崇仁數學輔導學校

崇仁數學輔導學校數學家的故事：卡爾·弗裡德裡希·高斯　　卡爾·弗裡德裡希·高斯　　神童高斯，「數學王子」，在還是個少年的時候就有了他的個重大發現，並且在他21歲的時候寫了他偉大的作品《計算》。很多人都知道高斯的智力–引用了他在上小學的幾秒鐘內增加了數字1到100的例子（。當地的公爵認識到了他的才華，在他去哥廷根大學之前就把他送到了卡洛林姆學院。1798年畢業後，他開始在數學的主要領域，特別是數論，作出了若干重要貢獻。他繼續證明了代數的基本定理，並在物理學中引入了高斯引力常數，以及更多的在他24歲之前！不用說，他一直工作到他77歲去世，並在這一領域取得了重大進展，這些進展是隨著時間的推移而出現的。　　

　　同學們都知道，華羅庚是一位靠自學成才的世界一流的數學家。他僅有初中文憑，因一篇論文在《科學》雜誌上發表，得到數學家熊慶來的賞識，從此華羅庚北上清華園，開始了他的數學生涯。1936年，經熊慶來教授推薦，華羅庚前往英國，留學劍橋。20世紀聲名顯赫的數學家哈代，早就聽說華羅庚很有才氣，他說：「你可以在兩年之內獲得博士學位。」可是華羅庚卻說：「我不想獲得博士學位，我只要求做一個訪問者。」「我來劍橋是求學問的，不是為了學位。」兩年中，他集中精力研究堆壘素數論，並就華林問題、他利問題、奇數哥德巴赫問題發表18篇論文，得出了著名的「華氏定理」，向全世界顯示了中國數學家出眾的智慧與能力。

　　閒居在家的貝特萊可能有用不完的時間，他正想找些事來伸展囤積已久的知識。他竟為這個七歲的男孩寫了一套科學材料。貝特萊把科學揉合在中古世紀的修道神學裡。之前從來沒有這種科學讀物，多年後柯西回憶到：「在別人看來都是沒有意義的題目，由天堂唱詩班裡的很多天使，去推算站在一塊天花板上的天使有幾個，進而推估墊著腳尖站在針尖上的天使有幾個？貝特萊是在教我無窮級數收斂的演算。」　　一八O三年，柯西十三歲：獲得法國中學數學競賽的名，隔年他又獲古典文學比賽名，十六歲時，他以連跳四級、與聯考第二名，進入競爭激烈的巴黎工藝學院。柯西念的是土木系，他又連連跳級，二十一歲他就取得博士學位，並且立刻榮獲高當局器重，擔任拿破崙陸軍軍團工程隊督導。

德國有名的數學家希爾伯特（D．Hibert1862—1943）在老年時曾被人問一個有趣的問題：「假定你去世後一兩年能復活，您會做什麼呢？」希爾伯特回答：「我會先問黎曼猜想是否已經獲得解決了？」原來他在1900年把這問題列為20世紀數學家所面對的一個重要難題，如果他死能復活，當然關心的是這個問題是否解決了。黎曼（GeorgFedchBernhardRiemann1826—1866）是生在現在德國漢諾瓦（Hannover）一個小鄉村（當時那地區屬於大英帝國）的清家庭，他父親是當地的牧師。5歲時他喜歡歷史，對於古代戰爭有興趣，並且同情波蘭人被外國統治的命運。過不久，他被數學所吸引，他自己也能出一些數學問題給他的姐妹弟弟做（全家6個孩子，他排行第二。）在學校讀書時，他需要用德文和拉丁文寫作文，可是他下筆很慢，常要塗改。可是他在數學方面卻是出的，在他去世之後他的中學數學老師薩馬福斯（Schmalfuss）回憶他在16歲時向他借書的故事：「他來向我借數學書看，並且很謙虛的說：『我希望有一本並不太容易的書。』我指我書架上的書，他選了法國數學家勒讓德（Legendre）的《數論》，我對他說：『試試看你能懂多少裡面的東西。』這是星期五的下午，就在下個星期四他把書帶回來。我問『你讀了多少？』他回答：『這本書是寫得非常奇妙，我已全部懂了。』這之後他就沒再看這書，以後在畢業考試時我拿勒灌德那本書裡一些問題來考他，他回答得非常好，好像是他專門讀那本書來準備考試那樣子、數論是對他有特別的吸引力。這之後他讀了勒讓德寫的幾何書，並從我的圖書室裡的幾何書上選了許多問題來做。在中學時他已顯示出是一個數學家了。他具有強的直觀能力以及抽象推廣的能力。」在19歲時，他進入哥庭根大學讀哲學和神學，他的父親是希望他以後能成為一個傳教的牧師，可是他卻對數學非常有興趣，不但上了數學方程數值解的課及地磁學，且從1846—1847年上了德國大數學家高斯（Gss）的小二乘法及史登恩（Stern）的定積分的課。1847年他轉學到柏林大學去，在那裡有三位著名的教授：賈可比（Jacobi）、狄利克雷（LejeuneDichlet）及史泰勒（Steiner），他在兩年中學習理論力學，高等代數，數論，積分論和偏微方程及橢圓方程。在他回哥庭根準備寫博士論文時，為了減輕父親經濟負擔，他參加由高斯的朋友韋伯（Weber）等主持的數學物理研討會並當韋伯的助手做一些物理實驗及給一些初學物理的人講演。這些事使他花掉了一些時間，影響了他提早提出論文的，到了1851年11月，他呈上了《複變函數論的一般理論的基礎》。高斯對這論文評價極高，說許多年來他就想寫一份像這樣的論文。黎曼在這時寫信給他父親說：「呈上了這份完整的論文我希望能改善我的前途，我也希望在寫這論文過程能訓練我，使到我以後進入社會可以寫的更流利和迅速。我現在是感到很愉快。」1854年，黎曼成為哥庭根大學講師，三年後他成為助理教授，在1859年成為正式教授。可惜在1862年他患上肺病，必須常去義大利休養。而他在1866年時就死於義大利，年紀只不過德國數學家克萊因（Klein）這樣的評價他：「黎曼具有很強的直觀，由這天份他超越了當代的數學家，在他的興趣被激發的領域，他不管是否當局會接受對這研究的肯定，也不讓傳統來誤導他。……他像流星一樣出現然後消失，他活躍的時間只不過15年，1851年他完成論文，1862年他生病，1866年他去世。……黎曼的思想，對現代函數論發展的影響是緩慢和逐漸的，他的工作不會在當代引起突然的革命。這主要是由於黎曼的工作是不容易明白，另外是他提出的想法是非常新且奇特的。……」黎曼猜想現在來講他在1858年寫的一篇只長8頁關於素數分布的論文，就在這論文裡他提出了有名的黎曼猜想（RiemannsHypoth-esis）。這猜想提出已有一百多年了，許多有名的數學家曾嘗試去證明，就像喜歡爬山的人希望能爬上珠穆朗瑪峰一樣——因為它的頂峰非常困難到達，目前已有人登上這世界高峰，可是卻沒有人能證明這猜想！要說明這猜想首先需談談這問題的來源。幾千年前人類就已知道2，3，5，7，31，59，97這些正整數。除了1及本身之外就沒有其他因子，他們稱這些數為素數（或質數Pmenumber），希臘數學家歐幾裡德證明了在正整數集合裡有無窮多的素數，他是用反證法證明、（讀者可以參看拙著：《數學和數學家的故事》集裡這個證明。）著名的原籍瑞士的數學家歐拉（Euler1707—1783），在1737年給了歐幾裡得定理的另外一個巧妙的證明。人們早知道下面的調和級數是不收斂（即和是無窮大）。在1737年左右歐拉引進了齊打函數（Zetafunction）如果令P表示所有的素數集合，即歐拉發現對於S≥1，我們有我們看到右邊如果展開，每一項是形如的形狀，這裡p1，p2，…，pr都是素數。由算術的基本原理，我們知道，任何正整數是能表示成素數方的乘積，而這表示法是只有一種。如果素數的個數是有限，則當s逐漸趨近於1時，我們見到由此可知素數的個數不可能是有限的。在1858年黎曼在他寫的一篇關於數論的文章裡把齊打函數的定義域擴大到複數域上，他要研究什麼樣的複數s，能使ζ（s）=0，他在文章裡給出了下面著名的猜想：「所有的非實數的複數s使得ζ（s）哈地及黎曼猜測英國著名的數學家哈地（G．H．Hardy1877—1947）是華羅庚在英國劍橋大學學習數論時的指導教授。英國自從出現以後，一向來數學工作者是注重應用數學，它的數學家不像歐陸的德國和法國在純粹數學上有大的貢獻和新的發現，至到19世紀末出了哈地之後，哈地以他在純數學的工作使英國聞名於世。哈地先後在牛津和劍橋大學教書，他為了研究數學從來不想到成家，而是由照顧他。他個性是有些怪，在那宗教勢力濃厚的學府裡敢公然說：「上帝是我的敵人。」他從不踏進教堂，也不參予有宗教彩儀式的會議。哈地是一個「板球（Ccket）迷」，每年夏天要等到板球季節過了，才會跑到歐陸度假，拜訪他的幾個好朋友與他們一起討論研究數學。每次到丹麥就會見他的好朋友波爾（HaraldBohr），他們坐下來，先在一張紙上寫上先要解決和討論的一些議程，然後討論一個小時後才一起出去散步。每一次見面時哈地在議程的條往往寫上：「證明黎曼假設！」可是這個提議卻一直沒法子解決，一直到夏假結束他必須回去英國教書才作罷。第二年的夏天他回來丹麥又像前一年那樣，兩人每天把解決黎曼假設擺在議程的前面，但是每次都不能解決。有一年的夏末，哈地要乘船渡北海回英國，那天浪濤洶湧天氣很惡劣，而船又很小，因此他在船開之前就寫了一張明信片寄給波爾，在上面簡單的寫下這幾個字：「我已經證明了黎曼假設。哈地。」他是否真的證明了，要把這個好消息告訴他的好友呢？原來這明信片是有用意的：萬一這船沉下去，哈地溺死了，世人就會認為哈地真的解決這個世界上的數學難題，而為這個解法及哈地一起埋在海底而惋惜。但是上帝既然是哈地的仇人，一定不會讓哈地享有解決這個著名難題的聲譽，因此本來這船該沉下去，它也設法不讓它沉，於是哈地可以平安回到英國。這樣這個明信片就是他的救命護身符了。你看了或許會笑，以為我們的哈地教授是這樣幼稚可笑的人物，是的，有一些數學家他們想法和做事的天真幼稚就像6歲的兒童。可是他們研究的東西卻深入和奧妙，不是普通人所能了解的。哈地逝世距現在已四十多年，但是他遺留下來的工作，許多是那麼的艱深和難於明白，普通大學數學系畢業生也不是很容易就能領會。這結果是非常的漂亮。貧病而逝的英才中國的古人曾說「人窮而工其文」，我們的黎曼也可以印證這句話的正確性。在一百多年前的德國大學，只有正式的教授才領政府的津貼，及開正規的課程，由此可以收學生交的學費。黎曼在1854年成為哥庭根大學的講師（Pvatdozent），他可以開課，可是學生學數學的不太多，而且他得不到政府的任何津貼，因此他的生活是很貧苦的。他的父親是清貧的小鄉村牧師也不可能對他經濟上有什麼幫助，儘管他常因貧窮而生病，可是他仍頑強的在數學上鑽研，不因健康和經濟而動搖對研究的愛好。1855年他的老師高斯去世了，由狄利克雷繼承高斯的教職。狄利克雷很重視黎曼的工作，極力向政府爭取給予黎曼一些津貼，後總算得到了等於正式教授的薪水津貼的十分之一。這對黎曼的生活稍有改善。這段期間黎曼在複變函數論上作出許多重要的發現，1859年對他頗照顧的狄利克雷去世，他的職位由黎曼繼承。這時他的經濟稍微好些，但身體卻因長期營養不良及工作勞累健康是損壞了。在1862年他和一個朋友的結婚，第二年生下一個女兒，可是肺病卻蠶食他的生命，在1866年7月20日在義大利Mag-giore湖畔的Selasca去世。在他死之前他還很樂觀勇敢的工作。現在在大學課程的複變函數論的基本定理，分析學上的黎曼積分！黎曼曲面的概念都是他重要的發現。他本身對物理學也很有興趣，曾寫了一些關於熱、電、磁和流體力學的論文。他對數學的影響是無可估量的。讀者如果想對他的工作有一點認識可以看1953年DoverPublications出版的《黎曼選集》（TheCollectedWorksofBernhardRiemann）近年對黎曼假設的研究荷蘭三位數學家J．vandeLune，H．J．Rielete及D．T．Winter利用電子計算機來檢驗黎曼的假設，他們對初的二億個齊打函數的零點檢驗，證明黎曼的假設是對的，他們在1981年宣布他們的結果，目前他們還繼續用電子計算機檢驗底下的一些零點。在1982年11月蘇聯數學家馬帝葉雪維奇在蘇聯雜誌《Kibernetika》宣布，他利用電腦檢驗一個與黎曼猜想有關的數學問題，可以證明該問題是正確的，從而反過來可以支持黎曼的猜想很可能是正確的。1974年美國麻省理工學院的萊文森在他患癌症去世前證明了這樣的在190年中國數學家樓世拓、姚琦對萊文森的工作有一點改進，他們證明了No（T）＞0.35N（T）。數學。

　　有一天敘拉古城遭到了羅馬軍隊的偷襲，阿基米德讓婦女和孩子們每人都拿出自己家中的鏡子一齊來到海岸邊，讓鏡子把強烈的陽光反射到敵艦的主帆上，千百面鏡子的反光聚集在船帆的一點上，船帆燃燒起來了，火勢趁著風力，越燒越旺，羅馬人不知底細，以為阿基米德又發明了新武器。就慌慌張張地逃跑了。　　阿基米德利用槓桿原理製造了一種拋石機，能把大石塊投向羅馬軍隊的戰艦，或者使用發射機把矛和石塊射向羅馬士兵，凡是靠近城牆的敵人，都難逃他的飛石或標槍。

【姜氏空間】數學家姜伯駒關於尼爾森數計算的研究成果被國際上命名為「姜氏空間」；另外還有以他命名的「姜氏子群」。姜伯駒1937年生，浙江蒼南人。1957年畢業於北京大學數學力學系，留校任教至今。曾任美國普林斯頓高等研究所、巴黎高等科學研究所研究員、聯邦德國海德堡大學客座教授，1985年當選第三世界科學院院士。現任數學系教授、博士生導師。

　　證明是一個偶像，數學家在這個偶像前折磨自己。——A.Eddington　　1．一次拓撲課，Minkowski向學生們自負的宣稱：「這個定理沒有證明的要的原因是至今只有一些三流的數學家在這上面花過時間。下面我就來證明它。」…….這節課結束的時　　候，沒有證完，到下一次課的時候，Minkowski繼續證明，一直幾個星期過去了……一個　　陰霾的早上，Minkowski跨入教室，那時候，恰好一道閃電划過長空，雷聲震耳，Minkowski很嚴肅的說：「上天被我的驕傲激怒了，我的證明是不完全的……。　　2．1942年的時候，Lefschetz去Havard做了個報告，Birkhoff是他的好朋友，講座結束之後，就問他近在Pnceton有沒有什麼有意思的東西。Lefschetz說有一個人剛剛證明了四猜想。Birkhoff嚴重的不相信，說要是這是真的，就用手和膝蓋，直接爬到Pnceton的FineHall去。江小學奧數。

張廣厚（1937—1987年），唐山市東礦區林西人，祖籍山東，是我國著名數學家。1937年1月22日，張廣厚降生在林西一個普通農民的家裡，七歲隨父兄到礦上當童工，飽受艱辛，從小立下壯志：一定要做個有文化的中國人。1948年底，唐山市解放了。張廣厚回到了校園，他終以優異的成績完成了初、高中的學業，並成為高中三年一名數學次次考試均滿分的「數學尖子」。以優異成績考入北京大學數學系。張廣厚是大學同屆畢業生中保持六年全優成績的學生。他的畢業論文，也被刊發在一家知名的數學雜誌上。12年，在北大教授莊圻泰的悉心指導下，張廣厚考入中國科學院數學研究所，師從著名的數學前輩熊慶來教授做研究生，從此，在數學科學的道路上，他又邁上了一個新臺階。研究生畢業後，他便被留在中國科學院數學所從事研究工作。14年下半年，張廣厚和楊樂開始合作研究全純與亞純函數族。他們發展了消去原始值的方法，獲得了很好的結果。正當他們全心投入函數理論研究之時，一場的「」開始了。張廣厚被趕到中城澗勞動，後又到天津小站的解放軍農場勞動了一年半。70年代初，隨著文化禁錮的粉碎和經濟、科技改革的到來，特別是周恩來總理親自過問科學院的工作，肯定基礎理論研究的重要性。短短幾年間，他與楊樂合作，首次發現函數值分布論中的兩個主要概念「虧值」和「奇異方向」之間的具體聯繫，被數學界定名為張楊定理。緊接著，張廣厚又開始研究「虧值」、「漸近值」和「茹利雅方向」三個概念，這是函數理論中三個重要概念。早在1929年，芬蘭著名數學家奈望利納也曾作過相同的猜測，但10年後，他的猜測被否定了。40年後，這樣一個被著名數學家研究卻被否定過的難題，在張廣厚千萬次的論證中，終於找到了合理的解決方法，一舉做出這項研究的科學論證。《中國科學》在1973年3月，特為論文出了一期增刊。新華社、《人民日報》也在頭版顯著位置再次以《張廣厚又獲世界水平的成果》為題作了報導。臺二年級數學。

雜草絲中，一座古墳，墓碑已經風化，字跡模糊不清。然而一個奇怪的標幟卻隱約地映入人們的眼帘：碑頂部刻著一個等邊圓柱以及它內切球的圖形。了解數學史的人很快就會知道，這裡長眠著古代偉大的數學家阿基米德，已經有二千多年了。　　阿基米德（公元前287―前212年）在數學上的成就很多，其中他感興趣的是關於球體積公式的推導，他為了找到球體積的計算方法，先用一個空心的等邊圓柱（就是圓柱底面圓的直徑正好等於圓柱的高）的容器，裡面裝滿了水。然後把一個直徑等於這個圓柱高的球輕輕放進容器，再小心地把溢出的水收集起來，量出水的體積就是球的體積。他經過多次這樣的實驗，發現球的體積正好等於圓柱容。假設圓柱底面半徑為R，我們不難用公式來驗算這個結論。圓柱的體積為　　V圓柱=πR2?2R=2πR3　　而V球=πR3　　　　∴。　　阿基米德非常重視這個發現，囑咐別人在他死後，能在他墓碑上刻上這個圖形。這就是上面所提到的古墳墓碑上所刻的圖案。　　阿基米德研究數學時聚精會神，可以說是廢寢忘食。冬天吃飯時，他常坐在火盆旁，一手端著飯碗，一手在火盆的灰燼裡畫著幾何圖形，都忘了吃飯。　　有一回，因為一個數學問題沒解決，他埋頭鑽研，一直沒空去洗澡，身上很髒，發出一股難聞的氣味。家裡人硬把他推進浴室。那時候的人有個習慣，洗完澡後要在身上擦香油膏。阿基米德在浴室裡洗了好半天都不見出來，家裡人感到很奇怪，在門外喊他也不見回音，便推門進去一看，原來他正坐在浴盆旁的凳子上，用手蘸著香油膏在皮膚上劃幾何圖形哩！他研究幾何圖形時，臉上總是笑呵呵的，嘴裡還嘰裡咕嚕，家裡人說他像被神附了體一樣。　　阿基米德為人謙遜，對待科學嚴肅慎重，他曾說過，他的一切發現別人都會發現，他毫不隱諱自己作品中的錯誤。他在自己所寫的《螺線論》這篇文章中，坦率地承認自己在以前的著作中所犯的某些錯誤，讓讀者從中吸取教訓。人們非常讚賞他這種高尚的品德。恩格斯誇獎他是對科學作了「而有系統研究」的代表人物之一。一位俄國數學家還在著作中寫下了讚美他的詩句：　　「這兒阿基米德出現了，　　那古代的哲學家，　　誰也不能和他相比擬，　　他的功績全世界。」