大家好，《你不可不知的50個數學知識》之七，今天聊一聊無窮大。PS: 我們今天學的知識對於一個僅僅學過微積分的大學生而言，也是陌生的。
什麼是無窮大
無窮大是多大？簡單地說，∞非常大。想像一條由數字排成的直線，隨著數字不斷增大，直線一直延伸下去，直至「消失在無窮」。對於一個我們說出口的大數，總會有比它更大的數，比如它再加1.
這是一個關於無窮大的傳統觀念，數字會永遠地增長下去。數學中使用無窮大的方法很多，但是如果想把它當做普通數字來對待，你需要特別謹慎。事實上它並不是一個數字。
計數
德國數學家康託爾給了我們一個關於無窮大的截然不同的概念。他所獨創的這個理論成為了很多現代數學的啟蒙。康託爾的理論必須依賴一個關於計數的原始概念，這種理念要比我們日常生活中所使用的簡單得多。
假設有一個對數數一竅不通的農民。他怎樣知道自己有多少頭羊？很簡單——當他早晨將羊放出去的時候，他可以用一塊石頭代表每隻羊，這樣當晚上羊群回來的時候，他可以將羊和石塊相匹配，如果少了一隻羊，就會多出一塊石頭。即使沒有使用數字，農民也數得很精確。他實際上使用了羊和石頭之間一一對應的思想。這種簡單原始的思想產生了一些令人驚訝的結果。
康託爾的思想涉及集合（簡單地說，集合是一些元素的組合）。例如，N={1,2,3,4,5,6…}代表所有正整數的集合。當我們擁有了集合，我們可以繼續討論子集，即在較大集合中的更小的集合。比如前面的集合N，它的最明顯的子集是奇數集O={1,3,5…}以及偶數集E={2,4,6,…}.
如果我們要問：「奇數集和偶數集中的元素個數相同嗎？」應該如何回答這個問題？儘管我們不能分別數出這兩個集合中的元素個數，然後再做比較，但是答案仍然是肯定的。這個答案的依據是什麼呢？或許你可以說：「所有數字中一半是奇數，一半是偶數」。康託爾同意這個答案，但是卻給出了一個不同的理由。他說，當我們列舉出一個奇數，挨著它的下一個數必然是偶數。奇數集合偶數集中具有相同元素個數的思想是基於將每個奇數和偶數配對得出的。
如果我們繼續問：「所有整數的個數和偶數的個數相同嗎？」你肯定回答不相同，因為你肯定懵懂地感覺整數的元素個數應該是偶數集元素個數的2倍。但處理這樣有無窮多個元素的集合時，「更多」的說法會讓你感覺模稜兩可。
我們可以使用一一對應的思想更好地處理它們，令人驚訝地是，在整數集N和偶數集E之間也存在著一一對應的關係：
我們得到了一個令人震驚的結論：所有的整數和所有的偶數個數是相同的！而在歐幾裡得撰寫的《幾何原本》中說到：「總體總是要比部分大的」。
勢
集合中元素的個數稱為它的「勢」，勢是用來衡量集合的大小的。對於所有整數的集合N，以及任何可以和它建立一一對應關係的集合，康託爾使用符號阿列夫零表示它們的勢，aleph源於希伯來字母表。從而整數集、奇數集、偶數集的勢都是阿列夫零。
註：阿列夫零的記號——
任何可以和N產生一一對應關係的集合稱為「可數無窮」集，一個集合是可數無窮的，意味著我們可以將它的元素做成一個列表，就像我們對整數、奇數和偶數所做的那樣。例如，奇數集的元素可以列表為1,3,5,7,9…並且我們知道第一個元素、第二個元素、……是什麼。
分數是可數無窮的嗎?
分數構成的集合Q比整數N要大，因為N是Q的一個真子集。我們能夠將Q的所有元素列為一個列表呢？似乎是不可能的，但大家不要滿足於「似乎」，事實上是可以做到的。
我們以二維的思維來思考這個問題。首先，我們在第一行以正負交錯的形式寫下所有整數，然後在下一行寫下所有分母為2的分數，但是我們省去那些已經在第一行出現過的數字（例如6/2=3），在接下來的一行裡，我們寫下所有以3為分母的分數，同樣地，省去已經寫下的數字。我們以這種方式一直寫下去，當然永遠也不會有盡頭，但是我們可以精確地知道每個分數會出現在這個圖表的什麼位置，例如209/67出現在第67行，1/67右邊第200個位置左右。
通過這種方式陳列所有的分數，我們可以構建一個一維的列表。如果我們從第一行開始往右數，我們永遠到不了第二行。但是通過選擇一個曲折的鋸齒形路線，我們可以達到目標。從1開始，如圖構造線性序列：
1，-1,1/2,1/3，-1/2,2，-2,3/2，按照這種方式一直進行下去，每個分數，不管是正數還是負數，都會在這個表裡出現。因此我們得到結論：分數集Q的勢也是阿列夫零。
將實數集列表？
儘管分數集佔據了實數集的很多元素，但是還是有一些實數，比如根號2，e，π這些都不是分數，它們都是無理數，它們填充了那些空隙，從而為我們呈現出完整的實數集R.
如何將所有實數集列表呢？通過一個絕妙的想法，康託證明了將0到1之間的所有實數列為一個列表是不可能的。這無疑沉重打擊了那些已經沉溺於構造列表的人們，他們肯定想要知道一個數字的幾何如何不能一個接一個地寫下來。
康託的證明方法（反證法）
通過構造x使之與原列表中所有數字都有一位不相同，康託爾漂亮地證明了這個結論。
事實上，實數集R不可能構造出任何的列表。因此它是一個「更大」的無窮集，比無窮集分數集Q具有「更高級別的無窮」，這真是「大無止境」。
大事年表
公元前350年，亞里斯多德拒絕承認存在無窮大
1639年，德扎格在幾何學中引入了無窮的概念
1655年，約翰·沃利斯是第一個使用「同心結」符號∞表示無窮的人
1874年，康託爾非常嚴謹地對待無窮，他具體說明了不同階的無窮
20世紀60年代，亞伯拉罕·羅賓遜基於無窮小的概念設計出一種非標準算術系統
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