丘成桐:物理與數學的碰撞融合|高能論壇

以下內容刊登於中科院高能物理研究所官方微信（訂閱號：casihep），《數理人文》（訂閱號：math_hmat）經授權轉載。

丘成桐教授為「高能論壇」作報告：經典廣義相對論的歷史和守恆量（2020 年 10 月 12 日）

近日，諾貝爾物理學獎再一次頒給廣義相對論相關的研究。自 1905 年狹義相對論問世之後，愛因斯坦花費了近十年的時間將引力成功地融合到他的新理論——廣義相對論之中。廣義相對論對眾多宇宙學現象做出了精準的解釋和成功的預言，令無數學者心馳神往。那麼，廣義相對論的發展過程中有哪些趣事？又有哪些專家學者為之做出了不可磨滅的貢獻？高能論壇很榮幸地邀請到了著名的美籍華裔數學家、菲爾茲獎獲得者丘成桐教授，為我們分析解讀經典廣義相對論的發展史，以及守恆量在其中的重要作用。

回顧廣義相對論的發展歷程，一個非常重要的思想叫做「等價原理」（圖1），這一思想起源於古老的比薩斜塔實驗：在引力場中，任何自由下落物體的加速度都是相同的，和它們擁有的質量無關。這為愛因斯坦構造一個與觀察者無關的引力理論打下了基礎。

圖1. 等價原理

構造理論的過程中，愛因斯坦曾受多位著名幾何學家的影響，其中最重要的是 19 世紀偉大的數學家黎曼，他提出的空間概念成為愛因斯坦引力理論的重要基石。在黎曼之前，人們只了解三種空間：平面（歐氏空間）、球面空間和雙曲空間（圖2）。黎曼空間與上述的三種空間完全不同，我們可以通過不同的坐標系來觀察空間的性質，而真正有意義的性質又不會依賴於坐標系的選取。這些空間性質十分重要，它們滿足了愛因斯坦想要實現的等價原理。

圖2. 三種空間

早在狹義相對論提出伊始，物理學家們就開始嘗試在三維空間中融合牛頓引力理論和狹義相對論，但無一例外都失敗了。1908 年，在對電動力學進行了深刻的思考後，閔可夫斯基認為應該將時間和空間結合起來，並以此賦予了狹義相對論幾何解釋。而這也成為愛因斯坦構建廣義相對論的重要靈感，他意識到必須將新的引力理論構建在四維時空之上。將引力理論構建在四維時空之上需要用到張量這一概念，當時通訊還不發達，愛因斯坦與他的好友，幾何學家格羅斯曼，一同翻閱了大量文獻，利用幾何學家裡奇、列維·奇維塔等人發展出來的數學工具，對構建引力場方程做出了很多探索。最終，通過與數學家希爾伯特的交流，愛因斯坦於 1915 年建立起了完整的廣義相對論體系（圖3）。

圖3. 愛因斯坦方程（圖片來自網絡）

丘成桐教授表示：愛因斯坦無疑是廣義相對論最重要的貢獻者，但同時我們也不能忘記幾何學家們對理論的幫助。同時，他還激勵同學們，一個偉大的貢獻需要長時間的思考以及瞬間的靈感，中間一定會經歷很多困難和曲折。

廣義相對論的構建到這裡便告一段落，但是故事還遠沒有完結。廣義相對論是一個亙古未見的理論，不僅因為運動方程是高度非線性的，還因為背景時空是動力學演化的。前者導致運動方程極難求解，並且很難找到恰當的初值和邊界值，這個問題困擾了一代又一代人，直到今天還沒有一個完美的方案。後者導致時空沒有整體的對稱性，以至於難以定義質量、角動量這些常見的守恆量。為了解決守恆量的定義問題，物理學家們做了很多嘗試。例如，假設系統是孤立的，可以利用無窮遠處的漸近對稱性定義系統的總質量，也就是眾所周知的「ADM質量」。另外，為了跟蹤系統由引力輻射帶走的能量，還可以在類光超曲面上定義「Bondi質量」。上述定義只能表示整體時空區域內的總質量，為了研究關於質量更多精細的信息，物理學家們還進一步定義了「準局域質量」。

圖4. 丘成桐與孫理察（Richard Schoen）

然而，這些定義能否反映真實的物理系統一直以來都是大家爭論的焦點。例如，孤立系統的 ADM 質量是否恆正？如若不然，負質量系統的存在表示廣義相對論一定是有極大缺陷的，需要新的物理或是數學思想來挽救。這個問題困擾了研究者們很久，直到 1979 年，丘成桐教授與他的合作者和學生孫理察（圖4）證明了系統的 ADM 質量一定是正的，避免了危機的產生。在此基礎上，丘先生還證明了只要系統的質量密度足夠大，一定會塌縮形成黑洞（圖5），這是人們第一次清晰嚴格的推導出黑洞產生的物理機制，這裡他用到一個彭羅斯和霍金髮展的研究奇異點的叫做封閉陷獲面的工具。除此之外，丘成桐教授與合作者們還發展了一套關於「準局域質量」的定義，這使得常見的守恆量如動量、角動量都可以被很好的定義出來。

圖5. 黑洞

丘成桐教授表示：廣義相對論與幾何學相互影響了一個世紀，這是物理學家和數學家的一次很好的合作，也期望以後能進行更多的合作與交流。在場的同學們反響熱烈，在報告結束後向丘先生提出了很多問題，丘教授也一一耐心解答。他鼓勵同學們，青年人在科研中要學會深入思考，敢於質疑、敢於挑戰困難，才能最終攀上真理的高峰。■

人物連結

丘成桐教授是著名美籍華裔數學家。現任哈佛大學數學系教授、物理系教授，清華大學丘成桐數學科學中心主任，北京雁棲湖應用數學研究院院長。1976 年， 丘成桐教授證明了卡拉比猜想與愛因斯坦方程中的正質量猜想，並對微分幾何和微分方程進行重要融合，影響重大。丘成桐教授在幾何、拓撲學、物理學上做出許多成就，於 1982 年榮獲國際數學界最高榮譽的菲爾茲獎（Fields Medal），即相當於數學界的諾貝爾獎，並於 2018 年榮獲馬塞爾·格羅斯曼獎。

高能論壇

2020 年 10 月 12 日，首期「高能論壇」在中科院高能所舉辦。本次論壇邀請哈佛大學數學系、物理系教授丘成桐作為主講嘉賓，他以「經典廣義相對論的歷史和守恆量」為主題，向現場近 200 位與會代表及線上 50 餘萬觀眾作了精彩的報告。高能所 B 站號、北京青年報、騰訊新聞、騰訊視頻、中科院北京分院快手、中國數字科技館等線上平臺做了同步直播。

「高能論壇」致力於打造一個以推動我國基礎科學研究，促進國際學術交流和發展為目標的高級別學術科普平臺。論壇主題廣泛覆蓋科學技術、經濟文化等領域。一方面，論壇將聚焦國際物質科學前沿重大成果，薈萃國際知名學者，增進跨學科領域科研人員之間的交流，開闊視野，激發創新思想；另一方面，科學家與企業家和工程師的合作極大地推動了產業技術發展，論壇將邀請各界精英一同探討科學技術在人類文明進程中與經濟、文化的關係，探索、開拓產學研合作新模式。通過「高能論壇」組織的活動將更好地弘揚科學家精神，傳播科學知識，有效推動學術交流與合作。

「高能論壇」由高能所主辦，中國物理學會高能物理分會、中國高等科學技術中心、高能物理前沿研究中心、北京市石景山區科學技術委員會協辦。