倫論溶入代數幾何。這就是研究者在《談談代數數論》(《數學通報》) 一文中所說的第五波：把交換環範疇變為單純形環範疇 (Category of Simplicial Rings) 得出的代數幾何在數論的應用。
Voevodsky 和 Lurie 都在談同倫論。但是 Voevodsky 講的是數學基礎，什麼是證明，如果擴大證明的定義，將會產生很多新的數學。另一方面在 Lurie 的理論，他需要使用 Higher Category 理論，他為此寫了一本 Higher Topos 的書。雖然還未弄清楚，Voevodsky 認為他的理論是與 Higher Category 有關係的。
這好像說：同倫論正在揪起一場數學革命，但卻沒有說：放下現有的一切，推行 Voevodsky-Lurie。研究者只是說：請想想怎樣不斷地把新思想輸入數學教育系統。只是說：有些新思想可能會引起基本的改變，如果傳遞太慢，會有非常嚴重的不良後果。目前情況是，不但舊的如 Typed Lambda Calculus，就是新的 Higher Category 在中國沒有中文書，也沒有在數學系開課！
同倫論只是一個例子而已！相信在計算機理論、物理、化學、生物學將會有新的數學等待大家納入自己的課程內。比如計算機系講稠密線性代數 (dense linear algebra)，很少聽說數學系開這樣的課。
3 內容傳遞
所謂數學教育知識鏈的「內容」，簡單地說，便是學校老師所講授的數學課的內容。
建議把部分 20 世紀的數學更早地教給部分學生。這將同時影響中學和大學的數學課程。下面將分成兩個部分來討論。
附帶說兩句：研究者不完全同意西方 20 世紀兒童教育理論，把數學學習看成遊戲，把數學的內容全換作日常的實物，表面上學生更易懂、更快樂，結果遊戲地位過高，學習態度不嚴肅，學習內容膚淺，學生養成對科學的結構性的反感與恐懼。請留意 2013 年英國教育部就宣布改革要求換回傳統嚴謹的數學！(見文 [24])。遊戲是一種學習方法而已，因人因時而異，切勿以此為主。
研究者也不相信教學生智商測試題便是數學教育。應反對用智商測試題代替數學考試，要注重基礎數學的教學與考試，反對那些選擇題的簡易考法。這只不過是用來篩選的一種平價快速行政手段。得出來的是念口訣做了千萬道例題的人，不一定是有學問，會數學，有能力的人。很不幸中國一些機構從西方或中國香港的大學的人事管理學系學來這種所謂現代科學方法用來招聘。智商變得太重要了！
研究者不打算辯論數學教育理論、教育哲學、青少年學習心理學和教育政治學，等等，只想講內容。新的數學不停地增加。如果我們在 21 世紀的中學大學不多教一些 20 世紀的數學，則中國民眾的知識鏈會岀現像「公路交通堵塞」一樣的現象，已經正在學校教的數學不動地停在路中間，另一邊新的數學不停岀現在路的前頭，無法進入。大家都會同意國民教育不進步對整個國家的經濟發展沒有好處。
(1) 中學部。研究者建議在高中建立如大學一樣的選課制度，讓有能力的學生多學點新的數學內容。高中建立適當的課程體系以配合新的數學課程結構，利用選課制度使中學數學教學動態地完成知識傳遞任務。請注意：當把新的內容放到中學時，並不是說要把這個傳遞數學的管道的半徑加大了，不是說在中學裡數學課程加大了，老師的教學量加多了，而是說：當部分大學的內容流到中學去的時候，部分中學的數學內容流到小學去，這樣教學量不致改變太大。以下討論 4 點。
①「矩陣線性代數」。這是可以在中學教的，最少開始時可以講矩陣與線性方程組求解，將來才加入線性空間和線性變換。
②「歐拉-黎曼式微積分」。可能是受蘇聯教科書的影響，現在常把「微積分」和「數學分析」合在一起教。結果有相當多的學生兩樣都學不好！「微積分」這樣重要並非常有用的工具學不好，其後的便沒法學了。項武義教授在國內出版過一本「微積分」教科書。此書一方面反映把「微積分」和「數學分析」分開教的觀點，另一方面反映他在美國數十年教大學的經驗。這是很值得參考的教材。研究者認為「歐拉-黎曼式微積分」是可以在中學教的。王昆揚教授嘗試過在北京十一學校教「數學分析」。這個試驗成功的一個原因是師生都很優秀。對全國中學而言，在中學裡從教「微積分」到教「數學分析」是一個需要時間的「內容傳遞」，是急不來的，也不是立個法便會發生的。
③現在少年都會用電腦。以上矩陣線性代數和微積分都很適合解說應用電腦的好處。隨著中學生學會了用電腦解決數學問題，更多人想用 Maple、MATLAB 和 Mathematica 這樣的軟體。試想全國有 2000 萬中學生每人付 200 美元買一份美國的計算軟體，對整個國家來說這是一個很大的金錢輸出！建議自然科學基金和教育部聯手出錢造一個中文版類似 MATLAB 的軟體，免費給大家使用；建議教育部成立團隊創建和支援免費教育軟體；建議中國免費教育軟體用免費的公開的 Unix（Linux）來寫。
④關於幾何的教學內容的兩點看法。
（甲）在 20 世紀六七十年代香港的中學教二、三維解析幾何學和幾何拓撲學（橡皮幾何一 rubber geometry, 繩結- knots）。當時進口的英國教科書現在在香港全都消失了。大概學校已不教了，很可惜。研究者也念過蘇步青先生的《高等幾何學》，比如書中解釋矩陣的對角化與三維空間的二次曲面分類的關係，把矩陣的對角化圖象化了，看得見了！今日有電腦之後，無論中學生和大學生都會明白這種幾何學，都會容易接受初等的計算幾何學。這又可以配合前面所建議的：電腦在線性代數和微積分中使用。20 世紀 60 年代從俄文翻譯的一些給中學生看的幾何學的書，現在都找不到了，幸好今日有更好的書，如 Shafarevich 與 Nikulin 寫的，或者是在網上莫斯科獨立大學幾何講義。這些書講的幾何都是有很多圖象的。研究者建議加強直觀幾何學（geometric intuition）的教育。有圖可看的幾何，可以提供豐富的例子幫助檢驗抽象的幾何學。展開直觀幾何學的教育的困難之一是教材的問題，尤其是缺乏教科書加上相配的動態幾何圖象電腦軟體。
（乙）現在中學常把學平面幾何學習換為難題集中營。學生的幾何解題行為已被鍛鍊成心理學裡的條件反射行為。這樣，當老師從更高的觀點講平面幾何的結構時學生便沒有興趣了。建議完全改變現行的幾何教法。在（甲）中注重幾何的直觀幾何對象，在（乙）中直接面對問題：把「公理系統」這個概念作為數學內容在這知識鏈內下傳。利用歐幾裡得平面幾何作為「公理系統」的基本例子來教授「數學結構」。透過公理的變化來理解「公理」與「數學結構」的關係。這樣利用「平行公理」的更改就很容易引入 19 世紀的非歐幾何的一些基本模型。要把平面幾何從難倒學生的題海中解放出來，讓學生了解：從假設到結論是一個邏輯推理過程，更理解：由電腦程式所證出來的結果是需要從給定公理開始的。這一種理解和訓諫使學生明白包括數學的所有理論科學的基本精神和結構。這種邏輯思維和系統科學是訓練科學家和工程師的非常重要的基礎。為了中國的工業生命，這是不可以放棄的！這不是不可能做到的，過去 3 年北師大實驗中學初中幾何教學就成功嘗試過。
（2）大學部。建議大學數學課基本化，也就是讓部分有能力的學生修讀加強基本化的課程。這裡想介紹幾件可能做的事。
①數學分析。2001 年北京師範大學的王昆揚老師出版了一本全新的「微積分」教科書一一《簡明數學分析》。王老師說「打破常規之處，就是用 Lebesgue 積分取代 Riemann 積分……20 世紀創立的 Lebesgue 積分理論克服了 Riemann 積分的缺陷……」這本書真的做：在 21 世紀多教一些 20 世紀的數學。研究者認為不應用這本書去批判這個想法。第一，中國有 300 年寫「微積分」教科書的豐富經驗，單是中國今天就有上百種「微積分」教科書。王老師這本書是第一本，是個明智的開始吧！這樣的事太少了。多些人多寫幾本，慢慢就把路找出來了，不用等學外國人怎樣做的。第二，對那些在中學已學過以計算為本的「歐拉-黎曼式微積分」的學生來說，王老師的說法便是容易自然了。
②邏輯、集合論、一般點集拓撲學與範疇學。這些都是學一些結構性比較強的數學的基礎。教師在中學和大學一、二年級都只是教數學計算，所教所考的微積分和線性代數都是標準的電腦程式，如用 MATLAB 和 Mathematica 可以輕易解決。結構性的基本數學卻教得少。比如邏輯、公理集合論、一般點集拓撲學和範疇學就很少要求一年級的本科生學習。
20 世紀 60 年代在香港大學的梁鑑添先生帶領下，在中學教「公理集合論」（Axiomatic Set Theory）。梁先生為此寫了一部很好的集合論教科書。梁先生是周煒良先生的學弟，同是 van der Waerden 的學生。這段時間中國香港訓練了一些數學家。後來為了平等，反對部分人學好些，倡議「通識」，結果比較嚴緊的數學教材便淡出了，只有很少部分可以出國念英才中學的人才有更好的學習數學的機會了。在 20 世紀 70 年代，研究者在香港中文大學就為數學系一年級本科生開「邏輯-集合論」課作為學生學習數學結構與推理的基礎訓練。最近在北京的書店看看，邏輯書都是為計算機系、哲學系和社科院的學生寫的。在買書網上想找一本莫紹揆先生的邏輯教科書也找不到。
在國內出版用中文寫給數學系學生學習的「範疇學」教科書還沒有見過。暫時不要說要詳細地教「範疇學」，但教 30 頁的範疇學是會幫助學生理解更多結構性的問題。計算機系就常教「範疇學」，這本來是數學系的東西，數學系的學生反而不懂，是教師的錯。
Bourbaki 的數學系統就以「集合論」和「一般點集拓撲學」為起點。實數就在「一般點集拓撲學」內講了。並不是說全國都要學 Bourbaki, 而是說佔全世界五分之一人口的大國能容納得起多種學習數學的方法，有一些人可以學的。Bourbaki 方法是幫助學生學習結構性強的數學方法的厲害工具。
③代數拓撲學。中國有一套很好的、北大版的「代數拓撲學」教科書：江澤函《拓撲學引論》, 姜伯駒《同調論》, 廖山濤、劉旺金《同倫論基礎》。現在沒有多少人用這套書來教學生了。國內還未有人寫過一本像 Godement 寫的 Topologie algebriques-Theorie Faisceaux 的代數拓撲學教材。最近國外的同倫論教科書是有較大的變動。比如：Arkowitz,2011。如果看看 Brown (Annals,2012) 的 Deligne 的 Mixed Tate Motive 猜想的證明，他們用的同倫論的背境是 Bousfield-Kan。看看 Elmendorf 等人的書又是另外一種同倫論了。此外還有 Voevodsky 和 Lurie 兩個人的同倫論。這樣看來，中國學者在同倫論的基本課教學已經有很多事要做了。
4 英才教育
培育英才是教育工作者們的一個共同的希望。「數學英才教育」可以解釋為：讓部分學生「先富起來」, 就是說：讓部分同學抽出部分時間提前學習比較先進的數學技術。
不敢說所有人都是這樣解釋「英才教育」。比如有一種做法是把目前現有課程範圍內的習題變為更難的題目，讓學生不停地操練，以求在中學到大學的高考或大學到研究院的考研取勝。
研究者建議，「英才教育」多走一條路。就是把部分內容向下移：中學的移向小學，大學的移向中學。在現有的課時容納新的內容。不要只是在難題上下功夫，也可以在內容上下功夫。
自古以來讀書是為了找工作。戲曲裡就常見窮書生上京考試為做官的故事。今日學生上大學主要是衝著文憑，希望畢業後拿著文憑找個高薪的工作。這是全世界的現象。這樣的學生會經常問：老師你現在講的東西跟我將來的工作有什麼關係？如果是「術科」如醫、工、法、舞，這樣的問題還好答。如果是「學科」如中文、數學，除了說句「考研有用」就不好答了。
正當學生迷失在學習與對工作的憧憬之間的時侯，上課的老師和做思想工作的便多了一份工作，改變「真想學的不多」這種現象，幫助學生相信，來到大學的第一件事是：學。
這裡所提出的「英才教育」可以幫助解決這個問題。以內容代替難題來增加學習的興趣，把注意力引回到數學上。增加基本結構上的訓練以減輕日後學習的困難，以便支持學習的興趣，引起學生的好奇心，以激發學習的動力。過去 100 年數學裡便有很多新概念和新想法。這些都不需要很多背景知識便可以透過關鍵例子說明。講述和學習這些新的內容會比做難題更容易而且有趣多了。
「英才」兩個字引起一些老師的回應是：我系不是訓練「數學家」的。陳省身就說過：中國不需要很多數學家。研究者的回應是：我所談的內容傳遞與更新，不是說幾個頂級的專家，而是說提高很多人的數學水平。舉個例子，300 年前在歐洲會微積分的人已是數學家。今日莫說全球，單是中國會微積分的工程師就不知有多少。既然不知有什麼數學有什麼用，數學系幫更多人學更多數學是好的，數學系不單只是訓練「數學家」的。
正當大家在憂慮怎樣把現有的新學問教給孩子的時侯又有教育家說覺得小學數學太難，應該把學校數學由難變為易。所以這裡的困難是內外兼有的。這裡所說的「英才」數學教育是建議把大中小學的數學水平整體提高到歐美比較好的學校的水平。不應該去學外國失敗的經驗或所謂平均水平而犧牲了中國最好的孩子，他們是中國科技工業的希望。容易從「英才」推出「不公平」——「為什麼我的孩子不是『英才』？」把學生的數學能力的分布看作一個譜，就像天虹是太陽光的光譜。公平的教育不是把這個能力分布譜強壓縮為一點！弱智的有特殊教育去幫他們，超智的有英才教育去幫他們，這樣把整個數學能力分布譜拉高。公平的數學教育是把所有的學生的數學水平提高，不同的學生的「高」是不同的。如此「英才」教育便是大眾教育的一部分了。
有些外國大學對本科生開 Advanced Program。每個年級抽最好的 20% 參加。在這些 Advanced Program 中數學內容就加強很多。比如常見在本科一年級上學期以 Dieudonne 的 Foundation of Modern Analysis 來教微積分，這本書的微分是在 Banach 空間上來講的。多變元微積分是用普林斯頓大學 (Princeton University) 的 Nickerson, Spencer, Steenrod 寫的 Advanced Calculus, 這本微積分書已講層論 (sheaf theory) 了。到四年級下學期學生已經學過交換代數，所以可以用 Hartshorne 的 Algebraic Geometry 來教代數幾何了。相比之下國內能夠開出 20 世紀 50 年代翻譯的斯米爾諾夫五卷工程數學的數學系已不錯了。碩士班只能開出讀導師的論文的預備役。至於拓撲群、交換代數、範疇學、層論和同倫論恐怕只有一小部分的系能全開出來。大學本科生很難得到一個全面的 20 世紀數學教育。
國內外都有優秀的中學，它們培養出多名出色的科學家，想非偶然。也許他們是不自覺地理行了上面所提出的「英才教育」。例如，浙江嘉興的秀州中學，人才輩出，孕育出了陳省身、李政道、顧功敘、譚其驤、周廷儒、周廷衝、錢俊德、方懷時、潘文淵和程開甲十名院士。美國紐約市的 Bronx High School of Science 是另一個例子。這所公立中學的畢業生中有 7 個人獲得了諾貝爾物理學獎，1 個人獲得了諾貝爾化學獎及 29 個美國科學院院士。在美國麻省的 Andover 有一所古老的著名私立中學 Phillips Academy 的畢業生就有 3 人獲得了諾貝爾獎。
在德國長期以來中學分為兩種：Gymnasium 和 Schule。科學家大都是念 Gymnasium 畢業。這些學校的數學課的內容和水平都比較高。他們的老師常是有博士學位，甚至會是著名的數學家。比如 Grassmann 就是一位 Gymnasium 老師！
在巴黎大學蘇邦 (Sorbonne) 校區旁邊有兩所著名的中學：Lycee Henri IV 亨利四世中學和 Lycee Louis Le Grand 路易大帝中學。他們開辦 Classes preparatoires aux grandes ecoles (簡稱為 CPGE 或 prepas) 特別訓諫巴黎地區最優秀的中學去投考 grandes ecoles(高等學校)。這些班當然不只教「線性代數」和「微積分」了。他們就這樣理行研究者上面所提出的「英才教育」。
在法國很多數學家都是巴黎高等師範學校 (ENS) 的畢業生。這所高師是法國所謂 grandes ecoles(高等學校) 的其中一所，這些 grandes ecoles 在法國被認為是比大學高一級的更好的大學。巴黎高師的老師是由全法選出當時最好的年輕數學教授輪流當的。每個老師教了 3 年到 5 年後便回到他自己原來的學校。如此法國把精力最旺盛的，在想像力最豐富年紀的數學人才聚在一起發揮無窮的威力。法國有 11 個菲爾茲獎。河南省的人口大概是法國的兩倍。如果按人口的比例，河南省應有 20 個菲爾茲獎。如果說「自己訓諫出來」的意思是指「中學、大學、研所、博後」都是在本國完成的，那中國還未有一個「自己訓諫出來」的菲爾茲獎。可以說這不是有多少人的問題，也不是沒有好的學生。研究者相信問題在於教育投資分布與選項及制度。當然一個人得了菲爾茲獎只是反映了把他培訓出來的國家的數學能力以至工業實力。請看只有河南省一半人口的法國出口 Airbus 民航飛機，出口 Lafayette 級穩形護衛艦，出口 Mirage 戰鬥機，出口發電用的核子反應堆，製造高涵道比渦扇發動機，製造歐洲宇航局所用的 Ariane 火箭，製造美國以外唯一的核動力航空母艦。一個佔人類五分之一的全球第二大的經濟大國對人類知識文化的貢獻和在數學的投資比起德法二國相對低了很多！
5 新內容的問題
假如大家支持中國在 21 世紀多教一些 20 世紀的數學，則立刻會有因為執行而產生的許多問題。相信大家一直在討論這些問題。
(1) 學生的能力。
首先要考慮學生的能力。要同時照顧有數學能力的學生及其他的學生，建議在高中成立選科制，讓有數學能力的學生選讀比較先進的課題。暫稱此為：中學數學課多渠道化。
應該接受的事實：到高中時每個學生都會有不同的能力，有些科學，有些會說話，有些會跳舞，學生各有所長，老師各育所長。可以對高中學生的數學水平有一個起點的要求，但不應要求所有的學生的水平是一樣的。否則便扼殺了突破的機會。給以時日，慢慢地滲透，數學水平高的學生把其餘的學生的水平也拉高，這樣便進步了，這是一個緩慢的過程。不應該因為小部分落後了，就把全隊停下來，甚至後退——把數學課的水平越拉越低，要接受長的戰線，讓部分學生在前面作戰！
現在的孩子是在一個知訊稠密的環境 (Information dense environment) 下長大的。他們有強烈的求知慾，他們對世界有自我發現與表達的願望。讓大家以新的數學內容幫幫這些孩子健康地成長！
(2) 中小學老師的水平。
在職的老師在師範念書的時候不一定學過這些新的材料。研究者相信會有老師樂意接受新材料帶來的挑戰。但是他們去那裡學習怎樣教些新材料呢？除了新的數學內容，怎樣做習題，怎樣設計習題呢？還有當老師學了，教了這些新的內容，怎樣獎勵他們呢！不要忽然有 3 年全國中小學老師都去念個碩士學位，師範大學做了 3 年生意又什麼都沒有了，而這些「3 年忽然碩士」，會有太多是沒有料子的。怎樣把這個變成慢慢進行的可控過程呢？
(3) 師範大學剩餘產能。
自 2000 年後，大學擴招，很多地方的師範大學數學系的畢業生人數已超過本地區的新增教席數目。師範大學是有剩餘產能的，如果師範大學利用剩餘產能為在職老師開設碩士課程，幫助在校老師學習教新的材料，這樣一方面解決了老師水平不高的問題，並且使用了師範大學的剩餘產能。
在中國臺灣，一些師範大學沒有處理好剩餘產能，只好轉型為法商學校，開辦醫、工科要太多經費了。在國內一些師範學院的舞蹈學系的辦公樓是十倍數學系的辦公空間，早就看不起數學系的產能價值了。
(4) 執行程序。
絕對不建議由教育局一紙命令全面執行。建議用滲透式，慢慢地增加內容，慢慢地增加地區。由大城市擴展到小城市，再擴展到鄉村。由最好的中學傳到其他中學。由一本大學傳到其他大學。
還有一個執行的問題：就是教綱問題。因為教綱的確定，教師只會按要求講授內容。大部分老師不願意教授更高階的內容：①因為他得不到便宜；②家長投訴；③學校評分壓力；④地方教育局反對。所以當要改變這個數學一一知識傳遞鏈的時候，不單單要教師出力，還要管教師的支持，真難。
(5) 考試。
不可低估考試對英才數學教育的明顯意義。不考試的東西是沒有人要學的，沒有校長和黨委支持去教的。所以內容的革新便會引起可考科目的改變，以至考試的形式。比如要引入考試選科的形式。也就是說，除了基本數學科之外，還要增加進步數學科，讓部分學生選考。就是說新內容要納入高考命題範圍內。
美國的一般大學入學考試 (SAT) 數學部分就分兩個級別：Level 1 和 Level2。英國倫敦的一般文憑考試 (GCE) 是中學畢業生的考試。GCE 有普數 (General Mathematics)、高數 (Advanced Mathematics) 和進數 (Further Mathematics)3 層的考試給學生選擇。所有學生都考普數，要到大學念理、工、醫、經的學生加考高數，只有那些有興趣，有能力去念數學系、物理系的學生才會全考普、高、進 3 卷。這樣對一般的中學生只考普數壓力不會很大。把考試的內容分開也分散了對學生的壓力，對家長給老師的壓力，是很值得借鑑的。
下面談談「學」與「考」的矛盾。國家對於各級升學（小學→初中，初中→高中，高中→大學）只能採取考試的辦法，這是目前最公平的錄取方法。小老百姓只能盡全力讓孩子考高分，進入好大學，改變貧苦的命運。老師為了幫助學生，為了本人的業績只好加強作業，課後作業，甚至開補習班。學生便「忙死」了。在這樣的情況下，內容多樣化，新內容，新考試，對整個制度有新增壓力，學生更慘了。最近一兩年，教育部強令「減輕學生負擔」，小學生不許留課外作業，明確宣布各級升學不許與各學科的競賽掛鈎。但老師們以變相的方式大留作業，學生家長讓孩子參加各種課外班的熱情不減，因為這樣才能使得學生面臨各種考試中勝算較大。這個「學」與「考」的矛盾是不可以由教育工作者解決的。
國家辦學為了提高人民的知識水平，以保護人民在現代科技社會的生產力。當聽說電視報導說本地大學畢業生的平均工資是每月 4000 元時，人們就認為在大學坐四年便等於每月 4000 元，這是很大的誤會，這是社會問題，不是數學教育問題。
(6) 教材。
新內容需要新教材。在美蘇用的不一定適合中國用。在研究所用的不一定適合大學本科用。一個好的例子是：在數學科非常重要的出版 Springer 就有兩個系列：Graduate Text in Mathematics, Undergraduate Text in Mathematics(Universitext)。
在寫教材之前，第一便是背景資料沒有充分散播在學校內。比如參考文獻所引的關於數學基礎的文章書籍在中國就不容易找到。即便找到那種介乎哲學與數學之間的德語、法語的書籍亦不是容易懂的。遠一點可以問：為什麼網絡上的雲端技術不是在中國發起呢？為什麼美國有全世界最好的計算機編程人材呢？除了經濟原因之外，可以說因為過去 100 年，中國無論工業界、研究所和大學都是要產品，只要學造成品，管理的領導都要「講得出，看得見，賣得出去」的東西。但發展編程技術是有文化背景的，如數學基礎→同倫論→函數式編程→以計算作為數學基礎（Voevodsky）。不可以只教最後一步，比如微積分只教初等函數的微分和積分，但完全忘掉微積分的力學歷史文化背景。
按中國出版社的現行制度編輯的工資與新書出版數目有關。這樣過去 60 年來出版過的好書現在都找不到了，出版社不重印了。電腦資訊是日新月異的，10 年前印的關於電腦的書今日可能不大有用。但數學是有累積性的，新是建立在舊的上面，從前出版過寫得好的數學教科書今日還是可以用來學習的。但是，去哪裡找這些書呢！比如在國外，像 Bourbaki 的書不會因為它舊就找不到。舉個例子，不可以說在北京國家圖書館找到廖山濤的《同倫論基礎》就可以，作者在肇慶學院就找不到！從廣州坐普通的慢火車一個小時便到肇慶！遠一點的如甘肅的武威，雲南的臨滄，黑龍江的佳木斯更就不敢說了。
為了讓偏遠地區的學生都可以學，讓每一代學生都可以買來念，建議科學出版社、上海科技出版社、高等教育出版社、人民教育出版社聯手成立一個聯合重印社，從他們有版權的舊書中選出一套基本數學好書系列，經常保持印刷，平價賣出。
研究者支持用中文寫關於基本數學的書籍。因為：第一，對大多數中國學生來說，用中文學習新的概念是比較容易的；第二，一個民族沒有自已數學語言是沒有希望的。
(7) 選課。
華羅庚先生說過數學生要學多個外語。當然不是每個人都有很多學外語的天分。研究者曾向一位系主任建議要求數學系本科生每學期念一門外語課。他笑說：不可能！第一，學生已經有很多數學之外的課，沒有時間了。第二，外語系不願意教。
熟識中國高校行政的當然了解這件事。研究者亦不想在此討論解決策略。但是在英美加學生跨系選課的自由度大得多了。在歐洲研究生甚至可以到別的學校，別的國家選課。
這跟數學有緊密關係。第一，外語對學數學的人非常重要。在目前的結構下，數學系學生的外語只好自學自教了。第二，舉個例子。大家關心 CLAY Institute 的 Millenium Prize。其中一個問題是關於 Navier Stokes 方程。也許學點流體力學會幫助解決這個問題。如果數學系不開辦此課，只好去物理系或工程學院了。在目前的結構下，這是不可能的！那麼大力推舉支持交叉科學怎樣實現呢？
(8) 資源。
大城市的教育局有更多的資源，大城市的父母有更強的經濟能力，大城市的孩子的數學教育比城外的孩子好。在統一考試，在數學競賽裡大城市的孩子便脫穎而出。不是每一個大城市的數學成績好的孩子真的對數學有興趣，真的有天分，離開了這個「吃維生素」的環境便轉業了。同時小地方的有天分的學生沒有辦法接觸到一流的老師，前沿的教材，優良的學習資源和環境。在教育資源的不平衡下很可能埋沒了小地方有數學天分的學生，犧牲了國家寶貴的人力財產。
這和新的數學內容傳遞有什麼關係呢？雖然不能希望老師離開大城市跑去鄉村工作，但是希望大家慷慨地把大城市的資源所產生的新內容免費傳到城外的教育系統內。例如在網上發布錄像或製成 DVD 分發。
大城市的教育局支持大城市的老師去小地方的學校交流。要小地方的老師變為考試教練可能難，也許請他們學點新的數學內容教給學生會比較易吧！
6 結語
回顧過去一世紀的科技成就，無論是電話、電視、電腦、雷達、火箭、人造衛星、天氣預測、人體血液力學、人腦掃描、人口控制、銀行利息定價、財經產品設計，等等，都離不開數學。相信在 21 世紀也會是這樣。新的數學為新的科技提供表達和計算的平臺。所以，有必要把新的數學傳入中國的教育鏈，以免又落後他國一步。
研究者提出的是數學教育知識鏈上新知識的傳遞問題。研究者的建議是：中學數學課多渠道化，大學數學課基本化。希望引起群眾為文討論，定計實行這一項數學教育工程。
改革是牽一髮則動全身。大家都知道這是「說易行難」之事。不是兩三個老師的事，是一個需要有足夠多的老師和幹部的認同、參與和支持的事，是我們的夢。
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作者介紹：黎景輝教授是國際知名數學家，研究方向為代數數論。黎教授 1974 年獲得耶魯大學博士學位，師從著名數學家Robert Langlands。黎教授曾在香港中文大學、雪梨大學等高等學府任教，現在是首都師範大學講座教授。黎教授有很多非常優秀的著作，如教科書《二階矩陣群的表示與自守形式》《高等線性代數學》《模曲線導引》《拓撲群引論》《代數群引論》《代數數論》，還有很多面向大眾的值得反覆品讀的文章。
本文經授權轉載自微信公眾號「和樂數學」。原文標題為《關於數學教育知識鏈的傳遞問題》。本文對原文個別字詞進行了修訂。