看到這個標題，你是不是整個人都是懵的？
為什麼2不等於5？為什麼2不等於5你心裡沒點數麼？小學畢業了麼？小學數學是體育老師，呸，體育老師也不背這個鍋。小學數學是猴子教的麼？你咋不問為什麼豬不等於雞呢？
說完了麼？如果你說完了，我還是要再問一次：為什麼2≠5？您可願意教我？
昨天上一篇我還在給你講《幾何原本》，為什麼這一篇我要突然講2≠5呢？
除了在《陪孩子讀幾何原本（4）：誤區！千萬別把《幾何原本》當成了幾何習題集》裡提了一句以外，最主要的是：這個問題跟《幾何原本》的內在邏輯是一樣的。
如果我在《幾何原本》篇裡反覆強調的「我們做的一切判斷和操作都必須從公設、公理、定義中找到合法依據。」還不能引起你的十分注意，或者完全的理解。那我今天希望用這個完全超出你心理預期的「蠢」問題讓你徹底意識到這一點。
為什麼2≠5是一個嚴肅的問題呢？
我倒想先問你，為什麼你會覺得這個問題不可理喻？你認真想一想，你有什麼理由認為2≠5？你證明了嗎？你有依據嗎？
我前面反覆強調，我們做的一切判斷都必須從公設、公理、定義中找到根據，你以為這只是《幾何原本》的要求麼？》不，這是公理化數學的要求！
那你再想一想，有哪條公理、公設可以證明2≠5？哦不，可能更多人的問題是：啥，1、2、3、4這樣的自然數還要公理？自然數嘛，不是掰一掰手指頭就對應的那些數，這些東西還需要什麼公理？
怎麼不需要？無公理，不數學。
這時候你可能才意識到這個問題嚴肅在哪。顯而易見，大家都承認從公理出發，利用邏輯和演繹推導出其他的命題的方法，確實非常不錯，可以保證知識的準確性。
而且，不僅幾何要這麼幹，代數也要這麼幹。憑什麼只有幾何有這樣的公理化的嚴密體系，代數就不可以？數學偏心？
好，有了這個意識以後，我們再來分析一下這個問：為什麼2≠5？
面對這個問題，我們要怎麼思考呢？要證明為什麼2不等於5，我們首先得搞清楚什麼是2，什麼是5。也就是說，我們需要知道到底什麼才是自然數，我們要如何用數學的語言去刻畫自然數。
因為公理是數學體系的出發點，所以，我們需要一套公理，一套可以刻畫自然數的公理。從這個公理出發，我們可以刻畫自然數的各種特性，然後我們才可以證明為什麼自然數2不等於自然數5。
刻畫自然數的公理有很多，最常見的就是皮亞諾公理。接下來，我們來一起看看皮亞諾公理是如何描述自然數的。
首先，我們我們現在說的自然數，是包括0的，也就是{0,1,2,3,4……}這樣一組數。
皮亞諾公理有5條。
公理1：0是一個自然數。
公理2：如果n是一個自然數，那麼n++也是一個自然數。
我們先看看這前兩條公理是啥意思。
公理1說0是一個自然數，也就是說我們默認承認0是一個自然數了，既然公理這樣說了，你就不要再問為什麼說0是一個自然數了。
公理是數學體系的最底層，如果我有更好的辦法證明這個公理，那麼這個公理就會變成一個可以從其他公理推出來的定理，它就不是公理了。
公理2說如果n是一個自然數，那麼n的後繼n++也是一個自然數。
這裡的理解會稍微複雜一點，不是那麼想當然了。公理2說如果n是自然數，那麼n++就是自然數。
那麼，根據公理1，0是自然數，所以0的後繼0++是自然數。因為0++是自然數，所以（0++）++也是自然數。同樣，這個邏輯可以一直繼續下去，（（0++）++）++肯定也是自然數。
然後，我們就把0++定義為1，（0++）++定義為2，以此類推。
也就是說，在皮亞諾公理體系裡，1、2、3這些數字只是（0++）++……的代號，只是用來代替那一大串的一個記號。
有了公理2和這個定義，我們就可以非常容易的證明2、3、4、5都是自然數了。因為0是自然數（公理1），所以1（0++）也是自然數（公理2）；因為1是自然數，2（1++）也是自然數，所以，3、4、5……都是自然數。
那麼，僅僅依靠公理1和公理2，刻畫的一列數就是我們了解的自然數了麼？
不行，為什麼？
你看啊，如果僅僅只有公理1和公理2，這樣一個數列{0，1，2，0，1，2，0，1，2……}就也是自然數了。
它滿足公理1（0是一個自然數）麼？滿足。它滿足公理2（如果n是一個自然數，那n的後繼n++也是自然數）麼？也滿足。
這裡，我要特別強調，我們說的n++，只是代表n的後繼。也就是在這一列數裡，n++排在n的後面而已，並不是n++就是你以為的比n大1，這時候你只有兩個公理，你壓根就沒有什麼大於的概念。
你看這個循環數列{0，1，2，0，1，2，0，1，2……}，如果我說這叫自然數，那麼0是自然數，每一個自然數的後繼（反正還是0、1、2其中一個）還是自然數。
它完美符合公理1和公理2，但它並不是我們平常感覺的自然數。所以，只靠公理1和2是不行的，我們還需要增加一些公理對自然數進行更深層的刻畫。
於是，我們就有了第3條公理。
公理3：0不緊跟在任何自然數之後。
也就是說，有了公理3，0就不能再跟在任何自然數的後面了，這樣就可以避免上面的循環數列了。因為在{0，1，2，0，1，2，0，1，2……}裡，0是跟在2後面的，所以它不滿足公理3，也就不是自然數列。
0不緊跟在任何自然數後面，也就是說，對於任何一個自然數n，n++≠0均成立。
所以，如果n=2，我們就得到了2++≠0，也就是3≠0。我們姑且把這個叫做命題1。
也就是說，走到公理3之後，我們才能證明「3≠0」。但是，你還是無法證明「2≠5」，不信你可以試試。
好，有了公理1、2、3，我們就能準確的描述自然數了麼？
還是不行，因為這幾個公理無法排除這樣的數列：{0，1，2，3，3，3……}。也就是說，如果自然數的公理只有這3條，那麼這種後面都是同一個數的數列無法被排除出去。
因為你看，它顯然滿足公理1和公理2。公理3說0不緊跟在任何自然數後面，這個數列裡，0隻在第一個，確實不在任何其他自然數的後面，也滿足。
大家可以想一想，這種增量增加到一定就不增了的數列，你要用什麼辦法避免它的出現？
要解決這個問題的辦法有很多，皮亞諾公理採用的是這樣一種簡單有效的辦法。
公理4：對於不同的自然數而言，緊跟在它後面的數字也一定是不同的。
也就是說，公理4告訴我們：如果m和n都是自然數，並且m≠n，那麼，就一定有m++≠n++。這樣，我就可以保證你所有的數列都給我老老實實的增長，不準出現誰誰誰突然漲著漲著就不動了。
還記得在公理3之後，我們證明了」3≠0「（也就是命題1）麼？
如果3≠0，那麼，根據公理4就有：3++≠0++，也就是4≠1。
再用一次公理4，因為4≠1，所以4++≠1++。因為4++就是5，1++就是2，所以，這就是說5≠2。
然後，再看看我們的標題，我們花了這麼多篇幅，一直逼出了皮亞諾公理的4個公理，才證明了5≠2，才證明2跟5不相等，才回答了我們題目的問題。
我在把證明5≠2的過程完整地寫一次：
因為0是一個自然數（公理1），所以1（0++）也是一個自然數（公理2），2（1++）也是一個自然數（公理2）。
因為2是一個自然數，所以2++≠0，也就是3≠0（公理3）。
因為3≠0，所以3++≠0++，也就是4≠1（公理4）。因為4≠1，所以4++≠1++，也就是5≠2（公理4）。
證畢。
我們花了這麼多篇幅，才完成了5≠2的嚴格證明。現在你還覺得這個問題很不可理喻麼？還認為小學數學老師聽到這個會痛心疾首麼？
我們費盡心力通過皮亞諾公理來定義自然數，圖的是什麼？圖的就是為了讓我們的代數體系也能像《幾何原本》那樣，只要你承認了最開始的幾個不證自明的公理，後面的一切命題都可以從這裡推導出來，這樣我們可以一樣建立一套嚴密的代數體系。
為了保證我們的知識是確定的，我們要用非常嚴密的邏輯來構造它。因為經驗和直覺並不可靠，歷史上反直覺的科學進步還少麼？
如果我們還停留在一切憑感覺，一切靠直覺的時代，那我的感覺肯定告訴我重的鐵球比輕的鐵球下落得更快，我的感覺肯定也告訴我是太陽圍著地球轉，那現代科學就無從談起了。
文藝復興以來科學技術上的重大進步，從根本上說就是理性的進步。我們就是依靠這種理性，這種嚴密的邏輯，而不是感覺，建立起來了牛頓力學，建立起來反直覺的非歐幾何，也才有了後面的相對論和量子力學。
而西方科學裡，這種理性的源頭，這種嚴密的公理化體系的源頭，就是《幾何原本》。從這種意義上來說，《幾何原本》是西方科學精神的源頭，所以我們要認真讀它，更何況這是一本連小學生都能讀懂的書。
幾何學通過《幾何原本》這種嚴密的公理化方案獲得了巨大的成功，其它各門學科爭先效仿，牛頓的《自然哲學的數學原理》就是直接按照《幾何原本》的方式寫的。
其它學科都這麼幹了，那麼，跟幾何一樣，同為數學分支的代數自然也要公理化。而自然數是代數的基礎，所以才有了自然數的公理，我們今天說的皮亞諾公理，就是其中的一種。
通過皮亞諾公理定義了自然數，自然數的正數取個負號就能定義整數，然後用整數定義有理數，再定義實數、複數，這才有了後面的數學大廈。
最後，我一開始的時候說皮亞諾公理有5條，但是我們證明5≠2時只說了4條。還有最後一條叫歸納法原理，我這裡也說一下。
公理5（數學歸納法原理）：令P(n)表示自然數n的任意一個性質，如果P(0)為真且P(n)為真時一定有P(n++)也為真，那麼對於任意自然數n，P(n)一定為真。
這個比較長，相對前4個公理要複雜得多，本質上跟前面4個也不一樣，我也不準備細說。高中數學裡會講數學歸納法，用數學歸納法的人一定一眼就能看出這是啥意思。
再召喚一波皮亞諾公理的前面4條：
公理1：0是一個自然數。
公理2：如果n是一個自然數，那麼n++也是一個自然數。
公理3：0不緊跟在任何自然數之後。
公理4：對於不同的自然數而言，緊跟在它後面的數字也一定是不同的。
大家要是對這個感興趣，可以去看看《陶哲軒實分析》。今天我就講到這裡，希望大家通過對2≠5的證明，對皮亞諾公理的理解，加深對《幾何原本》認識。
附：這篇文章講的主要內容，《陶哲軒實分析》裡都有更加詳細的說明。感興趣的朋友可以去看一看這位被譽為當代數學界的莫扎特，陶哲軒的大作《陶哲軒實分析》。