長期以來，一些科學家們心中一直有一個執念，即堅信宇宙的本質是簡潔的。
這背後其實有一個「萬有理論」，它可以囊括四種宇宙基本力，用單獨一種物理理論解釋所有的物理現象。而宇宙中的萬事萬物，不過是這種理論的衍生和演化。
然而經過幾個世紀科學家們的不懈努力，這一「萬有理論」目前仍是猜想。比如說，量子力學可以很好的解釋微觀世界，而愛因斯坦的廣義相對論則能精確的展示宏觀世界。但目前這兩種理論無法統一在一起。
但這個終極僵局現在有了新的解題思路。最近，一項由一位女性科學家孤軍奮戰約 10 年的研究，讓我們看到了「萬有理論」的可能。這位女性科學家就是來自劍橋大學的數學物理學家科爾·福瑞（Cohl Furey）。
圖 | 科爾·福瑞，劍橋大學數學物理學家（圖源：Quanta Magazine）
其實，數學家和物理學家幾十年前就猜想，組成物質世界的力和粒子的規律可以用 8 元數來描述，但是一直未能證明這一點。直到這一次，科爾·福瑞發現了粒子物理學標準模型和 8 元數之間的關係。
福瑞於今年 5 月發表在《歐洲物理學C刊》上的最新論文中，她的數學模型正確地構建了電子、中子、3 個上夸克、3 個下夸克及對應反粒子的電荷及其他特性。該模型證明了幾十年來數學家和物理學家對 8 元數和宇宙構成物質的基本粒子之間關係的猜想，可為未來宇宙「萬有理論」的研究提供思路。
8 元數：一種不可抑制的誘惑
在了解為什麼 8 元數與宇宙終極理論有著千絲萬縷的聯繫之前，我們先簡單了解下它的「前世今生」。
1898 年，數學家已經證明，各種各樣的數中，只有實數、複數、4 元數和 8 元數能定義加、減、乘、除運算，因此被稱為可除代數。
其中，人類最熟悉的數字是實數。實數是有理數和無理數的總稱，而實數通過一定的法則可以組成複數。複數由一個實數和一個虛數兩部分構成。16 世紀的義大利數學家首先研究了複數。複數的加減乘除都可以視為二維平面上的變換和旋轉。
複數通過一定的法則可以構建 4 元數。類似於複數，四元數是由實數加上三個元素 i 、j 、k 組成，且 i2 = j2 = k2 = ijk = -1。1843 年，愛爾蘭數學家威廉·羅曼·漢密爾頓（William Rowan Hamilton）第一次發現了 4 元數，在狂喜中，他將 1 個 4 元數刻在了都柏林的一座橋上。
而漢密爾頓的朋友、律師約翰·格雷福斯（John Graves），則證明了 2 組 4 元數可以構成 8 元數，8 元數必須基於抽象的 8 維空間才能表示。八元數可視為實數的八元組。每一個八元數多事單位八元數 {1，i，j，k，l，il，jl，kl} 的線性組合。
簡而言之，實數、複數、4 元數這 3 類數奠定了 20 世紀物理學的基礎。實數自不用說，複數是量子力學的核心，而 4 元數是相對論的核心。但是，8 元數隱藏著宇宙的什麼規律呢？
佛羅裡達大學粒子物理學家和弦論專家皮埃爾·拉蒙德（Pierre Ramond）曾表示，8 元數對於物理學家是不可抑制的誘惑。
圖 | 四種可除代數系統。當系統中的數字做加減乘除運算時，獲得的結果仍然在系統內。很多物理學家認為，這4種可除代數是物理規律的基礎。（圖源：Quanta Magzine）
從標準模型到 8 元數
在粒子物理學中，基本粒子是組成物質最基本的單位。標準模型中涵蓋了 61 種這樣的基本粒子，並通過一系列數學模型模擬了這些基本粒子之間的相互作用。但目前，這一標準模型還無法解釋全部粒子之間的相互作用，模型中對於引力的預測與現實並不相符。換句話說，實驗中觀測到的基本粒子間一些奇特的性質，還無法通過模型進行模擬。
圖 | 粒子物理標準模型共 61 種基本粒子（圖源：Wikipedia）
面對這個問題，在福瑞的導師讀研究生的年代來說，科學家主要有兩種想法。其中大多數的物理學家認為，這些無法解釋的粒子性質可能是由於人們還未發現全部的基本粒子導致的。因此他們選擇用對撞機積累更多的實驗數據，並希望實驗中出現更多的新粒子以讓標準模型更具有預測力。
而另一些科學家則認為，或許是對粒子間相互作用的模擬出了問題，因而他們轉向尋求用新的數學模型對這些粒子的相互作用進行模擬。1973 年，福瑞的導師賓夕法尼亞州立大學教授 Günaydin 與其導師 Feza Gürsey 曾發現，8 元數和把夸克（基本粒子的一種）約束在原子核內的強表面之間存在聯繫。雖然這一發現並沒有引起什麼的響應。
而幾十年後，沒有發現一種不屬於標準模型的新粒子。而另一些科學家直覺相信，8 元數的奇特性質與古怪的標準模型之間不僅僅是巧合。
8元數真的能顛覆物理界嗎？
8 元數的神秘美感繼續吸引著那些特立獨行的研究者，包括我們今天文章的主人公福瑞。
在此之前，也就是 2014 年，還是加拿大滑鐵盧大學研究生的福瑞，開著租來的汽車一路向南，用 6 小時到達賓夕法尼亞州立大學，拜會物理學教授 Murat Günaydin。福瑞拓展了 Günaydin 教授在 40 年前所做卻沒有獲得多大反響的成果，發現了數學和基本物理之間的新聯繫。
現在距離她拜訪賓夕法尼亞大學已有 4 年。她還記得當年的場景：她努力嘗試著向 Günaydin 教授解釋自己基於 8 元數構建的一個強力和弱力模型，溝通的難度超過了她的想像。
這些研究都不是物理學研究的主流。Günaydin 建議福瑞找個其他的方向作為自己的博士研究方向，因為他根據自己的經驗，認為 8 元數是一個太過困難的問題。
圖 | 標準模型中粒子間相互作用
但是福瑞決心已定，她相信自己對於 8 元數的直覺。當時她告訴一位同事，如果自己的研究毫無結果，導致不能找到穩定的研究職位，那麼她就帶著自己的手風琴去紐奧良街頭賣藝，掙錢支持自己的物理研究。
不過，福瑞還是在劍橋大學找到了一個博士後職位。此後幾年，她發表了一系列關於 8 元數和標準模型之間關係的研究，獲得學術界高度重視。
羅格斯大學數學物理學家 Shadi Tahvildar-Zadeh 拜訪福瑞之後表示，這些研究將該領域的知識邊界推進了一大步。
當然，福瑞尚未對標準模型中的所有粒子和力構建出對應的 8 元數模型，此外，她也尚未嘗試將引力包括進來。這是她模型目前還存在的最大問題。她強調，可能的思路太多，有些專家認為目前不足以判定什麼思路更有成功希望。
倫敦帝國學院教授，弦論專家米切爾·杜夫（Michael Duff,）認為，福瑞做出了一些非常有趣的成果，這個方向值得繼續發掘。當然，現在還不能確定，8 元數就是描述標準模型的最佳工具。
不過，如果 8 元數真的是這種最佳工具，這就意味著物理學領域的一場革命。
8元數和標準模型，天生絕配？
今年 39 歲的福瑞還記得，自己在高中時期的一次經歷讓自己對物理產生了最初的熱愛。在卑詩省，她的老師講到，整個世界的背後只有 4 種力。物理學家 1970 年以來就致力於將這四種力統一在 1 個理論框架下。
幾年後，當她在溫哥華西蒙弗雷澤大學讀本科的時候學到 4 種可除代數，再一次感受到了這種無比的優美和神秘。「為什麼不是只有 1 種可除代數，也不是有無窮多種可除代數，而是只有 4 種可除代數？這是多麼神奇的一件事情。」
為什麼都得是 4 ？福瑞覺得，這是自己遇到的最優美的事情。
福瑞後來又在一門高級幾何課程上學到了可除代數。可除代數之前的關係很奇妙：實數維度乘 2，獲得複數；複數維度乘 2，獲得 4 元數；4 元數維度乘 2，獲得 8 元數。每一次擴充，新數就會比前一種數減少一種特性。比如，實數可以從小到大排序，但是複數不行。此外，4 元數的乘法沒有可交換性，即 a×b 不等於 b×a。當然，在解析幾何中這個現象並不神秘：高維數字相乘需要藉助旋轉操作，而如果改變旋轉操作的次序，結果自然發生變化。
圖 | Cayley-Dickson 代數性質（圖源：Wikipedia）
更奇怪的是，8 元數的乘法不服從結合律，即（a×b）×c 不等於 a×（b×c）。加州大學數學物理學家和 8 元數專家約翰·貝茲（John Baez）表示，8 元數不服從結合律的特性令數學家非常惱火，因為 4 元數的乘法可交換性比較容易描述，而 8 元數乘法的特性非常難以描述。
8 元數乘法的不可結合性成為物理學家利用 8 元數的巨大障礙，但是這種特性另一方面也是 8 元數的獨特魅力，因為標準模型本身也非常奇異，因此有物理學家認為，只有 8 元數才能描述這種奇異性。
標準模型中，基本粒子被分成 3 個對稱組 SU（3），SU（2）和 U（1），分別對應於強相互作用，弱相互作用和電磁相互作用，對稱組內的互換不會影響方程的形式。3 個對稱組基於 6 種夸克，2 種輕子，以及以上粒子的反粒子。每種粒子還有 3 代。目前，第四種基本力——重力，被愛因斯坦廣義相對論方程單獨描述，尚不能被納入標準模型中，它描述了時間和空間的幾何關係。
一些粒子在標準模型中具有對稱性。但是問題在於，為什麼方程是 SU(3) × SU(2) × U(1) 的形式？特定粒子的數學描述如何將電荷、手性和「3 代」冗餘的特性結合？
圖 | 一些科學家認為標準模型只是另一個更完備模型中的一部分。（圖源：Wikipedia）
傳統觀點認為，標準模型是一個更完備的理論模型的一部分，因此其不完備性才導致了這些奇怪特性。然而，一些物理學家認為標準模型本身就是完備的，因此他們決心用 8 元數來描述標準方程，揭開其隱藏的秘密。
福瑞讀研究生時知道，4 元數描述了粒子在 4 維時間-空間中的變換和旋轉，自此開始致力於 8 元數的研究。她認為，8 元數的 8 個自由度正好對應於一代粒子：1 個中微子，1 個電子，3 個上夸克和 3 個下夸克。如果這不是巧合，這一研究很可能揭開更大的宇宙奧秘。
當然，目前離最終答案還差得很遠。
此生唯願追隨真理的直覺
8 元數和所有奇異對稱組之間的關係讓很多數學家，包括菲爾茲獎和阿貝爾獎獲得者米切爾·阿提亞（Michael Atiyah）認為，自然的終極規律隱藏在 8 元數中。
阿提亞在 2010 年宣稱，甚至長期無法被納入統一框架的引力，也很可能是 8 元數和奇異組互動作用的結果。
為了重建粒子物理的理論體系，福瑞的模型從狄克森代數中獲得啟發。她構建了 4 種可除代數的乘積：ℝ⊗ℂ⊗ℍ⊗𝕆，其中 ℝ 代表實數，ℂ 代表複數，ℍ 代表 4 元數，𝕆 代表 8 元數。這種乘積也被稱為狄克森代數，於 1970 年代由物理學家傑弗裡·狄克森提出，不過不久之後他就因為沒能拿到終身教職而離開學術界。
狄克森在回憶錄中寫到，「我當時被一個來自直覺的點子擊中：這些代數是理解粒子物理的關鍵，我願意追隨這種直覺，哪怕下地獄。」
當時，狄克森和其他人的思路是將可除代數與其他數學工具融合。然而，福瑞不這麼做，她的工具僅限於可除代數。ℝ⊗ℂ⊗ℍ⊗𝕆提供了一個 64 維抽象空間。在這個空間中，1 個子空間的粒子被其他粒子相乘，發生位移，旋轉，變換之後，仍然在之前的子空間內，這就是ℝ⊗ℂ⊗ℍ⊗𝕆的對稱性。
狄克森知道，ℝ⊗ℂ⊗ℍ⊗𝕆 分為 2 個部分：ℂ⊗ℍ和ℂ⊗𝕆。在福瑞的模型中，對稱性與粒子在時間-空間中的運動和旋轉有關。SU(3) × SU(2) × U(1) 對稱組之所以能反應粒子的內在特性，以及粒子與強力、弱力和電磁力交互的特性，關鍵在於ℂ⊗𝕆。
圖 | 福瑞論文中的數學模型（圖源：arXiv）
此外，福瑞也從Günaydin 和 Gürsey 的早期工作中尋找靈感。
Günaydin 和 Gürsey 曾發現了 SU(3) 和 8 元數的關係。1, e1, e2, e3, e4, e5, e6 和 e7 是一組 8 元坐標。他們構建了一個叫做 G2 的奇異對稱組，該對稱組無法在數學上被納入其他對稱組中。
讓 e7 不變，改變其他維度，就會讓 8 元數相對於 SU（3）對稱組的對稱性降低。Günaydin 和 Gürsey 基於這個事實，建立了強力與「1 代」夸克之間的 8 元數模型。
在福瑞發表在《歐洲物理學 C 刊》上的最新論文中，她構建了 SU(3) × SU(2) × U(1) 與 1 代粒子之間關係的數學模型，以及電子、中微子、3 種上夸克、3 種下夸克以及對應反粒子之間關係的數學模型。這些數學模型還能夠解釋，為什麼一個粒子的電荷只能是某個最小單位的整數倍。
圖 | 基於ℂ⊗𝕆，福瑞的 8 元向量成功模擬粒子間弱相互作用。（圖源：arXiv）
然而，如何將該模型擴展到自然界中的全部 3 代粒子，仍然是個問題。
不過，根據一篇預期發表於《物理快報 B》上的論文，福瑞基於ℂ⊗𝕆構建了標準模型的另外 2 個對稱組：SU(3) 和 U(1)。在這個模型中，3 代粒子全部體現出對稱性，且這個模型允許惰性中微子的存在，這是一種物理學家積極尋找的，被認為是暗物質組成部分的粒子。當然，由於 3 代模型只描述了 SU(3) 和 U(1)，因此還不是最終答案。不過福瑞相信，她可以沿著當前思路，構建出真正意義上的完整模型。
除了福瑞，3 名數學物理學家米切爾·杜博斯-維勒特（Michel Dubois-Violette），一萬·託德洛夫（Ivan Todorov）和斯維爾塔·頓思卡（Svetla Drenska）也在利用基於 8 元數的約當代數構建模型。
這樣，在多年的孤軍奮戰之後，福瑞終於有了同道。
可她仍然固守最基本的ℝ⊗ℂ⊗ℍ⊗𝕆框架。她認為其足夠複雜，提供的自由度足夠多。福瑞的目標是構建出能容納質量、希格斯機制（一種生成質量的機制，能夠使基本粒子獲得質量）、引力和時間-空間的大一統模型。
福瑞已經發現，ℝ⊗ℂ⊗ℍ⊗𝕆框架中，所有乘法鏈都可以用 10 個被稱為「發生器」的矩陣產生。其中 9 個「發生器」的特性很像空間維度，而第 10 個「發生器」的特性很像時間，這跟弦理論預測的 10 維時空不謀而合。但是，福瑞的模型跟弦理論之間的關係仍然尚不清楚。
弦理論用「能量弦線」作為基本單位，該理論認為，宇宙裡所有微觀粒子都由弦的不同震動產生。弦理論本要求時空是 26 維的，但後來發現加上超對稱的話，時空是 10 維的。但目前，弦理論還未獲得實驗驗證。
圖 | 除了我們所知的4個維度，還存在6個維度。圖中卡拉比-丘流形展示了剩下的6維捲曲在一起
手風琴和 8 元數
福瑞不怎麼關心物理和數學關係的哲學層面，但是她確實好奇一點：為什麼可除性是關鍵？此外，她還有種預感，ℝ⊗ℂ⊗ℍ⊗𝕆不過是終極理論的一種近似。
鑑於很長時間以來，實驗物理學家都沒有在對撞機中找到標準模型沒有描述的新粒子，而且標準模型的預測跟實際結果高度吻合，一些物理學家認為現在該是在理論上下功夫的時候了。圓周理論物理研究所的物理學家博易認為，從理論上取得突破的可能性很大，值得獲得更多關注，福瑞的工作非常值得欽佩。
博易還表示，他同樣感知到了 8 元數的魅力召喚。「我有預感，8 元數的加入會讓基礎物理變得更加優美。」
從經歷坎坷、被其他人「勸退」、孤軍奮戰到研究被接受並找到研究夥伴，十年來福瑞始終堅持自己對 8 元數的直覺。無論真正的「終極理論」是否與福瑞預期一致，這份為尋求真理的堅守，照亮了未來福瑞前進的道路，也在感染同樣為尋求真理奮不顧身的人們。
目前，福瑞還在找穩定的學術界職位，不過她貌似對此並不太擔心：「我最擅長的樂器是手風琴，這種樂器在音樂界的地位就跟 8 元數在物理學中的地位一樣，非常邊緣化。不過我就算我靠手風琴街頭賣藝養活自己，我也會繼續堅持研究 8 元數。」
-End-
編輯：離子心，戴青 校審：黃珊
參考連結：
https://www.quantamagazine.org/the-octonion-math-that-could-underpin-physics-20180720/
https://arxiv.org/pdf/1002.1497.pdf
https://arxiv.org/abs/1806.00612
https://www.furey.space/