微積分是有史以來最具革命性的思想之一。它幾乎被應用於數學和科學的所有分支。與抽象數學中的其他主題不同，它是數學的一個分支，被廣泛應用於許多學科中，因此更容易理解這一思想。儘管如此，大多數人還是覺得它很神秘，很難理解。在課堂上介紹微積分通常需要相當多的先決條件，這就是為什麼它變得有點難開始。在這篇文章中，我們將採取一種非常直觀和有點非常規的方法來從頭開始理解微積分。
這篇文章是為那些總是想要學習這門學科卻找不到動力和/或時間去拿一本教科書的讀者準備的。一個基礎很好的讀者可能會發現內容不那麼嚴謹和/或不完整，但這裡的意圖是使主題更「平易近人」，並最終激勵讀者拿起那本教科書。
為什麼要微積分呢？
我們有理由問這樣一個問題：我們試圖解決的是什麼樣的問題促使我們產生了這個新想法？
這個問題的答案相當簡單——微積分
一個非常精確的方法來量化變化。所以任何需要我們研究一定數量變化的問題都可以用微積分來解決。這聽起來不是很令人印象深刻，因為我們已經成功地研究了各種系統中的各種變化很長一段時間了，即使當時還沒有這樣的方法。那麼，微積分給我們帶來了什麼新東西呢？微積分的關鍵優勢在於它的精確性。讓我們看看這是什麼意思。
變化的研究
假設有一輛汽車以每小時100公裡的固定速度行駛。很明顯，它在一小時內從任何選定的出發點行駛了100公裡。如果我們問一個問題——當它從出發點移動了300公裡時，它移動的速度有多快？答案很簡單，因為汽車是勻速行駛的，在300公裡的終點，它仍然以每小時100公裡的速度行駛。
現在我們稍微改變一下情況。假設司機每隔一小時就把車加速5公裡/小時。如果我們再問同樣的問題，要想找到答案需要一點計算。讓我們看看它是怎麼做的
從出發點算起，汽車的速度是每小時100公裡，所以第一個小時的路程是100公裡。第一個小時結束時，司機將車速提高了5公裡/小時。所以汽車的新速度是100 + 5 = 105公裡/小時，第二小時的路程是105公裡。因此，2小時結束時的總路程是100 + 105 = 205公裡。第二小時結束時，司機將車速提高了5公裡/小時。所以汽車的新速度是105 + 5 = 110公裡/小時，第三小時的路程是110公裡。因此，3小時結束時的總路程是100 + 105 + 110 = 315公裡。我們看到這輛車已經超過了300公裡大關，而穿越該關口時的速度為110公裡/小時。這裡我們看到了一種類型的問題，它要求我們理解如何處理變化的量。顯然，這個例子不像整個過程中速度恆定的例子那麼簡單，但我們仍然可以用簡單的數學方法來解決這個問題，我們不需要任何新的或高級的東西。
現在讓我們稍微改變一下情況。假設司機每分鐘而不是每小時加速5公裡/小時。為了解決這個問題，現在我們必須在每分鐘而不是每小時結束時記下所走的距離。我們可以想像，這個例子比前一個更乏味，因為它涉及到相當多的中間步驟。然而，用同樣的方法我們還是可以做到的。
讓我們更進一步，看看如果司機每秒鐘或每毫秒增加5公裡/小時的速度會發生什麼？現在需要大量的計算才能得到最終的答案。中間的步驟很簡單，但是要計算的步驟太多了，這就成為了一個難題。
我們可以想像，這不是一個假設的情況，因為我們知道，我們可以讓汽車時刻提速。事實上，這種現象有一個名字——加速汽車。如果我們能找到一種一次性完成所有中間步驟的方法，那就太好了！
實際上，要觀察計算的模式並不難，仔細一看，也許能寫出這種特殊情況的公式。唯一的問題是，我們需要一個新的公式來解決每一個新類型的問題。在汽車的行駛過程中，還有很多其他的事情可以改變。甚至可能有其他需要計算變化量的系統。我們所希望的是一個通用框架。
微積分的起源
前一節中討論的事例足以理解新方法的必要性，但它可能不是介紹所涉及的數學細節的最佳示例。一旦我們對這個主題有了更多的了解，我們就會回到這個主題。為了建立一個系統的框架，我們從一個數學上更簡單的問題開始。
假設池塘裡有一個小擾動，水波就產生了。從下圖中可以看出，水波是圓形的，它們從擾動點向外運動。
讓我們關注波浪上的任何一個圓。由於水中的擾動是向外移動的，這個圓的大小隨時間不斷增加。簡單地說，我們假設圓的大小（半徑）增加了一個固定的量，比如1cm / s。
現在我們問一個問題，圓的面積變化有多快?
為了找到答案，首先我們計算任意時刻圓的面積。然後，我們讓圓在一秒內改變大小，然後再次計算面積，面積差正是我們所需要的。讓我們分四步來做這道數學題
1.我們設這個圓的半徑是r釐米，時間是t秒。此時面積是：
2.一秒後的時間是(t+1)秒。半徑的變化速率是1cm/秒，所以1秒後的圓的半徑是(r+1)釐米，1秒後的面積是：
3.面積變化量是：
4.面積變化率是用面積變化量除以時間變化量得到的
這是最後的答案。讓我們來理解這個結果的意義——即使半徑每秒鐘增加一個固定的量，但是面積不會勻速增加，事實上，我們可以從最終結果中看到，面積的變化取決於半徑。我們可以得到下面的結論
圓圈越大，它的面積增長得越快！
在我們繼續之前，我們需要討論一些非常重要的事情——我們從來沒有討論過測量半徑長度和時間周期的測量設備。假設我們用一把可以測量到1釐米的尺子來測量長度。同樣，為了測量時間，我們有一個時鐘，它把時間測量到一秒。
你可能想知道——我們為什麼要關心測量儀器？
正是這種問題引出了微積分的概念。現在，如果我們「改進」長度和時間測量設備，增加它們的解析度，這樣我們就可以把長度測量降低到0.5釐米，把時間測量降低到0.5秒，結果會怎樣呢?
我們可以重複計算半秒內的變化
就像之前一樣，讓圓的半徑是r釐米在時間t秒。此時面積是
2.半秒後的時間是(t+1/2)秒。由於半徑以1cm/秒的速度變化，我們在半秒後進行觀測，所以圓的半徑變成(r+1/2)釐米。所以半秒後的面積是：
3、然後，面積變化為：
4.面積變化率是用面積變化率除以時間變化率得到的
在這個無聊的重複之後，我們看到與之前結果的唯一區別是，我們在最終結果中使用了「1/2」而不是「1」。
這個「1/2」的因數與半徑增加的時間間隔相同，這不是巧合。對於解析度更高的測量設備，我們可以重複整個過程，並看到最終結果中的因素將隨著測量設備解析度的增加而不斷減少。所有這一切意味著，如果我們想要測量面積變化率更精確，我們必須使用解析度更高的測量設備。
我們也可以這樣解釋這一說法：如果系統變化得非常快，我們就不得不選擇解析度非常高的測量設備，否則我們將無法高精度地量化變化。對於這樣的系統，微積分是需要開發的。
一個簡單的公式
既然我們已經建立了高精度和快速變化之間的聯繫，我們終於可以寫出研究這些量的一般公式了。
按照上一節所發展的邏輯，讓我們作一個一般性的說明-
一個量Y(如面積)相對於另一個量X(如時間)的變化是由它們各自變化的比率給出的。
為了闡明這一說法，我們編寫了以下步驟：
1.Y 的初始值計為Y（i），X的初始值計為X（i）。我們可以這樣做，因為X和Y是相關的，取決於考慮的系統。
2.Y的終值為Y（j），X的終值X（j）
3.表示Y的變化量為：
4.表示X的變化為
5.然後，Y關於X的變化由這個公式給出：
現在，關鍵的一點是——如果我們想要以無限高的精度來計算變化，我們就必須選擇能夠把測量值降到幾乎為零的測量設備！(這意味著我們有無限高解析度的設備)
這聽起來可能很荒謬，因為現實世界中沒有任何東西可以用這種解析度來測量任何東西。但是，純粹和抽象的數學並不關心實際的限制，在理論上擁有這樣的系統是完全可以接受的。
因此，從理論上講，一個量相對於另一個量的微小變化可以用無限的精度來計算，當這種情況發生時，我們給它起了一個新名字——我們叫它導數，求導數的方法叫做微分。
我們在符號上也有一個微小的變化，我們把Y關於X的微小變化寫成
有了重要的理解，即初始和最終度量之間的差異幾乎為零，但永遠不等於零，否則我們就會遇到除數為零的問題。
有了這個，我們正式進入微積分的世界!
微積分的應用
既然我們已經發明了一種新方法，就讓我們用它來做點事吧。因為它很簡單，我們將重新回到池塘裡水波的例子，問下面的問題-，圓的面積對時間的導數是什麼？我們知道我們需要求面積變化率，只是這次我們需要無限精確地計算。
讓我們重複這些步驟
1.由於我們的工具有無限的精度，兩次測量的時間周期將非常小。讓我們稱之為Δt
2.t時刻圓的面積是
3.下一個測量是在時間(t +Δt)。讓我們說半徑增加了少量Δr成為(r +Δr)。
4.所以，時間變化後的面積是
5.現在，面積變化率是：
我們可以把最後一個結果簡化為
而且，現在我們使用的是我們面對的是無限的精度，使半徑變化的事實Δr是幾乎為零。從基礎數學中我們知道，很小的平方會更小。這意味著，與2πrΔr相比，（Δr）的平方的值非常小，我們可以忽略它。
因此，最終的結果是
我們回憶一下，當我們討論導數時符號的變化，結果寫成
dr/dt只是半徑變化率，它的值是1釐米/秒。我們可以用這個值來得到
就是這樣！我們發現，對於無限精確的水波，圓的面積變化率，根據定義，也就是面積對時間的導數。我們可以比較一下到目前為止我們討論過的三種情況的結果
1.時間間隔為1秒
2.時間間隔是1/2秒
3.我們得到的時間間隔幾乎是0秒
正如所承諾的那樣，最後一個基於微積分方法的結果將是最精確的，因為隨後兩次測量的差異可以忽略不計。結果中的0表示我們有無限高的精度。
在這篇文章中，我們基本上只討論了一個數學應用，即圓的面積變化率。下次，我們將用微積分和更多的知識來解決超速汽車的問題。