混沌理論可能是數學中最具爭議的領域之一。因為沒有人能就混亂到底意味著什麼達成一致。主流媒體對蝴蝶效應的定義是：
在巴西，一隻蝴蝶扇動翅膀就能在德克薩斯州引發龍捲風
這意味著，只要對一個系統做一個非常小的改變，就會導致結果會有很大的變化。
不幸的是，就像數學中的大多數事情一樣，事情從來沒有那麼簡單。蝴蝶效應用於證明對初始條件的敏感依賴，混沌系統的三個要素是：
對初始條件的敏感依賴拓撲傳遞性密集的周期軌道在本文中，我們將探這三個要素，並了解混沌真正的含義。
動力系統
如果你已經了解了動力系統，請跳過這一節，開始閱讀關於初始條件的敏感依賴性。
當我們談到一個系統時，我們指的是一個動態系統，它有兩種形式：連續時間系統和離散時間系統。
用常微分方程定義連續時間系統。
這裡f是一個足夠好的函數並且可能依賴於某個參數。
從f映射到f的空間稱為相空間。為簡單起見，我們將假設相空間可以配備度量d（即一種測量點之間距離的方法），然後可以引入拓撲（在大多數情況下，相空間是歐幾裡得空間的一個子集）。
假設相空間中有給定值x_0，我們可以用(x)表示該值在t時刻的流量。如果我們給定初始條件，那麼我們將得到初值：
它具有解x（t），然後將流定義為（x）= x（t）。我們將不考慮流存在條件的細節。
我們稍後會需要，周期軌道的定義，所以最好在這裡定義。點x軌道的集合是：{(x), 對於任意時間t} 。也就是說，對於某個t值，流將以循環方式返回到初始條件，並將永遠重複這個循環。例如，地球繞著太陽轉（忽略那些細節），地球將會繞回它的起點。
我們可以對離散時間系統進行類似的討論。在這種情況下，我們考慮以下控制方程：
x_0在n處的迭代是f(x)，對於一些n，f(x)= x，是一個周期軌道。
現在來看有趣的東西！
初始條件敏感依賴
這可能是三種條件中最直觀的一種，當你試圖將其與混沌聯繫起來時，這也是最合理的，同時也是混沌理論第一個被發現的部分。
在20世紀50年代和60年代，計算機的商業化實現了更快速更複雜的計算。受益的領域之一是數值天氣預報。愛德華·洛倫茨參與了該領域的研究工作，並配備了皇家McBee LGP-30，用來通過一組複雜的ODE模擬天氣情況。將所得序列輸出為十二個數字。
為了能再次看到結果序列，他會寫下之前發生的那一行數字，然後下一次，他將從中間開始的那些初始條件開始。
不過奇怪的事情會發生：他不會再看到同樣的結果了。讀出一開始是一樣的，然後突然之間不再像預期的那樣。
這是洛倫茨方程的解的x值，它的條件是：ρ = 28，σ = 10，β = 8/3。儘管這些點開始非常接近，但它們最終的表現完全不同。實際發生的是，計算機內部有6位的精度，但列印出來的只有3位。這種捨入誤差意味著初始條件略有不同，但這些差異造成了系統行為的巨大變化。
他發現了初始條件的敏感依賴和並誕生了混沌理論。
初始條件的敏感依賴的定義是存在一個正的delta，使得對於相空間中的所有x和x的鄰域N，我們可以找到一個在N中的一個y和時間T，使：
這個方程適用於離散或連續系統。這意味著如果你給我一個初始的起始條件，我可以找到一個任意接近起始點的點，它的軌跡有一定的不同。
這在文獻中有時被稱為對初始條件的弱敏感依賴，因為它只是說軌跡在某一點上一定是不同的。有一種更強烈的觀點認為，軌跡必須在某一時刻以指數速度發散。
這個定義是不夠的。以迭代加倍映射為例：
這裡的第n項是在初始條件下對D進行n次迭代。很容易看到，僅僅因為一個初始條件x，第n個項是x= 2x。因此給任何兩個初始條件x和y，由此產生的軌跡發散成倍增長。
因此，雖然加倍映射對初始條件敏感，但它在正實線上的表現並不十分明顯。我們需要更強的條件!
初始條件的敏感依賴的一個很好的例子是雙擺。我不會嚴格地證明它證明了初始條件的敏感依賴，因為這證明篇幅太長了。相反，我將向你們展示由Dirk Brockmann提供的精彩動畫。
正如你所看到的，這兩個鐘擺從幾乎完全相同的地方開始，但在一段時間後表現完全不同。
拓撲傳遞性！
我們已經確定，僅僅對初始條件敏感是不夠的混沌的。我們需要更強的條件。我們想要概括運動是「到處都是」的思想。要求一個點不能停留在它的起始位置的局部，並且它被拋出去探索整個相空間是合理的。
這就是拓撲傳遞性的概念發揮作用的地方。它說給定一個開放集，它最終會與所有其他開放集相交。用符號寫，它是這樣的：
現在我還沒有定義集合的流的含義，我相信你可以通過使用一個點的流的定義來理解它。同樣，這個定義沒有提到它是連續映射的流還是離散映射的流，因此兩者都可以應用。
這意味著，給定相空間的一個區域和足夠的時間，它會通過任何其他區域。同樣的，U的軌道在X上是密集的。
拓撲傳遞性的一個非常直觀的例子就是貝克變換。它的靈感來自於麵包師揉面的過程。
我們認為迭代是拉伸單位正方形，然後將其切成兩半，然後將一半放在另一半之上，就像下圖這樣：
貝克變換的動畫如果你長時間盯著它看，你就會相信每個集合最終會被分散到任何地方，從而展示出拓撲的可傳遞性。
密集的周期軌道！
可以說，這是最容易理解的。如果有一個周期軌道，那麼它在相空間是密集的。密集意味著相空間中的任意一點，都有一個周期點（周期軌道上的一點）任意地靠近它。
以一種迂迴的方式，這確保了有許多非周期行為。由於在X的任意子集中，存在一個不穩定周期點的密集集合（不穩定性由初始條件的敏感依賴和拓撲傳遞性保證），這會導致大量的非周期行為，這正是我們在混沌系統中所期望的。
NB 1：非周期的意思是不周期性的。
NB 2：很多人不同意這點。我將在下一節中對此進行討論。
討論
這裡給出的混沌系統的定義是由R. L. Devaney提出的，它是最廣泛和普遍接受的定義之一。
已經證明，在離散時間情況下，如果相空間是一個非有限度規空間，那麼實際上是拓撲傳遞的，周期軌道的密度意味著初始條件的敏感依賴。
正如我在本節開始時提到的，混沌有許多定義。彼得·史密斯認為，德瓦尼的定義是混沌的結果，而不是一個真正的定義本身。
如果離散映射具有拓撲熵，那麼它就是混沌的如果一個離散映射的全局Lyaponov指數為正，那麼它就是混沌的如果離散映射在某一點將單位間隔映射成馬蹄形，那麼它就是混沌的
您可能會注意到，所有這些定義都討論離散映射，這是因為您始終可以使用稱為龐加萊區域從連續地圖構造離散地圖。龐加萊區域使你可以減小系統的尺寸並將其離散。
如果連續系統是混沌的，那麼在龐加萊區域的動力學將是混沌的。
所以現在你知道了！我認為最吸引人的地方之一是，與許多數學不同，它沒有明顯正確或合理的定義——它純粹是描述物理現象。直接的結果是，對於混亂到底是什麼有許多相互矛盾的概念。