八年級函數綜合題,學霸教你,巧用解題思路,掌握知識點備戰考試

2020-12-05 陳老師初中數理化

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一次函數和反比例函數是八年級數學的重點內容，函數本身的知識點不多，但與特殊三角形、四邊形相結合的綜合題會有一定的難度，需要靈活運用相關知識，才能進行正確解題，本文就例題詳細講解這類題型的解題思路，希望能給大家的期末複習備考帶來幫助。

例題1

如圖1，已知正比例函數和反比例函數的圖象都經過點M（﹣2，﹣1），且P（﹣1，﹣2）為雙曲線上的一點，Q為坐標平面上一動點，PA垂直於x軸，QB垂直於y軸，垂足分別是A、B。

（1）寫出正比例函數和反比例函數的關係式；

（2）當點Q在直線MO上運動時，直線MO上是否存在這樣的點Q，使得△OBQ與△OAP面積相等？如果存在，請求出點的坐標，如果不存在，請說明理由；

（3）如圖2，當點Q在第一象限中的雙曲線上運動時，作以OP、OQ為鄰邊的平行四邊形OPCQ，求平行四邊形OPCQ周長的最小值。

1、根據特殊點的坐標值，求解函數解析式

設正比例函數的解析式為：y=kx；

根據題目中的條件：點M在正比例函數圖像上，則M點的坐標值代入函數解析式，能使等式成立，可求得k=1/2；

所以，正比例函數的解析式為：y=x/2。

設反比例函數的解析式為：y=k/x；

根據題目中的條件：點P在反比例函數圖像上，則P點的坐標值代入函數解析式，能使等式成立，可求得k=2；

所以，反比例函數的解析式為：y=2/x。

2、寫出Q點的坐標值與△OBQ面積的函數關係式，進行求解

根據題目中的條件：點Q在直線MO上運動，則設點Q的坐標為（a,a/2）；

根據題目中的條件：PA垂直於x軸，QB垂直於y軸，則△OAP、△OBQ為直角三角形。

根據三角形面積的計算公式：S=ah/2，則S△OAP=OA*AP/2=1，S△OBQ=OB*OQ/2=|a*a/2|/2=|a|/4=a/4；

根據題目中的條件：S△OAP= S△OBQ，則a/4=1，即a=2或-2；

所以，Q點坐標為（2，1）或者（-2，-1），則△OBQ與△OAP面積相等。

3、寫出Q點的坐標值與平行四邊形OPCQ周長的函數關係式，進行求解

根據題目中的條件：點Q在雙曲線上運動，則設點Q的坐標為（a,2/a）；

根據勾股定理：c=a+b，則在Rt△OAP和Rt△OBQ 中：OP=5，OQ=a+4/a；

根據平行四邊形的性質：平行四邊形的對邊相等，則平行四邊形OPCQ周長=2（OP+OQ），因為OP是固定值，則周長只與OQ有關，只要OQ達到最小值，周長就達到最小值。

根據結論：OQ=a+4/a=（a-2/a） +4，則當a=2/a，即a=√2或-√2時，OQ達到最小值4。

根據結論： OP=5，OQ=4，則平行四邊形OPCQ周長=2（OP+OQ）=2√5+4，達到最小值。

例題2

如圖，直線y=k1x+b與反比例函數y=k2/x（x＞0）的圖象交於A（1，6），B（a，3）兩點。

（1）求k1、k2的值。

（2）直接寫出k1x+b- k2/x>0時x的取值範圍；

（3）如圖，等腰梯形OBCD中，BC∥OD，OB=CD，OD邊在x軸上，過點C作CE⊥OD於點E，CE和反比例函數的圖象交於點P，當梯形OBCD的面積為12時，請判斷PC和PE的大小關係，並說明理由。

1、把函數圖像上點的坐標值代入函數解析式進行求解

把A（1，6）代入反比例函數解析式：y=k2/x，可求得k2=6，則反比例函數解析式為y=6/x；

把B（a，3）代入反比例函數解析式，可求得a=2，則B點坐標為（2,3）；

把A（1，6）、B（2，3）代入一次函數解析式：y=k1x+b，可求得k1=-3，b=9，則一次函數的解析式為y=-3x+9。

2、利用數形結合的方法進行求解

根據不等式的性質，對k1x+b- k2/x>0進行變換，即為k1x+b>k2/x；

根據結論：一次函數解析式為y= k1x+b，反比例函數解析式為y= k2/x，則k1x+b>k2/x在函數圖像上表示的是：在x值相等的情況下，一次函數的對應點在反比例函數上對應點的上方，因此，兩個函數的交點A、B之間的這一段符合條件，這一段對應的橫坐標值即為符合條件的x取值範圍，即當1<x<2時，k1x+b- k2/x>0。

3、利用面積公式進行求解、證明

過B點作BF⊥x軸，交x軸於F點，設BC=x；

根據結論：B（2,3），則OF=2，BF=3；

根據題目中的條件：四邊形OBCD為等腰梯形，則ED=OF=2，CE=BF=3，EF=BC=x；

由題目中的條件：S=12，根據梯形面積的計算公式：S=(a+b)h/2，則（2x+2*2）*3/2=12，可求得x=2，即BC=2；

根據結論：BC=2，則C點坐標為（4,3）；

根據題目中的條件：CE和反比例函數的圖象交於點P，則P點橫坐標為4，當x=4時，代入反比例函數y=6/x，可求得P點坐標為（4,3/2）；

所以，PE=3/2，CP=CE-PE=3-3/2=3/2，即PE=CP。

總之，一次函數和反比例函數是初中函數的入門級學習，同學們在複習備考階段一定要深入理解這類題型的解題思路和方法，認真審題、仔細分析，按部就班地進行解題，才能讓複習備考的效果最大化，輕鬆提高數學成績。

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